Геометрическое моделирование

ВВЕДЕНИЕ

 

     Курс ’Начертательная геометрия. Инженерная и компьютерная графика’ входит в число дисциплин, составляющих основу инженерного образования.

     Предметом начертательной геометрии является изложение и обоснование способов построения плоской модели трехмерного пространства и способов решения задач геометрического характера на базе этой модели. Однако, методы построения и преобразования чертежа преимущественно основаны на словесном описании и запоминании стандартных положений.

     Такая трактовка трехмерного пространства не имеет явного сходства с положениями алгебры и тригонометрии, которые предлагают свою математическую модель трехмерного пространства.

     Следовательно, начертательная геометрия в классической форме не предполагает использование ЭВМ, т.к. вычислительная техника воспринимает цифровую информацию с последующей математической обработкой ее в графическую. На базе графоматематической модели работают системы автоматизированного (с участием оператора) и автоматического управления объектами.

     Одним из условий овладения техническими знаниями является умение читать (выполнять) конструкторские документы с учетом требований ЕСКД (единая система конструкторской документации) и СПДС (система проектной документации для строительства) и использовать при этом ЭВМ в режиме пользователя.

 

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

 

     В данной работе рассматривается один из вариантов геометрической модели трехмерного пространства, позволяющей использовать понятия начертательной геометрии на ЭВМ.

     Аппарат геометрической модели предполагает измерение длин в метрах и плоских углов в градусах или радианах.

     П од длиной подразумевается расстояние между двумя точками. Измерение длины ведется вдоль некоторой прямой от заранее выбранной на ней точки - текущей базы БТ (БТ - точка, координаты которой внутри объекта равны нулю) (рис.1).

Рис. 1. Прямая a. БТ - текущая база;  a - обозначенное направление; L - положительное расстояние до точки С; (-В) - отрицательное расстояние до точки D.

 

3

  Линия на чертеже обозначается строчной буквой латинского алфавита.

 

     Если измерение длины ведется в обозначенную сторону прямой, то длина считается положительной и наоборот.

     Таким образом, прямая имеет положительное или отрицательное линейное направление.

     Кроме того, она имеет угловое направление. Измерение угла принято вести от тригонометрического нуля.

     Т ригонометрический ноль – луч 0 с началом в БТ и направлен горизонтально вправо (рис.2).

     Измеряется угол до положительного направления прямой. Если измерение угла против часовой стрелки, то угол положительный, по часовой - отрицательный.

     О бозначается угол строчной буквой греческого алфавита.

Рис.2. Прямая a; j - положительный угол; (-j) - отрицательный угол; БТ – текущая база; 0 – тригонометрический ноль.

 

     Математическая модель той же прямой Y = K ´ X + Y ^БТ (изменение координаты Y точки прямой с изменением координаты Х; K = tg j).

 

Прямая линия

 

     Прямая в прямоугольной системе координат задается положением ее текущей базы, например, точкой A(X, Y, Z) и углами наклона к плоскостям проекций a к П₁, b к П₂, g к П₃ (рис. 9).

 

 

10

Угол наклона прямой к плоскости измеряется между    (7)

самой прямой и ее проекцией на эту плоскость                                

 

Под самой прямой на плоской модели будем подразумевать проекцию, длина которой равна модулю.                                                              

     На основании (4):  угол  a = (MN)^(M₁N₁);

                                      угол b = (MN)^(N₂M₂);

                                      угол g = (MN)^(M₃N₃).

   На рис. 9 прямая задана отрезком АВ. Построены проекции отрезка А₁В₁- горизонтальная, А₂В₂ – фронтальная и А₃В₃ – профильная. Если прямая бесконечна, то она пересекает горизонтальную плоскость П₁ в точке М, фронтальную плоскость П₂ в точке N и профильную плоскость П₃ в точке Р. Точки пересечения прямой с плоскостями проекций называются следами.

 

Рис. 9

         

В пространстве точка пересечения прямой АВ, например, с горизонтальной плоскостью проекций П ₁ будет точка М – пересечение АВ с ее горизонтальной проекцией А₁В₁.

На плоской модели прямоугольной системы координат сама прямая АВ отсутствует, есть только ее проекции А₁В₁, А₂В₂ и линии связи к оси Х l _X.

 

11

Следовательно, можно построить только горизонтальную проекцию М₁, которая совпадет с М, и фронтальную М₂.

