![](/img/CyberPedia.jpg)
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
![]() |
![]() |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Ортогональные и ортонормированные системы функций.
Говорят, что функции и
ортогональны на
, если интеграл
.
Система функций конечная или бесконечная называется ортогональной на
, если функции этой системы попарно ортогональны
; при этом будет предполагать, что интеграл
, для всех n-1,2,…
Система функций называется ортонормированной на g w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>b</m:t></m:r></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> , если
. Если ортогональная система функций
на g w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>b</m:t></m:r></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">
не содержит функций с нулевой нормой, то система
- ортонормированная. Действительно,
.
Ряды Фурье по произвольной ортогональной системе функций.
Пусть (1) бесконечная ортогональная на
система функций. Предположим, что некоторую функцию
(2) – называется многочленом, где
- некоторая константа системы функций (1). Домножим правую и левую часть выражения (2) на
, где
и проинтегрируем правую и левую части на
.
.
.
(3). Коэффициент
определяемый по формуле (3) называется коэффициентом Фурье для функции
по ортогональной системе функций (1). Определение: Пусть функция
производная, непрерывная или разрывная (допускается разрыв первого рода), заданная на
, для которой интегралы вида (3) позволяют вычислить для функции
коэффициент Фурье с любым n. Ряд вида
(4), где
- коэффициенты Фурье, называемые рядом Фурье для функции
по системе функции (1), при этом можно записать
(4). Знак «~» можно поменять на «=», если докозательство сходимости ряда (4) и этот ряд имеют своей суммой функцию
.
|
Ортогональность тригонометрической системы функций.
Система функций , (1) называется основной тригонометрической системой. Эта система ортогональна на отрезке
.
Можно показать, подсчитав интегралы вида и
, что система (1) является ортогональной системой на
и на любом отрезке оси OX, длиной 2l:
,
. От системы (1) можно перейти к системе
путем замены переменной:
.
Формулировка достаточных условий разложимости функции в тригонометрический ряд Фурье.
, где
- действительные числа, называемые коэффициентами Фурье. Пусть функция
произвольная, заданная на
такая, что существуют интегралы:
Функцию можно представить в виде ряда Фурье:
Ортогональные и ортонормированные системы функций.
Говорят, что функции и
ортогональны на
, если интеграл
.
Система функций конечная или бесконечная называется ортогональной на
, если функции этой системы попарно ортогональны
; при этом будет предполагать, что интеграл
, для всех n-1,2,…
Система функций называется ортонормированной на g w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>b</m:t></m:r></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> , если
. Если ортогональная система функций
на g w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>b</m:t></m:r></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">
не содержит функций с нулевой нормой, то система
- ортонормированная. Действительно,
|
.
|
|
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!