Изображение синусоидальных величин с помощью временных и векторных диаграм

Изображение синусоидальных величин с помощью временных и векторных диаграм

При сложении или вычитании синусоидальных величин одинаковой частоты получают синусоидальную величину той же частоты. Операции сложения или вычитания могут производится при расчете электрических цепей часто приходится складывать или вычитать величины токов или напряжений, являющиеся синусоидальными функциями времени. Графические построения или тригонометрические преобразования в этом случае могут оказаться слишком громоздкими. Задача упрощается, если представить наши синусоидальные функции в векторной форме.

 

Проведем две взаимоперпендикулярные оси и из точки пересечения осей проведем вектор I_m, длина которого в масштабе выражает амплитудный ток. Направление вектора выберем так, чтобы с положительным направлением горизонтальной оси вектор составлял угол, равный начальной фазе ψ. Проекция этого вектора на вертикальную ось определяет мгновенный ток в начальный момент времени i₀ = I_msin ψ. Представим, что вектор I_m вращается против движения часовой стрелки с угловой скоростью, равной угловой частоте ω. Его положение в любой момент времени определяется углом ωt + ψ. Тогда мгновенный ток для произвольного времени t можно определить проекцией вектора Im на вертикальную ось в этот момент времени, в общем случае i = I_msin (ωt + ψ).
Векторная диаграмма.
Изображение синусоидальных величин с помощью векторов дает возможность наглядно показать начальные фазы этих величин и сдвиг фаз между ними.
Совокупность нескольких векторов, соответствующих нулевому моменту времени, называется векторной диаграммой. На векторной диаграмме изображают токи (напряжения) одинаковой частоты.

 

 

Сложение и вычитание синусоидальных величин

 

При сложении или вычитании синусоидальных величин одинаковой частоты получают синусоидальную величину той же частоты. Операции сложения или вычитания могут производится аналитически и графически – по временной и векторной диаграммам.
Наиболее удобный способ – графический по векторной диаграмме.
Алгебраическое сложение и вычитание векторов. Сложение векторов: один вектор остается на месте, другие переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало последующего вектора совпадало с концом предыдущего. Вектор, проведенный из начала первого вектора в конец последнего, представляет суму всех векторов. Вычитание одного вектора из другого выполняется сложением прямого вектора с вычитаемым вектором, повернутым на 180°.

 

Ток и напряжение в цепи с активным сопротивлением совпадает по фазе.

 

 

Мгновенная мощность

p=ui=U_mI_m sin²ωt.

Преобразуем формулу: sin²ωt=(1-cos2ωt)/2 и U_mI_m/2= U_mI_m/√2√2=UI,
в результате p=UI-UIcos²ωt.
Мгновенная мощность, оставаясь все время положительной, колеблется около уровня UI

 

 

Для определения расхода энергии за длительное время целесообразно пользоваться средним значением мощности.

P=UI

Цепь с индуктивностью

Под действием синусоидального напряжения в цепи с индуктивной катушкой без ферромагнитного сердечника проходит синусоидальный ток

i= Im sin ωt

В результате этого вокруг катушки возникает переменное магнитное поле и в катушке наводится ЭДС самоиндукции. При R=0 напряжение источника целиком идет на уравновешивание этой ЭДС.

 

 

 

Ток в цепи с индуктивностью отстает по фазе от напряжения на угол π/2. Это объясняется тем, что индуктивная катушка реализует инерцию электромагнитных процессов.

U_m=I_mωL
I_m= U_m/ωL
ωL=2πƒL=X_L

X_L – индуктивное сопротивление цепи
I_m=Um/X_L – закон Ома для амплитудных значений. Разделим на √2
I=U/X_L – закон Ома для действующих значений.

 

 

Мгновенная мощность

p=ui=U_mI_msin(ωt+π/2)sinωt=U_mI_m cosωt sinωt
sinωt cosωt=(sin2ωt)/2;
U_mI_m/2=UI
p=UIsin2ωt

При одинаковых знаках напряжения и тока мощность положительна, а при разных знаках – отрицательна.
В среднем катушка не потребляет энергии, и, следовательно, активная мощность Р=0.

