Линейная и Кобба-Дугласа производственные функции

 

На практике при моделировании реальных производств чаще всего используют два вида производственных функций: линейную и Кобба-Дугласа.

 

Линейная производственная функция имеет вид:

 

выпуск, если затраты того или иного ресурса изменятся на один процент:

	D y				D y
E»	y	; E		»	y		.
			2
1	D x 1 x				D x 2 x
						2
	1

Величина E = E ₁ + E ₂ называется полной эластичностью или эластичностью производства.

 

y = a ₁ x ₁+ a ₂ x ₂+ b. _у

 

Она строится в случаях, когда

 

объем выпуска пропорционален затратам. Однако данная функция не удовлетворяет первому и третьему требованиям к производственным функциям, поэтому ее можно

 

Реальная функция

 

Линейное

 

приближение

Область

 

прибли-

жения

 

х

 

использовать для приближения реальных функций на небольших локальных участках изменения их аргументов (см. рисунок). Для выполнения второго требования

 

необходимо выполнение условий a ₁ > 0; a ₂ > 0.

 

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

 

y = x ₁ ^a 1 x ₂ ^a 2 b.

 

Для выполнения всех требований к производственным функциям необходимо выполнение условий: 0 < a ₁ < 1; 0 < a ₂ < 1; b > 0.

 

Найдем средние и предельные производительности, эластичности, технологическую норму замены для линейной и Кобба-Дугласа производственных функций.

 

Для линейной функции y = a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + b будет:

 

A =

y

=

a 1 x 1+ a 2 x 2+ b

; A =

y

=

a 1 x 1+ a 2 x 2+ b

;

1

x 1

x 1`

2

x 2

x 2`

M 1

= y ¢ x = a 1; M

2= y ¢ x

= a 2;

1

2

E =

M 1

=

a 1 x 1

;

1

A 1

a 1 x 1+ a 2 x 2+ b

E

=

M 2

=

a 2 x 2

; E =

a 1 x 1+ a 2 x 2

;

2

A 2

a 1 x 1+ a 2 x 2+ b

a 1 x 1+ a 2 x 2+ b

R

=

E 1 x 2

=

a 1

.

12

E 2 x 1

a 2

 

Таким образом, коэффициенты а ₁ и а ₂ линейной производственной функции имеют смысл предельных производительностей, и их можно вычислять по формулам:

a »D y	D x 1	; a» D y		.	(1.1)
1		2	D x 2

 

Для производственной функции Кобба-Дугласа y = x ₁ ^a 1 x ₂ ^a 2 b будет:

 

A =		y		=	x 1 a 1 x 2 a 2 b			= x a 1 -1 x a 2 b ;
1		x 1		1					2
						x 1`
A =		y		=		x 1 a 1 x 2 a 2 b		= x a 1 x a 2 -1 b ;
2		x 2		1					2
						x 2`

 

 

M	1	= y ¢	= a x a 1 -1 x a 2 b ; M	2	= y ¢		= a x a 1 x a 2 -1 b ;
		x	1 12		x	2	2 12
		1

 

E =

M 1

= a; E

=

M 2

= a

; E = a + a

;

2

2

2

1

1

A 2

1

A 1

R =

E 1 x 2

=

a 1 x 2

.

12

E 2 x 1

a 2 x 1

Таким образом,

коэффициенты

а 1и а 2

производственной функции Кобба-

Дугласа имеют смысл частных эластичностей, и их можно вычислять по формулам:

 

	D y					D y
a»	y		; a		»	y		.	(1.2)
				2
1	D x 1 x					D x 2 x
							2
	1
П р и м е р 2. Некоторое предприятие,		затрачивая для производства 65							единиц

материальных затрат и 17 трудовых, выпускало 120 единиц продукции. В результате расширения и увеличении материальных затрат до 68 единиц выпуск возрос до 124 единиц, а при увеличении трудозатрат до 19 единиц выпуск вырос до 127 единиц. Составить линейную производственную функцию и функцию Кобба-Дугласа.

