Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2021-03-18 | 219 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение. Линейный оператор называется невырожденным, если он любой ненулевой вектор переводит в ненулевой.
Теорема 4.4. Для того чтобы линейный оператор был невырожденным необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом базисе пространства была невырожденной
►Пусть А – матрица линейного оператора в некотором базисе, Х, как обычно, координатный столбец вектора в том же базисе. Тогда
{ f – невырожденный} {однородная система линейных уравнений AX = O имеет единственное тривиальное решение} { }.
Так как определители подобных матриц совпадают, то утверждение справедливо и для любого базиса. ◄
Теорема 4.5. Для того чтобы линейный оператор был невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы он был взаимно однозначным.
►Пусть – линейный оператор, А – его матрица в некотором базисе, X и Y – координатные столбцы в том же базисе векторов и соответственно. Тогда
{ невырожденный} { система имеет единственное решение} { единственный , что }
{ единственный , что } { f – взаимно однозначный}.◄
Теорема 4.6. Произведение невырожденных линейных операторов – невырожденный линейный оператор.
►Пусть и – невырожденные линейные операторы. Тогда
{ } { } { }.
Tаким образом, gf – невырожденный линейный оператор.◄
Обратный линейный оператор
Теорема 4.7. Для любого невырожденного линейногооператора существует единственный обратный оператор , который также является линейным. При этом, если А – матрица оператора в некотором базисе, то матрица оператора в том же базисе совпадает с матрицей .
► Единственность. Пусть некоторый оператор имеет два разных обратных: и . Тогда
|
– противоречие.
Существование. Пусть А – матрица оператора в некотором базисе. Тогда, по теореме 4.4 , значит, существует . Обозначим – тот линейный оператор, матрица которого в выбранном базисесовпадаетс .
Так как , и так как произведению матриц соответствует произведение операторов, то , и, таким образом, .◄
Замечание. М ожно доказать, что любой взаимно однозначный линейный оператор имеет единственный обратный, который тоже является линейным.
Изоморфизм линейных пространств
Определение.Изоморфизмом линейных пространств называется взаимно однозначный линейный оператор. Если существует изоморфизм , то линейные пространства и называются изоморфными. Изоморфизм обозначается так: .
Так как изоморфизм – взаимно однозначное отображение, то изоморфные объекты содержат одинаковое количество элементов. Кроме того, в силу линейности, действия, производимые над элементами пространства , одновременно производятся и над элементами пространства . Поэтому в математике изоморфные объекты не различаются.
Свойства изоморфизма
1. – рефлективность (изоморфизм осуществляет тождественное отображение).
2. – симметричность (если первый изоморфизм осуществляет с помощью отображения f, то второй – с помощью ).
3. { , } – транзитивность (если первый изоморфизм осуществляется с помощью отображения , второй – , то третий изоморфизм осуществляется с помощью отображения ).
Строгого доказательства этих свойств мы не приводим.
Теорема 4.8. Изоморфные линейные пространства имеют одинаковые размерности.
►Пусть и пусть – изоморфизм. Выберем в какой-либо базис
(4.27)
и покажем, что система
– (4.28)
базис пространства . Действительно, в силу взаимной однозначности f, единственный такой, что . Тогда, если , то . Значит, (4.28) – система образующих в .
|
Докажем теперь линейную независимость (4.28).
[линейность f ]
[взаимная однозначность f ] [линейная независимость (4.27)] {(4.28) – линейно независима}.
Таким образом, (4.28) – базис в , а значит, . ◄
Теорема 4.9. Все n -мерные линейные пространства над полем Р изоморфны между собой, т. е. существует единственное с точностью до изоморфизма n- мерное линейное пространство над полем Р.
►а) Докажем, что .
Выберем в какой-либо базис . Тогда : . Обозначим . Очевидно, отображение – взаимно однозначное. Кроме того, , :
:
Поэтому f – линейный оператор, а значит, и изоморфизм. Итак, .
б) Пусть теперь и – n- мерные линейные пространства над одним и тем же полем Р. Тогда
{ и } [симметричность] { и и } [транзитивность] { }.◄
Таким образом, мы показали, что с точки зрения математики единственным n- мерным линейным пространством над полем Р является .
|
|
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!