Уравнение точки М(Х, Y, Z=0). Если точка – пересечение двух прямых, то возможна система уравнений

                               Z=0                   - линия, совпадающая с осью Х

                               Z=tg j2 ´ X + Z^A - фронтальная проекция А₂В₂   

 

Пересечение этих линий определит фронтальную проекцию М₂ (X ^М, Z=0).

X ^М – расстояние от начала координат до М₂.

 

Система уравнений для определения координаты Y точки М

         X = X ^М                     - линия связи l x к оси Х через М₂

         Y=tg j1 ´ X + Y^A - горизонтальная проекция А₁В₁

 

 Пересечение этих линий определит горизонтальную проекцию М₁ (X ^М, Y ^М).

 Y ^М – расстояние от оси Х до горизонтальной проекции М₁.

 

     Фронтальный след прямой АВ – точка N (X, Y =0, Z).

 

Система уравнений для определения координаты X точки N

 

            Y=0                     - линия, совпадающая с осью Х

              Y=tg j1 ´ X + Y^A - горизонтальная проекция А₁В₁   

 

Пересечение этих линий определит горизонтальную проекцию N₁ (X ^N, Y =0).

X ^N – расстояние от начала координат до N₁.

 

Система уравнений для определения координаты Z точки N

         X = X ^N                     - линия связи l x к оси Х через N₁

         Z=tg j2 ´ X + Z^A - фронтальная проекция А₂В₂

 

Пересечение этих линий определит фронтальную проекцию N₂ (X ^N, Z^N).

 Z ^N – расстояние от оси Х до фронтальной проекции N₂.

 

Профильный след АВ – точка Р(X =0, Y, Z).

 

Система уравнений для определения координаты Y точки P

              X=0                     - линия, совпадающая с осью Y

              Y=tg j1 ´ X + Y^A - горизонтальная проекция А₁В₁   

 

12

Пересечение этих линий определит горизонтальную проекцию P₁ (X=0, Y^P ).

Y ^P – расстояние от начала координат до P₁.

 

Система уравнений для определения координаты Z точки P

 

         Y = Y ^P                     - линия связи l _Y к оси Y через P₁

         Z=tg j3 ´ Y + Z^A - профильная проекция А₃В₃

 

Пересечение этих линий определит профильную проекцию P₃ (Y^P_, Z^P).

Z ^P – расстояние от P₃ до оси Y.

 

 

Длина отрезка и углы наклона к плоскостям проекций

 

   Угол наклона к П₁ a прямой АВ (рис. 9) измерен между горизонтальной проекцией А₁В₁ и самой прямой АВ.

Рис. 10

         

     На рис. 10 прямая задана проекциями А₁В₁ и А₂В₂.

 

Угол наклона к П ₁ a можно измерить между фронтальной и горизонтальной проекциями при условии, что А₂В₂ равна АВ.

                                   А₂В₂ = АВ ´ Соs (b) (b – угол наклона АВ к П₂)

 

Если угол b = 0, то Соs (b) =0 и А₂В₂ = АВ.

                  b = arctg(½Y^A - Y^B½ / A₂B₂) 

13

Угол b = 0, если разность координат Y^A - Y^B = 0.

 

     Перенесем горизонтальную проекцию во второе текущее положение А²₁В²₁ (изменятся координаты X и Y) и повернем вокруг оси Z^A (рис. 3) до положения, в котором Y^A = Y^B. Координаты Z точек А и В при этом не изменятся, т. к. траектории вращения параллельны П₁.

Фронтальные проекции точек А²₂, В²₂ будут на пересечениях линий связи к осям X и Z. Фронтальная проекция А²₂В²₂ = АВ.

     Измерим a = А²₂В²₂ ^Ù А²₁В²₁.

Угол наклона к П ₂ b можно измерить между горизонтальной и фронтальной проекциями при условии, что А₁В₁ равна АВ.

                                           А₁В₁ = АВ ´ Соs (a)  

      Если угол a = 0, то Соs (a) =0 и А₁В₁ = АВ.

                       a = arctg(½Z^A - Z^B½ / A₁B₁) 

          Угол a = 0, если разность координат Z^A - Z^B = 0.

 

     Перенесем фронтальную проекцию первое текущее положение А¹₂В¹₂ (изменятся координаты X и Z) и повернем вокруг оси Y^A (рис. 3) до положения, в котором Z^A = Z^B. Координаты Y точек А и В при этом не изменятся, т. к. траектории вращения параллельны П₂.