 

Решение. Записав для удобства																				х 1				65		68							—
исходные данные в виде таблицы и
																				х 2				17			—				19
применив	формулы									(1.1)
																				у				120		124					127
и (1.2), рассчитываем параметры
производственных функций.
Линейная функция						y = a 1 x 1+ a 2 x 2+ b. Для нахождения параметров а 1и а 2
используем формулу (6.1):
a	»D y	=			124 -120							=			4		;			a			»D y			=		127 -124						=		3	.
																						2
1	D x 1					68 - 65								3										D x 2					19 -17							2
Получаем y =		4	x			+	3	x		+ b.						Для нахождения b подставляем в уравнение
		3
				1		2			2
исходные	данные	из				2-го		столбца									таблицы: 120 =										4		65 +			3	17 + b решаем
																		b = -17,7.В							3					2
уравнение относительно b, получаем																									итоге					получаем						линейную
производственную функцию								y =			4		x			+			3	x			-17,7.
																		2
										3				1							2

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид y = x a 1 x a 2 b. По формуле
							1	2
(6.2) находим коэффициенты уравнения:
	(124 -120)						(127 -124)
a»		124	= 0,73;	a		»	127	= 0,22.
		- 65)			2		(19 -17)
1	(68
		68					19
Получаем уравнение вида			y = x 0,73 x 0,22 b .				Для нахождения b подставляем в
			1	2

уравнение исходные данные из 2-го столбца таблицы: 120 = 65^0,73 ´17^0,22 ´ b.

 

Вычисляя, получаем b =	120		= 3,05. В результате производственная
	21,06 ´1,87
функция имеет вид y = x 0,73 ´ x 0,22		´3,05.
1	2

 

Моделирование потребления

В условиях рыночной системы управления производственной и сбытовой деятельностью предприятий и фирм в основе принятия хозяйственных решений лежит рыночная информация, а обоснованность решений проверяется рынком в ходе реализации товаров и услуг. При таком подходе начальным пунктом всего цикла предпринимательской деятельности становится изучение потребительского спроса. Рассмотрим некоторые вопросы моделирования спроса и потребления.

 

Рассмотрим потребителя, который в результате своего существования потребляет некоторые блага. Уровень удовлетворения потребностей потребителя обозначим через U. Предположим, что имеется n видов благ Б ₁, Б ₂,…, Б _n. В качестве благ могут выступать:

 

· продовольственные товары;

· товары первой необходимости;

· товары второй необходимости;

· предметы роскоши;

· платные услуги и т. д.

Пусть количество потребления каждого блага равно х ₁, х ₂,…, х _n. Целевой

функцией потребления называется зависимость				между степенью (уровнем)
			удовлетворения		потребностей		U	и
х 2			количеством		потребляемых		благ:
	С 1		х 1, х 2,…, х n.	Эта	функция	имеет		вид
			U = U (x 1, x 2,..., x n).
	С 1> С 2 > С 3
	С 2		В пространстве потребительских благ
			каждому			уравнению
	С 3		U = U (x 1, x 2,..., x n)			соответствует

 

 

или безразличных, наборов благ, которая называется поверхностью безразличия. Гиперповерхность такой кривой, называемой многомерной поверхностью

 

безразличия, можно представить в виде U (x ₁, x ₂,..., x _n) = C, где С — константа.

 

Для наглядности рассмотрим пространство двух благ, например, в виде двух агрегированных групп товаров: продукты питания Б₁ и непродовольственные товары, включая платные услуги Б ₂. Тогда уровни целевой функции потребления

 

U (x ₁, x ₂)можно изобразить на плоскости в виде кривых безразличия,соответствующих различным значениям константы С. Для этого выражают

количество потребления одного блага х ₁ через другое х ₂. Рассмотрим пример.

П р и м е р     1.     Целевая    функция     потребления    имеет     вид

 

y = f (x ₁, x ₂)=³  x ₁(x ₂+5).Найти кривые безразличия.

Решение. Кривые

безразличия

имеют вид y =3

x (x

2

-1)

= C или

1

x (x

-1) = C 3, или

x

=

C 3

+1

(при этом следует отметить, что должно

2

2

1

x 1

выполняться x 1 ³ 0; x 2

³ 0).

Каждый потребитель стремится максимизировать уровень удовлетворения потребностей, то есть U ® max. Однако максимизации степени удовлетворения потребностей будут мешать возможности потребителя. Обозначим цену на единицу каждого блага через р ₁, р ₂,…, р _n, а доход потребителя через D. Тогда должно выполняться бюджетное ограничение, имеющее смысл закона, согласно которому затраты потребителя не должны превышать сумму дохода:

 

p ₁ x ₁+ p ₂ x ₂+...+ p _n x _n £ D.

