Часть 1. Математические модели

Воронежский филиал

 

 

Методы моделирования и

Прогнозирования экономики

 

Конспект лекций, примеры решения задач и задания для выполнения контрольной работы

 

 

Разработал: доц. Моисеев С.И.

 

 

Воронеж, 2014

 

ЧАСТЬ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

 

Моделирование производства

 

Рассмотрим простейшие модели производства, в основе которых лежит понятие производственной функции.

 

Производственные функции и их характеристики

 

Простейшую модель производства можно представить как некоторую систему, перерабатывающую различные виды ресурсов в готовую продукцию.

 

В качестве ресурсов могут выступать: · сырье; · трудовые затраты;

· энергозатраты;

 

· научно-исследовательские ресурсы; · технологические ресурсы; · транспортные ресурсы и др.

 

 

Ресурсы

ПРОИЗВОДСТВО

Готовая

       

продукция

               

 

 

Производственной функцией называется зависимость между объемомпроизведенной продукции у и затратами различных видов ресурсов, необходимых для

 

выпуска этой продукции x ₁, x ₂,..., x _n:

 

y = f (x ₁, x ₂,..., x _n).

 

На практике для упрощения модели часто используют двухфакторную производственную функцию y = f (x ₁, x ₂), включающую два вида ресурсов:

 

1) материальные x ₁, включающие затраты сырья, энергии, транспортные и др. ресурсы;

 

2) трудовые ресурсы x ₂.

 

Производственная функция должна удовлетворять р яду требований:

1. Без затрат ресурсов нет выпуска: f (0, 0) = 0.

 

2. С увеличением затрат любого из ресурсов выпуск ра стет, т. е. производственная функция должна быть возрастающей по любому из факторов.

 

3. Закон убывания эффективности: при одних и тех же абсолютных

увеличениях   затрат  любого   из

у		f (x)	ресурсов	D х	прирост	объема
D y 1			производства D у тем меньше, чем больше
D y 2		D y 1 < D y 2	выпуск продукции. Другими словами,
			производственная функция должна быть
			выпуклой по каждому аргументу.
			Зная	производственную		функцию,
D x	D x	x	можно	рассчитать	ряд	числовых
			характеристик. Рассмотрим основные

из них.

1. Средней производительностью по каждому ресурсу называются величины:

A 1	=	f (x 1, x 2)	, A 2	=	f (x 1	, x 2)
							,
		x 1
					x 2

которые имеют смысл среднего выпуска продукции из расчета единичных затрат данного ресурса.

 

Если x ₁ — материальные затраты, а x ₂ — трудовые, то A ₁ называется капиталоотдачей, а А ₂—называется производительностью труда.

 

2. Предельной или маржинальной производительностью по каждомуресурсу называются величины:

 

M		=	¶ f (x 1, x 2)	= f ¢	(x, x		),	M		=	¶ f (x 1, x 2)	= f ¢		(x, x		).
	1					2			2						2
				x	1							x		1
			¶ x 1								¶ x 2		2
			1

 

Эти величины показывают приближенно, на сколько единиц изменится выпуск, если затраты того или иного ресурса изменятся на единицу:

M ₁»^{D y} _{D x 1}; M ₂»^{D y} _{D x 2}.

3. Частной эластичностью по каждому ресурсу называются величины:

 

E =	M 1	; E		=	M 2	.
			2
1	A 1				A 2

 

Эластичности приближенно показывают, на сколько процентов изменится

 

4. Технологической нормой замены называется величина R 12= ^{E 1 x 2},которая

E ₂ x ₁

 

приближенно показывает, как изменится выпуск, если единицу одного ресурса заменить единицей другого.

 

П р и м е р 1. Производственная функция имеет вид y = a x ₁×ln(bx ₂).Найти

 

средние и предельные производительности, эластичности, технологическую норму замены.

 

Решение. Средние производительности равны:

 

A =

y

=

a

x 1ln(bx 2)

=

a ln(bx 2)

;

A =

y

=

a

x 1ln(bx 2)

.

1

x 1

x 1

2

x 2

x 2

x

1

Предельные производительности равны:

M

= y ¢

=

a ln(

bx

2 )

;

M

= y ¢

=

a

x 1

.

