Вязкость и внутреннее трение в жидкости. Закон трения Ньютона

Вязкостью называется свойство всех реальных жидкостей (капельных и газов) оказывать сопротивление относительному сдвигу (деформации сдвига), т. е. изменению формы жидких частиц (но не их объёма).

Вязкость жидкости обусловлена взаимодействием молекул и проявляется только при движении жидкости, точнее, – при деформации жидкости (частиц жидкости). Если жидкость движется параллельными слоями (ламинарное течение), причем при этом происходит относительное скольжение соседних слоёв жидкости относительно друг друга (течение чистого сдвига), т.е. имеет место деформация чистого сдвига, то касательные напряжения между слоями могут быть описаны законом трения Ньютона.

При течении чистого сдвига касательное напряжение – напряжение трения τ (сила трения, действующая на выделенную поверхность, отнесенная к величине этой поверхности), пропорционально поперечному градиенту скорости ∂ w /∂y (скорости относительной деформации сдвига) и не зависит от абсолютной величины скорости, т.е. имеет значение лишь относительное движение слоёв жидкости. Этот факт был экспериментальным путем установлен Ньютоном и известен как закон о молекулярном трении в жидкости или закон трения Ньютона: τ = μ·∂ w /∂y, где коэффициент пропорциональности   μ   - называется динамическим коэффициентом вязкости или просто вязкостью. Жидкости, удовлетворяющие этому закону, называют ньютоновскими жидкостями. Для неньютоновских жидкостей (смолы или мёда, например) напряжения трения определяются по более сложным формулам. Наука, изучающая движение неньютоновских жидкостей, называется реологией.

В общем случае вязкость (величина μ) зависит от природы жидкости, её агрегатного состояния, температуры и давления. Однако зависимость от давления в широком диапазоне изменения давления для большинства реальных газов и капельных жидкостей оказывается слабой и ей можно пренебречь. Чем больше μ, тем больше вязкость жидкости.

Трение в капельных жидкостях заключается, главным образом, в преодолении сил взаимодействия между молекулами слоёв, смещающихся относительно друг друга. С увеличением температуры капельной жидкости увеличивается частота колебаний молекул и силы взаимодействия между ними уменьшаются, а вместе с ними уменьшается и вязкость. Наоборот, в газах с увеличением температуры вязкость возрастает, поскольку трение в газах обусловлено переносом направленного количества движения молекул при их тепловом хаотическом движении: с ростом температуры газа скорость хаотического движения молекул и число соударений возрастают, а вместе с этим увеличиваются перенос количества движения и вязкость газа.

Необходимо отметить, что рассмотренные выше слоистая модель течения и выведенный на её основе закон трения описывают весьма простой частный случай движения жидкости. Обобщением закона трения Ньютона на общий случай произвольного пространственного движения вязкой жидкости является закон трения Стокса, согласно которому напряжения, вызванные вязкостью, пропорциональны соответствующим скоростям деформации (тензор вязких напряжений пропорционален тензору скоростей деформаций).

При турбулентных режимах течения коэффициент трения приобретает совершенно иное содержание в соответствии с другим, значительно более сложным механизмом внутреннего трения, обусловленным наличием турбулентных пульсаций.

Ламинарный и турбулентный пограничный слой

 

Современные представления о механизме сопротивления при движении жидкости основываются на теории пограничного слоя.

В большинстве задач прикладной газовой динамики приходится иметь дело с маловязкими жидкостями, движущимися с относительно большими скоростями. Характерной особенностью таких течений является относительно большое число Рейнольдса - Re = w·l /ν (здесь w и ν=μ/ρ – продольная компонента скорости и кинематическая вязкость жидкости, l – характерный размер течения – длина обтекаемого тела, например). Как показывает опыт, при больших числах Рейнольдса влияние вязкости существенно проявляется лишь в области течения, непосредственно прилегающей к поверхности обтекаемого тела (внешняя задача) или стенки канала (внутренняя задача). Эта область имеет малую по сравнению с длиной тела или канала протяженность в направлении нормали к поверхности, т.е. представляет собой достаточно тонкий слой жидкости возле поверхности, и называется пограничным слоем (на профессиональном сленге или жаргоне – «погранслоем»). В пограничном слое (ПС) скорость течения возрастает от нуля на поверхности до своего конечного значения w _o во внешней (по отношению к ПС) области течения. Ввиду малой толщины ПС поперечный градиент скорости ∂ w /∂y в нем очень велик и, поэтому, сколь бы малой ни была вязкость жидкости, напряжения трения, возникающие в ПС, будут оказывать существенное влияние на движение жидкости. Наоборот, в области вне ПС силы инерции во много раз превосходят по величине бесконечно малые силы вязкого трения (большие числа Re) и здесь жидкость можно рассматривать как идеальную, а течение - как квазипотенциальное, т.е. безвихревое и при отсутствии сил трения.