Горизонтальные проекции точек А¹₁, В¹₁ будут на пересечениях линий связи к осям X и Y.  Горизонтальная проекция А¹₁В¹₁ = АВ.

     Измерим b = А¹₁В¹₁ ^Ù А¹₂В¹₂.

 

     Домашняя работа

 

                        

14

Плоскость

 

     В общем виде плоскость задана двумя пересекающимися прямыми (2). Если на этих прямых взять 3 точки, не лежащие на одной прямой, то плоскость будет задана тремя точками. Если 3 упомянутые точки соединить прямыми, то плоскость будет задана треугольником (плоской фигурой в том числе окружностью, проходящей через три точки). Если через точку на первой прямой провести прямую, параллельную второй прямой, то плоскость будет задана двумя параллельными прямыми.

 

Параметры плоскости:

    База, например, точка А(X, Y, Z) в треугольнике АВС (рис. 11). 

     Угол a - наклон треугольника к плоскости П_1.

     Угол b - наклон треугольника к плоскости П_2.

     Угол g  - наклон треугольника к плоскости П_3.

     Перечисленные параметры считаются внешними, их изменение будет менять положение треугольника в пространстве относительно плоскостей проекций.

     Натуральная величина треугольника – геометрические размеры (внутренний параметр плоскости).

Рис. 11

 

Двугранный угол между плоскостями (a ^Ù  П₁, b ^Ù  П₂, g   ^Ù  П₃) измеряется линейным углом между линиями пересечения граней этого угла

с третьей плоскостью, которая перпендикулярна данным     

 

15

     Плоскость треугольника D(АВС) на рис. 11 задана проекциями горизонтальной А₁В₁С₁ и фронтальной А₂В₂С₂.

     Для определения, например, угла a  можно изменить угол наклона АВС к плоскости П₂ до 90°. Треугольник АВС на плоскость П₂ спроецируется в прямую линю А¹₂В¹₂С¹₂ (рис. 11), с которой совпадет линия пересечения D¹₂ треугольника с плоскостью П₂. Плоскость П₁ перпендикулярна П₂ и плоскости пересекаются по оси Х₁₂.

Следовательно, угол a=D¹₂ ^Ù Х₁₂.

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна

из них содержит перпендикуляр к другой плоскости.

     Чтобы изменить угол ^A треугольника АВС, в нем надо взять прямую, угол b которой определяется на чертеже. Такой прямой может быть любая прямая, угол a которой = 0.

     Возьмем прямую АD(A₂D₂, A₁D₁), координаты Z^A=X^D. A₁D₁ = AD. Следовательно, угол b ^AD = A₂D₂ ^Ù A₁D₁.

     Повернем горизонтальную проекцию А₁В₁С₁  вокруг оси Z^A на угол 90° - b ^AD и перенесем в положение А¹₁В¹₁С¹₁. Проекция А¹₁D¹₁ ^ Х₁₂, при этом АD будет перпендикулярна П₂ и треугольник АВС ^ П₂. Фронтальная проекция А¹₂В¹₂С¹₂ совпадет с линией пересечения треугольника с фронтальной плоскостью D¹₂. Угол a^АВС  будет измерен между D¹₂ ^Ù Х₁₂.

     Натуральную величину треугольника можно найти, если расположить его, например, параллельно плоскости П₁. Повернем фронтальную проекцию А¹₂В¹₂С¹₂ треугольника вокруг оси Y^A1  на угол a^АВС  и перенесем в положение А²₂В²₂С²₂. Горизонтальные проекции точек А²₁В²₁С²₁ определим на пересечении линий связи к осям Х и Y. Треугольник будет параллелен П₁.  Горизонтальная проекция треугольника А²₁В²₁С²₁ равна ½АВС½.

Домашняя работа

 

Определить углы a и b

треугольника АВС

 

16

Взаимное положение прямых

 

  Параллельные прямые имеют одинаковые углы наклона к плоскостям проекций, но расстояние между ними не равно 0 (базовая точка одной прямой не принадлежит другой прямой). На рис. 13 прямая a(a ₁, a ₂)и параллельная ей прямая е(е₁, е₂) заданы проекциями на плоскости П₁ и П₂. 