 

В результате для нахождения оптимального набора благ необходимо решать задачу оптимального программирования:

 

U (x ₁, x ₂,..., x _n)®max;

 

ì p ₁ x ₁+ p ₂ x ₂+...+ p _n x _n £ D;                  (2.1)

^í_î x _i ³0, (i =1, 2,..., n).

 

Рассмотрим двухфакторную функцию потребления U (x ₁, x ₂), где х ₁ — объем

 

потребления продуктов питания и х ₂ — потребление непродовольственных товаров и платных услуг. Кроме того, предположим, что весь доход потребитель направляет на удовлетворение своих потребностей. В этом случае бюджетное ограничение будет содержать только два слагаемых, и неравенство превратится в равенство. Задача оптимального программирования при этом примет вид:

 

х ₁     определенная поверхность равноценных,

 

U (x 1, x 2)®max;
ì p x + p				x		= D;	(2.2)
í 1	1		2		2
î x 1	³ 0,	x 2			³ 0.

Геометрически оптимальное решение имеет смысл точки касания кривой безразличия линии, соответствующей бюджетному ограничению.

Из бюджетного ограничения системы (6.4) можно выразить переменную

 

Для ее решения выражаем из бюджетного ограничения   20 x ₁ + 50 x ₂ = 1800

 

одну переменную через другую:                     x 2=^{1800-20 x 1}=36-0,4 x 1.Подставляем в50

целевую функцию

 

U =	(x	+ 4)(36 - 0,4 x)	=	36 x	+144 - 0,4 x 2	-1,6 x =
1		1		1	1	1

 

 

x 2=	D - p 1 x 1		. Подставив	это х 2
	p 2
выражение в целевую функцию,
получаем		функцию		одной
переменной

 

	æ	D - p x		ö
U (x)= U ç		1 1	, x	÷	,
1	ç	p 2	1	÷
	è			ø

максимум которой можно найти из уравнения, приравняв производную

 

нулю: U ¢(x ₁) = 0.

 

 

Оптимальное

 

решение

 

 

х 1

 

к

 

 

= 34,4 x	+144 - 0,4 x 2.
1	1

 

Находим производную и приравниваем ее к нулю

U ¢ =(

)¢ =

(34,4 x 1 +144 - 0,4 x 12)¢

34,4 x 1 +144 - 0,4 x 12

=

2 × 34,4 x

+144 - 0,4 x

2

1

1

=

34,4 - 0,8 x 1

= 0

или 34,4

- 0,8 x 1 = 0.

2 ×

34,4 x +144 - 0,4 x 2

1

1

Получаем x 1 = 30,5,

x 2=(1800-20´30,5) / 50=23,8.

 

П р и м е р 2. Целевая функция потребления имеет вид U (x ₁, x ₂)= (x ₁ + 4) x ₂. Цена на благо Б ₁ равна 20, цена на благо Б ₂ равна 50.

 

Доход потребителя составляет 1800 единиц. Найти кривые безразличия, оптимальный набор благ потребителя, функцию спроса на первое благо по цене, функцию спроса на первое благо по доходу.

 

Решение. Кривые безразличия имеют вид:

 

		) = C;			= C;			=	C 2
U (x, x			(x + 4) x	2		x	2				.
1	2		1						x 1	+ 4

 

Получаем множество гипербол, расположенных в первой координатной четверти на разном расстоянии от начала координат в зависимости от значения константы С.

 

Находим оптимальный набор благ. Задача оптимального программирования имеет вид:

 

U (x ₁, x ₂)= (x ₁ + 4) x ₂ ® max;

ì20 x ₁ + 50 x ₂ = 1800;

 

^í_î x ₁³0; x ₂³0.

 

Таким образом, оптимальный набор благ составляют 30,5 и 23,8 единиц.

 

Находим теперь функцию спроса на первое благо по цене на него. Для этого в

бюджетном ограничении

вместо фиксированного значения вводим цену первого

блага

p 1,

получая

уравнение:

p 1 x 1+50 x 2=1800.

Выражаем

x

=

1800 - p 1 x 1

= 36 -

p 1 x 1

. Подставляем в целевую фун