Сопротивление трения существенно зависит от режима течения в ПС. Течение в ПС может быть ламинарным, переходным и турбулентным, независимо от режима течения невозмущенного потока вне ПС. Как показывают эксперименты, переход ламинарного течения в ПС в турбулентное определяется критическим числом Рейнольдса –Re _кр = w _o ·δ _кр /ν_o=(2,8 … 30)·10³, при подсчете которого в качестве характерного размера необходимо брать толщину ПС δ, а характерной скорости -скорость невозмущенного потока w _о.

В направлении течения вдоль поверхности толщина ПС δ увеличивается и режим течения в ПС изменяется. На начальном участке течения толщина ПС мала (δ < δ _кр) и в ПС сохраняется устойчивое ламинарное течение с молекулярным механизмом переноса. При увеличении толщины ламинарного ПС до критической величины δ _кр   устойчивость ламинарного течения в ПС нарушается и на небольшом участке возникает переходный режим. За переходным участком развивается устойчивый турбулентный ПС с турбулентным механизмом переноса. Переходный режим сопровождается хаотическим чередованием во времени ламинарного и турбулентного режимов течения. Поскольку течение на переходном участке исследовано недостаточно, обычно в расчетах принимают, что ламинарный ПС в критическом сечении сразу переходит в турбулентный. Существенное влияние на переход (положение критического сечения) оказывает степень турбулентности невозмущенного потока, продольный градиент давления ∂p/∂x>0 и шероховатость поверхности.

 

Закон изменения скорости по нормали к поверхности и, соответственно, завихренность и механизм переноса различны для ламинарного и турбулентного режимов течения в ПС.

Турбулентный ПС имеет более полный (более наполненный) профиль скорости. При одинаковых числах Рейнольдса сопротивление трения в турбулентном ПС существенно выше, чем в ламинарном ПС, и эта разница возрастает с увеличением Re. Поэтому, для уменьшения сопротивления трения того или иного тела или канала следует «затягивать» ламинарный ПС, сдвигая как можно дальше по потоку критическое сечение, т.е. осуществлять искусственную ламинаризацию ПС, которая заключается в уменьшении толщины ПС δ,

интенсивности турбулентности невозмущенного потока,

продольного градиента давления ∂p/∂x>0

 и шероховатости.

 

Толщина пограничного слоя

 

По определению, внешней границей пограничного слоя (ПС) следует считать такую границу, за которой можно пренебречь силами трения. Приближенно внешняя граница ПС определяется в тех точках, где продольная скорость w отличается от скорости внешнего невозмущенного потока w _o на малую величину, порядка 1%.

 Вне ПС - в невозмущенной области, течение жидкости имеет пренебрежимо малую завихренность и на этом основании может рассматриваться как квазипотенциальное. В ПС - возмущенной области течения, поперечный градиент скорости ∂ w /∂y достигает больших значений и, следовательно, движение жидкости характеризуется значительной завихренностью.

 Очевидно, что при анализе движения жидкости можно провести условную линию на расстоянии δ от поверхности стенки канала или обтекаемого тела, разделяющую области возмущенного и невозмущенного течений. Величину δ называют физической толщиной пограничного слоя. В действительности эту границу трудно установить, поскольку на некотором удалении от поверхности скорость меняется мало из-за асимптотичности ПС и граница становится нечёткой.

За счет уменьшения скорости в ПС, в области, занятой ПС протекает меньше жидкости, чем протекало бы идеальной жидкости при потенциальном течении. Таким образом, ПС как бы вытесняет часть жидкости во внешний поток. При наличии ПС вблизи поверхности обтекаемого тела или стенки канала не только поток массы, но и поток количества движения и поток энергии также будут меньше, чем в случае если бы ПС отсутствовал и течение было бы потенциальным, т.е. безвихревым и без трения.

Толщина ПС δ количественно не оценивает исчерпывающим образом эффекты, вносимые ПС, поэтому вводят интегральные характеристики ПС - условные толщины (интегральные толщины), которые исключают указанный произвол в описании границы ПС и имеют вполне определенный физический смысл.

Толщина вытеснения – расстояние на которое отодвигается от обтекаемой поверхности линия тока внешнего невозмущенного течения в результате вытесняющего действия ПС:

,

(здесь и ниже интегрирование формально должно вестись только в пределах толщины ПС, хотя увеличение верхнего предела интегрирования даже до бесконечности мало изменит величину интеграла).