     Если прямые параллельны, то параллельны их одноименные проекции (a_{1 ½½} е₁) и (a_{2 ½½} е₂). Для параллельных прямых следует определить расстояние между ними.

 

 

Рис. 13

 

18

     Пересекающиеся прямые имеют общую точку А, проекции которой лежат на одной линии связи к оси Х и совпадают с точками пересечения одноименных проекций, угол между прямыми j больше 0 (рис. 14).

 

 

Рис. 14

     Скрещивающиеся прямые - не пересекаются (расстояние между ними не равно 0), не параллельны (угол между ними не равен 0). На плоском чертеже точки пересечения одноименных проекций не лежат на одной линии связи к оси Х (рис. 15).

     При определении расстояния и угла между прямыми следует исходить из условия, что через две скрещивающиеся прямые можно всегда провести две параллельные плоскости.

Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной

плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся

прямым другой плоскости.

     Через точку А проведем прямую АЕ, которая параллельна прямой СD.

В результате получим треугольник АВЕ, который параллелен прямой CD.

  Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой,

которая принадлежит плоскости.

     В плоскости АВЕ возьмем прямую АР, угол b ^AР = 0. Измерим угол a^АЕ между А₂Р₂ и А₁Р₁, повернем фронтальные проекции С₂D₂, А₂В₂Е₂ вокруг оси Y^A на угол 90° - a^АЕ и перенесем в положение C¹₂D¹₂, А¹₂В¹₂Е¹₂.

Горизонтальная проекция треугольника А¹₁В¹₁Е¹₁ – прямая, с ней совпадет горизонтальный след плоскости D¹₁. Горизонтальная проекция прямой C¹₁D¹₁ , которая будет параллельна А¹₁В¹₁Е¹₁. С C¹₁D¹₁ совпадет горизонтальный след S¹₁ плоскости, проходящей через CD и параллельной АВЕ.

 

19

Рис. 15

 

Расстояние между плоскостями _½D¹₁ S¹_1½ равно расстоянию между прямыми ½CD, AB½.

     Угол между прямыми CD ^Ù AB равен углу между сторонами треугольника АВ ^Ù АЕ. Измерять угол следует в натуральной величине треугольника.

 

Домашняя работа: Через точку А провести прямую АК, которая пересекает прямые м и n.

20

Литература

 

1. Тюкин, Н. Н. Инженерная и компьютерная графика: учеб. пособие. Ч. 1 / Н. Н. Тюкин, С. Г. Резико. – Вологда: ВоГТУ, 2009. – 139, [1] с.

2. Тюкин, Н. Н. Инженерная и компьютерная графика: учеб. пособие. Ч. 2 / Н. Н. Тюкин, С. Г. Резико. – Вологда: ВоГТУ, 2009. – 98, [2] с.

 

 

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

 высшего профессионального образования

«Вологодский государственный университет»

 

 

         

                 Инженерная

               и Компьютерная

                                  графика

 

Вологда

 2014 г.

 

 

   УДК 744: 515

 

   Инженерная и компьютерная графика. Геометрическое моделирование. Методические указания и задания к выполнению аудиторных и домашних работ. – Вологда: ВоГУ, 2014. – 32с.

 

   Методические указания предназначены для освоения методов построения и преобразования чертежа, измерения и изменения длин и углов.

 

Утверждено редакционно-издательским советом ВоГУ

 

Составители: Н. Н. Тюкин, доцент кафедры НГиГ

                      

 

Рецензент В. А. Бабарушкин, канд. техн. наук, доцент

 

 

Выписка из протокола № 8

заседания кафедры начертательной геометрии и графики

Вологодского государственного университета

от «»             2014 г.

 

 

Слушали:    Тюкина Н.Н. о готовности к печати методических указаний «Инженерная и компьютерная графика Геометрическое моделирование. Методические указания и задания к выполнению аудиторных и домашних работ. Методические указания предназначены для студентов электро-энергетического факультета направления подготовки 140400 «Электроснабжение».

 

 

                     Автор: Тюкин Н.Н.

                  

Постановили:  методические указания и задания рекомендовать к изданию внутривузовским способом.

 

И.о.зав. кафедрой НГ и Г                                            Е.В. Соловьева

Секретарь                                                                   Л.К. Романовская

 

Выписка

из протокола №____ заседания методического совета

электроэнергетического факультета

Вологодского государственного университета

от «____» _______________2014 г.

