Ортогональные и ортонормированные системы функций.

Ортогональные и ортонормированные системы функций.

Говорят, что функции  и  ортогональны на , если интеграл .

Система функций  конечная или бесконечная называется ортогональной на , если функции этой системы попарно ортогональны ; при этом будет предполагать, что интеграл , для всех n-1,2,…

Система функций называется ортонормированной на g w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>b</m:t></m:r></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> , если . Если ортогональная система функций  на g w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>b</m:t></m:r></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">  не содержит функций с нулевой нормой, то система  - ортонормированная. Действительно,

.

Ряды Фурье по произвольной ортогональной системе функций.

Пусть     (1) бесконечная ортогональная на  система функций. Предположим, что некоторую функцию

 (2) – называется многочленом, где  - некоторая константа системы функций (1). Домножим правую и левую часть выражения (2) на , где  и проинтегрируем правую и левую части на .

 

. .

  (3). Коэффициент  определяемый по формуле (3) называется коэффициентом Фурье для функции  по ортогональной системе функций (1). Определение: Пусть функция  производная, непрерывная или разрывная (допускается разрыв первого рода), заданная на , для которой интегралы вида (3) позволяют вычислить для функции  коэффициент Фурье с любым n. Ряд вида   (4), где  - коэффициенты Фурье, называемые рядом Фурье для функции  по системе функции (1), при этом можно записать (4). Знак «~» можно поменять на «=», если докозательство сходимости ряда (4) и этот ряд имеют своей суммой функцию .

Ортогональность тригонометрической системы функций.

Система функций , (1) называется основной тригонометрической системой. Эта система ортогональна на отрезке .

Можно показать, подсчитав интегралы вида  и , что система (1) является ортогональной системой на  и на любом отрезке оси OX, длиной 2l:

,

. От системы (1) можно перейти к системе

 путем замены переменной: .

Формулировка достаточных условий разложимости функции в тригонометрический ряд Фурье.

, где

 - действительные числа, называемые коэффициентами Фурье. Пусть функция  произвольная, заданная на  такая, что существуют интегралы:

Функцию  можно представить в виде ряда Фурье:

Ортогональные и ортонормированные системы функций.

Говорят, что функции  и  ортогональны на , если интеграл .

Система функций  конечная или бесконечная называется ортогональной на , если функции этой системы попарно ортогональны ; при этом будет предполагать, что интеграл , для всех n-1,2,…

Система функций называется ортонормированной на g w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>b</m:t></m:r></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> , если . Если ортогональная система функций  на g w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>b</m:t></m:r></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">  не содержит функций с нулевой нормой, то система  - ортонормированная. Действительно,

.