Толщина потери импульса:

,

Толщина потери энергии:

,

 

 Интегральные характеристики ПС используются при расчете течения в соответствии с основной идеей теории пограничного слоя, а именно: при разложении общей задачи на две более простые – обтекание поверхности канала (или тела) тонким слоем вязкой жидкости и течение в канале, увеличенном в размерах на величину толщины ПС, идеальной жидкости. Вопрос о том, насколько увеличивать размер канала (или тела), как раз и решается исходя из характера задачи в результате расчета соответствующих интегральных параметров ПС. Для полного и адекватного отражения влияния ПС на течение необходимо учитывать все условные толщины. Однако, если интерес представляет только расход жидкости, то можно ограничится толщиной вытеснения.

 

 

Отрыв пограничного слоя

 

Поскольку давление поперек пограничного слоя не меняется (∂p/∂ y =0) и равно давлению на внешней границе пограничного слоя, то очевидно, что продольные градиенты давления (∂p/∂x) во внешнем потоке и в пограничном слое одинаковы. Можно сказать, что давление внешнего течения передается без изменения внутрь пограничного слоя. С характером распределения давления в пограничном слое тесно связаны явления возникновения возвратного течения и отрыва пограничного слоя от поверхности.

Если течение во внешней невозмущенной области происходит с положительным продольным градиентом давления (∂p/∂ x >0), т.е. является диффузорным, то аналогичный характер изменения давления будет иметь место вдоль любой линии тока в пределах пограничного слоя. Частицы жидкости в пограничном слое и особенно в непосредственной близости от поверхности обладают значительно меньшей кинетической энергией, чем жидкие частицы во внешней области течения. При этом запас их кинетической энергии непрерывно уменьшается вдоль по потоку за счет преодоления действия сил трения в пограничном слое. Это приводит к тому, что на некотором расстоянии от входной кромки или начального сечения истощающегося запаса кинетической энергии уже недостаточно для того, чтобы преодолевать противодавление, обусловленное положительным продольным градиентом давления (∂p/∂ x >0).

Таким образом, внутри пограничного слоя частицы жидкости не могут беспрепятственно продвинуться на большое расстояние в область возрастающего давления и рано или поздно останавливаются, а затем под воздействием сил давления начинает двигаться назад, вовлекаясь в так называемое возвратное течение. Встречный поток жидкости, продвигаясь вдоль поверхности против направления основного течения, оттесняет основной поток жидкости в пограничном слое от стенки, что приводит к резкому росту толщины пограничного слоя («набуханию погранслоя») и в дальнейшем к его отрыву. Отрыв пограничного слоя всегда связан с образованием вихрей в результате взаимодействия прямого и обратного течений. Оторвавшись от поверхности и попав во внешний поток вихри уплывают вниз по течению, усиливая при этом диссипацию кинетической энергии потока и уменьшая полное и статическое давления, по сравнению с тем, которое имело бы место при безотрывном течении.

Отрыв пограничного слоя оказывает существенное влияние на развитие диффузорных течений. Например, при определенных условиях отрыв пограничного слоя может вызвать неустойчивую работу компрессора (помпаж) вплоть до выхода его из строя.

 Отрыв пограничного слоя можно предотвратить, уменьшая продольный градиент давления ∂p/∂ x и толщину пограничного слоя δ, а также искусственно турбулизируя ламинарный пограничный слой перед точкой отрыва, например с помощью установки специального турбулизирующего ребра.

 

 Шероховатые и гидравлически гладкие поверхности

Все реальные поверхности обтекаемых тел и стенок каналов в большей или меньшей степени шероховаты. Естественная шероховатость может иметь самые различные размеры, геометрические формы и распределение по поверхности. Это крайне затрудняет её количественную оценку и обобщение результатов исследования её влияния на закон сопротивления (закон трения) и распределение скоростей в пограничном слое.

При ламинарном режиме течения в пограничном слое все шероховатые поверхности имеют такое же сопротивление, как и гладкие, поскольку вязкая жидкость заполняет впадины между бугорками - гребешкам шероховатости, на обтекаемой поверхности и ламинарность течения, а следовательно и распределение скоростей и закон трения не нарушаются.

Критическое число Рейнольдса и сопротивление в переходной области также практически не зависят от шероховатости.

