Разложение функции в ряд Фурье

 

Цель работы: ознакомление студентов с одним из наиболее важных преобразований, используемых в обработке геофизических данных. На основе выполнения этой работы студент может наглядно убедиться в улучшении качества функции, раскладываемой в ряд Фурье.

 

Вопросы теории и методики

 

Любую временную функцию практически любой формы, если эта функция удовлетворяет условиям Дирихле, можно представить в виде ряда Фурье:

,                          (2.1)

где - коэффициенты Фурье.

Основное свойство ряда Фурье заключается в том, что любую периодическую функцию можно представить в виде набора гармоник с различными частотами, которые будут кратны основной частоте . Чем больше будет количество гармоник, тем лучше будет аппроксимация временной функции.

Процесс вычисления коэффициентов Фурье называется гармоническим анализом. Эти коэффициенты можно вычислить, используя следующие формулы:

 

,                                             (2.2)

,                                        (2.3)

,                                        (2.4)

 

Задание

 

2.2.1 Построить график функции (таблица 2.1) в масштабе в 1 см-0.5 единиц

2.2.2 Просчитать коэффициенты Фурье с помощью формул (2.2-2.4), для заданного количества членов  и . Если коэффициенты не равны 0, то можно в расчетах использовать по  и  членов.

2.2.3 Разложить коэффициенты Фурье с помощью формулы (2.1)

2.2.4 Построить график функции с использованием полученного ряда для  и  членов. Вид временной функции, интервалы ее изменений во времени и числа  и  заданы в таблице 2.1

 

Содержание отчета

 

2.3.1 Описание теории разложения функции в ряд Фурье.

2.3.2 Методика разложения в ряд Фурье.

2.3.3 Вычисление Фурье коэффициентов, разложение заданной функции в ряд, вычисление по полученной формуле графика разложенной в ряд функции.

2.3.4 Графики, схемы, приложения.

 

2.4 Контрольные вопросы

 

2.4.1 Любую ли функцию можно разложить в ряд Фурье?

2.4.2 Что такое гармонический анализ?

2.4.3 Объяснить смысл разложения в ряд Фурье.

2.4.4 Сделать практический вывод по работе.

 

 

Таблица 2.1

Номер варианта	Вид функции
1		2	8
2		2	6
3		4	6
4		2	8
5		2	8
6		4	6

Продолжение таблицы 2.1

Номер варианта	Вид функции
7		2	6
8		2	8
9		2	8
10		2	6
11		2	6
12		2	8
13		2	8
14		2	6
15		2	8

 

Примечание: при построении графиков взять шаг

Лабораторная работа № 3

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Цель работы: Вычисление основного линейного преобразования, наиболее часто используемого при обработке геофизических данных.

 

Вопросы теории и методики

 

В том случае, когда мы представляем сейсмическую информацию как изменение во времени амплитуд выходных сигналов, полученных с сейсмоприемников (измеренного в момент взрыва), то мы ведем рассмотрение сейсмического сигнала во временной области, т.е. независимой переменной является время. Однако очень часто бывает необходимым рассматривать сейсмическую волну как результат наложения множества синусоидальных волн, различающихся по частоте, амплитуде и фазе. Соответствующие амплитуды и фазы являются функциями частоты, значит, анализ этих сигналов проводится в частотной области. Функцию, зависящую от частоты, называют спектром или частотной характеристикой.

    Основу обработки сейсмических сигналов составляют три вида математических операций, которые являются линейными: преобразование Фурье, свертка, корреляционные функции.

    Для того, чтобы пересчитать функцию, зависящую от времени (сейсмическую трассу) в функцию, зависящую от частоты, используют преобразование Фурье. Таким образом, преобразование Фурье используется для трансформации временной функции в соответствующий спектр и наоборот.

    Оказывается, что любую временную функцию, которая удовлетворяет условиям Дирихле, а именно:

1) Функция  должна быть периодической, т.е. должно выполняться следующее условие , где Т – период;

2) Функция  должна иметь конечное число скачков и разрывов;

3) Функция  должна иметь конечное число максимумов и минимумов;

4) Интеграл функции  должен сходиться, т.е. иметь решение

,                                                (3.1)

 где - любое число, можно разложить на простые гармоники с различными частотами. В этом и заключается смысл преобразование Фурье, т.е. это математическое выражение позволяет разложить сложный волновой пакет на простые составляющие с различным частотным составом.

    Если имеется временная функция , то в частотную область ее можно перевести в соответствии со следующим интегральным линейным преобразованием

,                                         (3.2)

где комплексный спектр временной функции и наоборот, с помощью спектра всегда можно восстановить временную функцию

.                                      (3.3)

Формулы (3.2) и (3.3) описывают соответственно прямое и обратное преобразования Фурье и про эти 2 функции говорят, что они образуют пару преобразований Фурье, т.е. .

Спектр функции можно представить и через другие параметры. Например,

,                      (3.4)

где - действительная часть комплексного спектра (3.5)

   - мнимая часть комплексного спектра             (3.6)

  - амплитудный спектр                                      (3.7)

    -    фазовый спектр                                              (3.8)

Формулы (3.1)-(3.8) применимы к любым видам функций: вещественным, мнимым, четным, нечетным, комбинированным, лишь бы выполнялись условия Дирихле.

 

Задание

3.2.1 Выбрать временную функцию в соответствии с вариантом (таблица 2.1).

3.2.2 Построить график заданной функции.

3.2.3 Вычислить комплексный спектр .

3.2.4 Вычислить амплитудный и фазовый спектры, сделать выводы.

 

Содержание отчета

3.3.1 Описание физического смысла спектров.

3.3.2 Методика расчета

3.3.3 Вычисление спектров.

3.3.4 Выводы, графики, приложения.

 

3.4 Контрольные вопросы

3.4.1 Дать определение всех спектров и объяснить физических смысл каждого.

3.4.2 Как в геофизике используется преобразование Фурье?

3.4.3 Почему в частотной области производить математические преобразования с сейсмическими сигналами легче, чем во временной области?

3.4.4 Докажите с помощью формул, что процедура разложения в ряд Фурье и преобразование Фурье имеют общий математический смысл.

 

 

Лабораторная работа №4