Построение линии пересечения поверхности с

плоскостью частного положения

Плоскость α пересекает поверхность вращения Ф по кривой линии k. Так как секущая плоскость α частного положения, то одна из проекций линии k совпадает с вырожденной проекцией этой плоскости. Горизонтальная проекция k₁ (отрезок A₁B₁) линии k совпадает с вырожденной проекцией α₁ плоскости α, так как α ^ П₁ (рисунок 2.1). Если α ^ П₂, то k₂≡ α₂ – совпадает с вырожденной проекцией плоскости α.

На чертеже задачу на пересечение поверхности Ф с плоскостью частного положения α сводят к задаче на построение недостающей проекции линии k. Линия k принадлежит данной поверхности и задана одной своей проекцией, совпадающей с вырожденной проекцией плоскости α. Точки кривой k находят на пересечении простейших линий каркаса поверхности с секущей плоскостью α.

Пример 1. Построить проекции линии k пересечения торовой поверхности плоскостью α ^ П₁ (рисунок 2.2).

Построение проекций линии k сводится к решению позиционной задачи на принадлежность линии k и поверхности тора. Проекция k₁ линии k   будет совпадать с вырожденной проекцией α₁ плоскости α, так как α ^ П₁. Поэтому заданную задачу можно сформулировать так: на чертеже поверхности тора по заданной горизонтальной проекции k₁ линий k, принадлежащей поверхности, построить фронтальную проекцию k₂.

Алгоритм решения задачи следующий.

а) определение опорных точек линии k:

1) экстремальными точками этой линии по отношению к плоскости П₁ будут точки А и В (низшие) и С (высшая). Точка С расположена в общей плоскости симметрии β поверхности тора и кривой k. Плоскость β проходит через ось вращения i поверхности тора перпендикулярно секущей плоскости α. Точку C находят на пересечении кривой k и плоскости β (С = k ∩ β). Горизонтальную проекцию С₁ точки С находят на пересечение проекций k₁ c β₁. Для определения фронтальной проекции С₂ точки С необходимо построить на поверхности тора простейшую линию каркаса, проходящую через точку C – окружность p¹. Ее горизонтальной проекцией будет окружность с центром, совпадающим с горизонтальной проекцией i₁ оси i и радиусом, равным расстоянию от i₁ до С₁. На плоскость П₂ окружность p¹ спроецируется в горизонтальный отрезок прямой с концевыми точками на фронтальном очерке m₂ поверхности тора. Отрезок прямой перпендикулярен фронтальной проекции i₂ оси i тора. Фронтальная проекция С₂ точки C построена на пересечение вертикальной линии связи с фронтальной проекцией окружности p¹.

   Точки A и B расположены на экваторе p⁰ (параллели максимального радиуса) поверхности тора симметрично относительно плоскости β. Горизонтальные проекции А₁, В₁ точек A и B находят на пересечении вырожденной горизонтальной проекции α₁ плоскости α с горизонтальным очерком поверхности тора

– окружностью, а их фронтальные проекции А₂ , В₂ – по вертикальным линиям связи на;

2) точку видимости Т находят на пересечении плоскости α с главным меридианом m поверхности тора. В этой точке будет меняться видимость фронтальной проекции k₂ искомой линии k. Горизонтальную проекцию Т₁ точки T находят на пересечении горизонтальных проекций линий m и k (T₁ = m₁ ∩ k₁). Горизонтальные проекции линий m₁ и, совпадающие с вырожденной горизонтальной проекцией γ₁ плоскости главного меридиана γ, являются линиями видимости фронтальных проекций точек поверхности тора. На фронтальной плоскости проекций проекция k₂  касается очерковой линии m₂ поверхности тора в точке Т₂. Фронтальная проекция Т₂  определена по линии связи на m₂;

б) построение промежуточных точек 1, 2, 3, 4 линии k с использованием простейших линий каркаса поверхности тора – окружностей p² и p³.

Фронтальные проекции и окружностей p² и p³ – горизонтальные отрезки с концевыми точками на фронтальных очерках поверхности тора и, равные диаметрам этих окружностей. На П₁ окружности p² и p³ проецируются в окружности и, которые пересекут k₁ в точках 1₁, 2₁ и 3₁, 4₁, соответственно. Их фронтальные проекции 1₂, 2₂ и 3₂, 4₂ находят по линиям проекционной связи на и. Соединив построенные фронтальные проекции точек 1, 2, 3, 4 плавной лекальной кривой, с учётом видимости (см. п. (а), п.п. (2) алгоритма), получим проекцию k₂ искомой линии пересечения k. При этом участок Т₂С₂В₂  будет видимым, так как находится ближе к наблюдателю (перед плоскостью главного меридиана), а участок А₂ Т₂ кривой k₂ – невидимым, так как находится за плоскостью главного меридиана.