  При турбулентном течении в пограничном слое на шероховатой поверхности следует различать три режима:

1) Режим без проявления шероховатости, когда в определенном диапазоне чисел Рейнольдса сопротивления шероховатой и гладкой поверхностей не отличаются. Это наблюдается тогда, когда величина гребешков шероховатости настолько мала, что все они оказываются внутри тонкого ламинарного подслоя, всегда существующего внутри турбулентного пограничного слоя. Таким образом, картина течения у обтекаемой поверхности оказывается схожей с рассмотренным выше ламинарным режимом течения. Такие поверхности называют гидравлически гладкими.

2) Переходный режим наступает при увеличении числа Рейнольдса и уменьшении при этом толщины ламинарного подслоя. Гребешки шероховатости частично попадают в область турбулентного течения, вызывая дополнительные завихрения и потери энергии. Сопротивление на этом режиме зависит как от числа Рейнольдса, так и от шероховатости поверхности.

3) Режим с полным проявлением шероховатости, при котором все гребешки шероховатости выступают из ламинарного подслоя. Сопротивление в данном случае обусловлено не трением, а завихрением турбулентно текущей жидкости гребешками шероховатости. Поэтому на этом режиме течения сопротивление не зависит от числа Рейнольдса, а определяется только величиной шероховатости. Этот режим называют также автомодельным относительно числа Рейнольдса («автомодельным по Рейнольдсу») и режимом квадратичной зависимости сопротивления от скорости («квадратичного сопротивления»).

 

[1] Это может быть, когда первые производные скоростей по одноименным координатам постоянны, т.е. продольный градиент скорости постоянный. При слабом изменении продольного градиента скорости можно считать, что это условие выполняется приближенно.

[2] см. файл Уравнение движения вязкой жидкости.pdf

 

[3] см. файл Уравнение движения.pdf

 

[4] см. файл Движение жидкой частицы.pdf

 

[5] Это предположение хорошо подтверждается в обычных условиях течения. В сильно разреженных газах, где длина свободного пробега молекул становится соизмеримой с характерным размером твердого тела, скорость на стенке не равна нулю.

[6] Циркуляция скорости по замкнутому контуру, проведенному в жидкости, равна полному потоку вихря через площадь, охваченную контуром, если контур можно стянуть в точку, не выходя за пределы жидкости. 

[7] При высоких скоростях движения летательных аппаратов в воздухе аэродинамический нагрев становится настолько значительным, что прочность и жаростойкость обтекаемой стенки вызывает опасения, а создание нормальных условий для экипажа и приборов, находящихся на борту, превращается в серьезную проблему. Комплекс всех этих возникающих трудностей в авиации условно называют тепловым барьером. В отличие от звукового, тепловой барьер не представляет резко выраженной границы, связанной с определенной скоростью.

[8] см. файл Уравнение энергии.pdf

 

[9]  Размер, перпендикулярный чертежу, принят равным единице d_z =1.

[10] q — удельный тепловой поток, т.е. количество тепла, проходящее в единицу времени через единицу площади.

[11]    Более сложные случаи, когда тепловой поток через стенку не равен нулю, рассматриваются в курсах теплопередачи.

[12] см. файл Параметры торможения.pdf

 

[13] см. файл Уравнения движения вязкой жидкости.pdf

[14]   Подробности можно найти, например, в книге: Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., Наука, 1974.

[15]    Проекция на ось х от силы давления на поверхность АF равна нулю. Касательные напряжения на поверх­ностях АВ и ЕF равны нулю, так как эти поверхности перпендикулярны линиям тока; на поверхности ВЕ они также равны нулю, так как ВЕ проходит по внешней границе пограничного слоя.

[16] Это вполне возможно, так как интегралы, входящие под знаки производных, могут изменяться только по длине потока, т.е. являются функциями только х, а давление может меняться также только вдоль пограничного слоя.

[17] Напомним, что существование двух режимов течения было установлено английским физиком Осборном Рейнольдсом в 1883 г.

[18] См., напр.: М.Е.Дейч. Техническая газодинамика, изд.2, М.—Л., Госэнергоиздат, 1961.

[19] Отрыв пограничного слоя рассматривается ниже.

 

[20] В более точных расчетах определяется не точка перехода, а длина переходной области. По толщине потери импульса в начале переходной области находится ее величина в конце этой области. Последняя по сравнению с начальной возрастает на 20—40%. (См., напр.: М.Е.Дейч. Техническая газодинамика, М.: Энергия, 1974.)

[21] См. также парадокс Эйлера — Даламбера

[22] Нужно заметить, что, обращаясь к толщине вытеснения, нельзя объяснить всех особенностей взаимодействия скачка с пограничным слоем, например, кривизну скачка в сверхзвуковой зоне пограничного слоя.