Реактивная мощность

Реактивная мощность
Для количественной характеристики интенсивности обмена энергией между источником и катушкой служит реактивная мощность.

Q=UI

Единицей реактивной мощности является вольт-ампер реактивный (ВАр)

Реактивная мощность

Цепь с ёмкостью

u=Um sin ωt – мгновенное напряжение

i=dQ/dt

Количество электричества Q на обкладках конденсатора связано с напряжением на ёмкости и самой ёмкостью Q=Cu, следовательно

 

 

Ток в цепи с ёмкостью опережает по фазе напряжение на угол π/2

 

Мгновенная мощность

p = ui = -U_mI_m sin ωt cos ωt = -UI sin 2ωt

В цепи с ёмкостью, так же как и в цепи с индуктивностью, происходит переход энергии от источника к нагрузке, и наоборот.

 

XC – ёмкостное сопротивление цепи Im=Um/XC – закон Ома для амплитудных значений I=U/XC – закон Ома для действующих значений Ёмкостное сопротивление XC уменьшается с ростом частоты ƒ.

Мгновенная мощность

p = UIcosφ - UIcos(2ωt + φ)

Мгновенное значение мощности колеблется около постоянного уровня UIcosφ. Отрицательная часть графика определяет энергию, которая переходит от источника к индуктивной катушке и обратно.

 

Реактивная мощность

           Для количественной характеристики интенсивности обмена энергией между источником и конденсатором служит реактивная мощность.

Q = UI

5. Цепь с активным сопротивлением и ёмкостью

i = I_msin ω t
U_R = U_Rmsin ω t
U_C = U_Cmsin(ω t - π /2)

Напряжение на ёмкости отстает по фазе от тока на угол π/2

 

Построим векторную диаграмму цепи. Из нее следует, что

 

Треугольник сопротивлений подобен треугольнику напряжений. Сдвиг фаз φ в этом случае отрицателен, так как напряжение отстает по фазе от тока

 

Мгновенная мощность

p = UIcosφ - UIcos(2ωt + φ) (как и для RL)

Средняя мощность

P = UIcosφ

Реактивная мощность

Q = UIsinφ

Характеризует интенсивность обмена энергией между источником и ёмкостью. Так как φ<0, то реактивная мощность Q<0. Когда ёмкость отдает энергию, индуктивность ее потребляет, если они находятся в одной цепи.

    6. Цепь с активным сопротивлением, индуктивностью и ёмкостью.

Цепь с активным сопротивлением, индуктивностью и ёмкостью представляет собой общий случай последовательного соединения активных и реактивных сопротивлений и является последовательным колебательным контуром. (9)

Построим векторную диаграмму при условии X_L >X_C, то есть U_L=IX_L > U_C=IX_C

i = I_msinωt
U_R = U_Rmsinωt
U_L = U_Lmsin(ωt+π/2)
U_C = U_Cmsin(ωt-π/2)

Вектор результирующего напряжения U замыкает многоугольник векторов UR, UL, UC. Вектор UL + UC определяет напряжение на индуктивности и ёмкости. Как видно из диаграммы, это напряжение может быть меньше напряжения на каждом из участников в отдельности. Это объясняется процессом обмена энергией между индуктивностью и ёмкостью. Выведем закон Ома для этой цепи.

Разность между индуктивным и ёмкостным сопротивлением XL-XC=X называют реактивным сопротивлением цепи. При XL > XC реактивное сопротивление положительно и сопротивление цепи носит активно-индктивный характер. При XL< XC реактивное сопротивление отрицательно и сопротивление цепи носит активно-ёмкостный характер.