1

2

x

2 x

x

x 2

1

2

1

Эластичности равны:

E =

M 1

=

1

; E

=

M 2

=

1

; E =

1

+

1

.

2

1

A 1

2

A 2

ln(bx 2)

2

ln(bx 2)

Технологическая норма замены есть

R

=

E 1 x 2

=

x 1ln(bx 2)

.

12

E 2 x 1

2 x 2

 

Моделирование потребления

В условиях рыночной системы управления производственной и сбытовой деятельностью предприятий и фирм в основе принятия хозяйственных решений лежит рыночная информация, а обоснованность решений проверяется рынком в ходе реализации товаров и услуг. При таком подходе начальным пунктом всего цикла предпринимательской деятельности становится изучение потребительского спроса. Рассмотрим некоторые вопросы моделирования спроса и потребления.

 

Рассмотрим потребителя, который в результате своего существования потребляет некоторые блага. Уровень удовлетворения потребностей потребителя обозначим через U. Предположим, что имеется n видов благ Б ₁, Б ₂,…, Б _n. В качестве благ могут выступать:

 

· продовольственные товары;

· товары первой необходимости;

· товары второй необходимости;

· предметы роскоши;

· платные услуги и т. д.

Пусть количество потребления каждого блага равно х ₁, х ₂,…, х _n. Целевой

функцией потребления называется зависимость				между степенью (уровнем)
			удовлетворения		потребностей		U	и
х 2			количеством		потребляемых		благ:
	С 1		х 1, х 2,…, х n.	Эта	функция	имеет		вид
			U = U (x 1, x 2,..., x n).
	С 1> С 2 > С 3
	С 2		В пространстве потребительских благ
			каждому			уравнению
	С 3		U = U (x 1, x 2,..., x n)			соответствует

 

 

или безразличных, наборов благ, которая называется поверхностью безразличия. Гиперповерхность такой кривой, называемой многомерной поверхностью

 

безразличия, можно представить в виде U (x ₁, x ₂,..., x _n) = C, где С — константа.

 

Для наглядности рассмотрим пространство двух благ, например, в виде двух агрегированных групп товаров: продукты питания Б₁ и непродовольственные товары, включая платные услуги Б ₂. Тогда уровни целевой функции потребления

 

U (x ₁, x ₂)можно изобразить на плоскости в виде кривых безразличия,соответствующих различным значениям константы С. Для этого выражают

количество потребления одного блага х ₁ через другое х ₂. Рассмотрим пример.

П р и м е р     1.     Целевая    функция     потребления    имеет     вид

 

y = f (x ₁, x ₂)=³  x ₁(x ₂+5).Найти кривые безразличия.

Решение. Кривые

безразличия

имеют вид y =3

x (x

2

-1)

= C или

1

x (x

-1) = C 3, или

x

=

C 3

+1

(при этом следует отметить, что должно

2

2

1

x 1

выполняться x 1 ³ 0; x 2

³ 0).

Каждый потребитель стремится максимизировать уровень удовлетворения потребностей, то есть U ® max. Однако максимизации степени удовлетворения потребностей будут мешать возможности потребителя. Обозначим цену на единицу каждого блага через р ₁, р ₂,…, р _n, а доход потребителя через D. Тогда должно выполняться бюджетное ограничение, имеющее смысл закона, согласно которому затраты потребителя не должны превышать сумму дохода:

 

p ₁ x ₁+ p ₂ x ₂+...+ p _n x _n £ D.

 

В результате для нахождения оптимального набора благ необходимо решать задачу оптимального программирования:

 

U (x ₁, x ₂,..., x _n)®max;

 

ì p ₁ x ₁+ p ₂ x ₂+...+ p _n x _n £ D;                  (2.1)

^í_î x _i ³0, (i =1, 2,..., n).

 

Рассмотрим двухфакторную функцию потребления U (x ₁, x ₂), где х ₁ — объем

 

потребления продуктов питания и х ₂ — потребление непродовольственных товаров и платных услуг. Кроме того, предположим, что весь доход потребитель направляет на удовлетворение своих потребностей. В этом случае бюджетное ограничение будет содержать только два слагаемых, и неравенство превратится в равенство. Задача оптимального программирования при этом примет вид:

 

х ₁     определенная поверхность равноценных,

 

U (x 1, x 2)®max;
ì p x + p				x		= D;	(2.2)
í 1	1		2		2
î x 1	³ 0,	x 2			³ 0.