 

   Слушали: секретаря методического совета ЭЭФ Корнейчук С. К. об издании внутривузовским способом методических указаний «Инженерная и компьютерная графика. Геометрическое моделирование. Методические указания и задания к выполнению аудиторных и домашних работ. Методические указания предназначены для студентов электро-энергетического факультета направления подготовки 140400 «Электроснабжение».

      

                     Автор: Тюкин Н.Н.

Постановили: методические указания и задания рекомендовать к изданию внутривузовским способом.

 

 

Председатель

методического совета ЭЭФ                                        Ю.В. Хрусталев

 

 

Секретарь

методического совета ЭЭФ                                         С. К. Корнейчук

 

     

 

 

Рецензия

на методические указания

«Инженерная и компьютерная графика. Геометрическое

моделирование». Методические указания и задания

к выполнению аудиторных и домашних работ.

 

      Разработанные методические указания подготовлены для студентов направления подготовки: 140400 «электроснабжение».

Методические указания по объему и содержанию соответствуют требованиям программы, предъявляемым ФГОС ВПО направлений 140400 по дисциплине «Инженерная и компьютерная графика». Подготовленные методические указания предназначены для самостоятельного выполнения позиционных и метрических задач по разделу электрических схем и чертежей общего вида.

 Порядок разделов соответствует последовательности изложения теоретического материала. Содержание и уровень оформления отвечают современным требованиям.      

На основании изложенного можно считать, что методические указания будут полезны при изучении курса «Инженерная и компьютерная графика» и могут быть рекомендованы к изданию внутривузовским способом.

 

  Канд. техн. наук, доцент                               В.А. Бабарушкин             

                                                        

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

     Курс ’Начертательная геометрия. Инженерная и компьютерная графика’ входит в число дисциплин, составляющих основу инженерного образования.

     Предметом начертательной геометрии является изложение и обоснование способов построения плоской модели трехмерного пространства и способов решения задач геометрического характера на базе этой модели. Однако, методы построения и преобразования чертежа преимущественно основаны на словесном описании и запоминании стандартных положений.

     Такая трактовка трехмерного пространства не имеет явного сходства с положениями алгебры и тригонометрии, которые предлагают свою математическую модель трехмерного пространства.

     Следовательно, начертательная геометрия в классической форме не предполагает использование ЭВМ, т.к. вычислительная техника воспринимает цифровую информацию с последующей математической обработкой ее в графическую. На базе графоматематической модели работают системы автоматизированного (с участием оператора) и автоматического управления объектами.

     Одним из условий овладения техническими знаниями является умение читать (выполнять) конструкторские документы с учетом требований ЕСКД (единая система конструкторской документации) и СПДС (система проектной документации для строительства) и использовать при этом ЭВМ в режиме пользователя.

 

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

 

     В данной работе рассматривается один из вариантов геометрической модели трехмерного пространства, позволяющей использовать понятия начертательной геометрии на ЭВМ.

     Аппарат геометрической модели предполагает измерение длин в метрах и плоских углов в градусах или радианах.

     П од длиной подразумевается расстояние между двумя точками. Измерение длины ведется вдоль некоторой прямой от заранее выбранной на ней точки - текущей базы БТ (БТ - точка, координаты которой внутри объекта равны нулю) (рис.1).

Рис. 1. Прямая a. БТ - текущая база;  a - обозначенное направление; L - положительное расстояние до точки С; (-В) - отрицательное расстояние до точки D.

 

3

  Линия на чертеже обозначается строчной буквой латинского алфавита.

 

     Если измерение длины ведется в обозначенную сторону прямой, то длина считается положительной и наоборот.

     Таким образом, прямая имеет положительное или отрицательное линейное направление.

     Кроме того, она имеет угловое направление. Измерение угла принято вести от тригонометрического нуля.

     Т ригонометрический ноль – луч 0 с началом в БТ и направлен горизонтально вправо (рис.2).

     Измеряется угол до положительного направления прямой. Если измерение угла против часовой стрелки, то угол положительный, по часовой - отрицательный.

     О бозначается угол строчной буквой греческого алфавита.

Рис.2. Прямая a; j - положительный угол; (-j) - отрицательный угол; БТ – текущая база; 0 – тригонометрический ноль.

 

     Математическая модель той же прямой Y = K ´ X + Y ^БТ (изменение координаты Y точки прямой с изменением координаты Х; K = tg j).