 

Коэффициент мощности

cosφ = P/S - коэффициент мощности

Технико-экономическое значение коэффициента мощности cosφ заключается в том, что от его значения зависят эффективность использования электрических установок и капитальные и эксплуатационные расходы.
P=U_номI_номcosφ – активная мощность, развиваемая генератором при номинальном режиме.
U_ном – номинальное напряжение генератора
I_ном – номинальный ток, который, при длительном прохождении, вызывает предельно допустимое нагревание генератора.
Полное использование мощности генератора происходит при cosφ=1. В этом случае активная мощность P максимальна и равна номинальной полной мощности S_ном

 

Sном = UномIном

При постоянной мощности потребителя P уменьшение cosφ приводит к увеличению тепловых потерь в линии передачи, которые растут обратно пропорционально квадрату коэффициента мощности.

 

ΔP = P0/cos2φ ΔP – мощность тепловых потерь в линии P0 – потери в линии при cosφ0=1

 

Для полного использования номинальной мощности генераторов и уменьшения тепловых потерь необходимо повышать cosφ приемников энергии до значений, близких к единице (0,95÷1,0).
Для повышения cosφ параллельно приемнику энергии включают батареи конденсаторов. Благодаря этому источником реактивной энергии для приемника становится ёмкость и линия передачи разгружается от реактивного тока.

Резонанс напряжений

Резонанс токов

Резонансом токов называют такое явление в цепи с параллельным колебательным контуром (9), когда ток в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением источника.

 

Схема параллельного колебательного контура Сопротивление R в индуктивной ветви обусловлено тепловыми потерями на активном сопротивлении катушки. Потерями в ёмкостной ветви можно пренебречь. Условием резонанса токов является равенство нулю реактивной проводимости контура: b=b1+b2=0   b1 = XL/R2 + X2L; b2 = - 1/XC

 

Построим векторную диаграмму. Для того, чтобы ток I в неразветвленной части цепи совпадал по фазе с напряжением, реактивная составляющая тока индуктивной ветви I_Lp должна быть равна по модулю току ёмкостной ветви I_C. Активная составляющая тока индуктивной ветви I_Lа оказывается равной току источника I.

Признаки резонанса токов: 1. Сопротивление контура Z максимальное и чисто активное. 2. Ток в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением источника и достигает практически минимального значения. 3. Реактивная составляющая тока в катушке равна ёмкостному току, причем эти токи могут во много раз превышать ток источника. Физически это объясняется тем, что при малых потерях в контуре (при малом R) ток источника требуется только для покрытия этих потерь. Ток в контуре обусловлен обменом энергией между катушкой и конденсатором. В идеальном случае ток источника отсутствует (контур без потерь)

 

Изображение синусоидальных величин с помощью временных и векторных диаграм

При сложении или вычитании синусоидальных величин одинаковой частоты получают синусоидальную величину той же частоты. Операции сложения или вычитания могут производится при расчете электрических цепей часто приходится складывать или вычитать величины токов или напряжений, являющиеся синусоидальными функциями времени. Графические построения или тригонометрические преобразования в этом случае могут оказаться слишком громоздкими. Задача упрощается, если представить наши синусоидальные функции в векторной форме.

 

Проведем две взаимоперпендикулярные оси и из точки пересечения осей проведем вектор I_m, длина которого в масштабе выражает амплитудный ток. Направление вектора выберем так, чтобы с положительным направлением горизонтальной оси вектор составлял угол, равный начальной фазе ψ. Проекция этого вектора на вертикальную ось определяет мгновенный ток в начальный момент времени i₀ = I_msin ψ. Представим, что вектор I_m вращается против движения часовой стрелки с угловой скоростью, равной угловой частоте ω. Его положение в любой момент времени определяется углом ωt + ψ. Тогда мгновенный ток для произвольного времени t можно определить проекцией вектора Im на вертикальную ось в этот момент времени, в общем случае i = I_msin (ωt + ψ).
Векторная диаграмма.
Изображение синусоидальных величин с помощью векторов дает возможность наглядно показать начальные фазы этих величин и сдвиг фаз между ними.
Совокупность нескольких векторов, соответствующих нулевому моменту времени, называется векторной диаграммой. На векторной диаграмме изображают токи (напряжения) одинаковой частоты.