Геометрически оптимальное решение имеет смысл точки касания кривой безразличия линии, соответствующей бюджетному ограничению.

Из бюджетного ограничения системы (6.4) можно выразить переменную

 

Для ее решения выражаем из бюджетного ограничения   20 x ₁ + 50 x ₂ = 1800

 

одну переменную через другую:                     x 2=^{1800-20 x 1}=36-0,4 x 1.Подставляем в50

целевую функцию

 

U =	(x	+ 4)(36 - 0,4 x)	=	36 x	+144 - 0,4 x 2	-1,6 x =
1		1		1	1	1

 

 

x 2=	D - p 1 x 1		. Подставив	это х 2
	p 2
выражение в целевую функцию,
получаем		функцию		одной
переменной

 

	æ	D - p x		ö
U (x)= U ç		1 1	, x	÷	,
1	ç	p 2	1	÷
	è			ø

максимум которой можно найти из уравнения, приравняв производную

 

нулю: U ¢(x ₁) = 0.

 

 

Оптимальное

 

решение

 

 

х 1

 

к

 

 

= 34,4 x	+144 - 0,4 x 2.
1	1

 

Находим производную и приравниваем ее к нулю

U ¢ =(

)¢ =

(34,4 x 1 +144 - 0,4 x 12)¢

34,4 x 1 +144 - 0,4 x 12

=

2 × 34,4 x

+144 - 0,4 x

2

1

1

=

34,4 - 0,8 x 1

= 0

или 34,4

- 0,8 x 1 = 0.

2 ×

34,4 x +144 - 0,4 x 2

1

1

Получаем x 1 = 30,5,

x 2=(1800-20´30,5) / 50=23,8.

 

П р и м е р 2. Целевая функция потребления имеет вид U (x ₁, x ₂)= (x ₁ + 4) x ₂. Цена на благо Б ₁ равна 20, цена на благо Б ₂ равна 50.

 

Доход потребителя составляет 1800 единиц. Найти кривые безразличия, оптимальный набор благ потребителя, функцию спроса на первое благо по цене, функцию спроса на первое благо по доходу.

 

Решение. Кривые безразличия имеют вид:

 

		) = C;			= C;			=	C 2
U (x, x			(x + 4) x	2		x	2				.
1	2		1						x 1	+ 4

 

Получаем множество гипербол, расположенных в первой координатной четверти на разном расстоянии от начала координат в зависимости от значения константы С.

 

Находим оптимальный набор благ. Задача оптимального программирования имеет вид:

 

U (x ₁, x ₂)= (x ₁ + 4) x ₂ ® max;

ì20 x ₁ + 50 x ₂ = 1800;

 

^í_î x ₁³0; x ₂³0.

 

Таким образом, оптимальный набор благ составляют 30,5 и 23,8 единиц.

 

Находим теперь функцию спроса на первое благо по цене на него. Для этого в

бюджетном ограничении

вместо фиксированного значения вводим цену первого

блага

p 1,

получая

уравнение:

p 1 x 1+50 x 2=1800.

Выражаем

x

=

1800 - p 1 x 1

= 36 -

p 1 x 1

. Подставляем в целевую функцию:

2

50

50

U =

(x 1

æ

p x

ö

æ p

ö 2

æ

2 p

ö

+ 4)ç36 -

1 1

÷ = 36 x 1

+144 - ç 1

÷ x 1

- ç

1

÷ x 1.

è

50ø

è

50ø

è

25ø

Находим производную и приравниваем ее к нулю:

æ

ö¢

1

+ 144 -

æ p

ö 2

-

æ2 p

ö

ç

ç

1

÷

1

ç

1

÷ 1

÷

U ¢ = ç

36 x

è

50

ø

x

è

25

ø

x

÷ =

è

ø

36 -

2 p

æ p

ö

1

25

- ç

1

25

÷ x 1

=

è

ø

= 0,

æ p

ö 2

æ

2 p

ö