Условные толщины пограничного слоя

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

 

           При движении реальной жидкости или газа действие сил вязкости в разных областях течения проявляется неодинаково. Оно наиболее интенсивно там, где изменение скорости по нормали к линиям тока, иначе называемое поперечным градиентом скорости, достаточно велико, и касательные напряжения имеют значительную величину. Такие области существуют вблизи границ обтекаемых твердых поверхностей или границ двух потоков жидкости, движущихся с разными скоростями. Они называются пограничными слоями.

           Если поперечные градиенты скорости равны нулю и, к тому же, вторые частные производные от проекций скорости по одноименным координатам также равны нулю [1], то исчезают «вязкостные члены» νΔ w_x, νΔ w_y, νΔ w_z, ν(1/3)∂(divW)/∂ x, ν(1/3)∂(divW)/∂ y, ν(1/3)∂(divW)/∂ z в уравнениях Навье—Стокса (6.15)[2], и последние вырожда­ются в уравнения Эйлера (1.27)[3]. 

Уравнения Эйлера описывают движение идеальной жид­кости, следовательно, в той области, где выполняются отмеченные выше условия, течение происходит в соответствии с законом движения идеальной жидкости, несмотря на то, что ν≠0. При отсутствии поперечных градиентов скорости поток является безвихревым (см. формулу (1.6)) [4] или потенциальным. Поэтому данную область называют областью потенциального течения.

       Таким образом, при расчете того или иного течения можно всю область разбить на две: пограничный слой и потенциальный поток. Пограничный слой рассчитывается методами теории движения вязкой жидкости, а потенциальное течение — известными методами теории потенциального потока. Это дает значительное упрощение задачи.

       На рисунке 115 показана схема образования пограничного слоя при обтекании плоской стенки. Здесь цифрой 1 обозначена область пограничного слоя, цифрой 2 — область внешнего потенциального потока, 3 — внешняя граница пограничного слоя (внутренней границей является сама твердая стенка). Многочисленные опыты показывают, что скорость частиц жидкости относительно обтекаемого твердого тела на самой стенке равна нулю [5], а по мере удаления от последней очень быстро нарастает, приближаясь к скорости внешнего потока w₀. Толщина пограничного слоя в носовой точке тела равна нулю и по длине обтекаемой поверхности постепенно нарастает.

 

 

       В условиях внутренней задачи, например, в трубах или каналах, формирование пограничного слоя имеет некоторые особенности. Схема такого течения приведена на рисунке 116. Пограничные слои, образующиеся на противоположных стенках, утолщаясь по длине трубы, в конце концов, смыкаются. Таким образом, структура потока по длине трубы получается различной. На начальном или разгонном участке ℓ_р поток состоит из пограничного слоя 1 и ядра 2. В пограничном слое скорость меняется nо нормали к стенке, в ядре — она постоянна (см. эпюру скорости на рисунке 116). После смыкания пограничных слоев ядро исчезает, и эпюра скорости приобретает параболическую форму. Длина разгонного участка в трубах составляет 150—300 диаметров при ламинарном течении и 30—50 диаметров — при турбулентном.

 

 

           Пограничный слой возникает также на границах струи, вытекающей из насадка в неподвижную жидкость, при слиянии двух струй, движущихся с разными скоростями, а также за точками разветвления разветвленных скачков уплотнения, например, при маховском отражении или при взаимном пересечении косых скачков, за которыми в идеальном газе должны были бы получиться линии тангенциального разрыва.

       В рассмотренных примерах толщина пограничного слоя принималась как такое расстояние от стенки, на протяжении которого скорость меняется от нуля до скорости во внешнем потоке w₀ или в ядре потока. Наиболее просто толщина пограничного слоя определяется в трубе, в зоне 4 (см. рисунок 116). Здесь она равна радиусу трубы. Если рассмотреть эпюру скоростей, снятую при внешнем обтекании тела, то очень легко можно убедиться в том, что определить четко внешнюю границу пограничного слоя невозможно. Теоретическое рассмотрение этого вопроса показывает, что процесс приближения скорости w к скорости внешнего потока w₀ является асимптотическим, т.е. равенство w=w₀ наступает лишь на бесконечном расстоянии от стенки. Однако уже на сравнительно малых расстояниях от стенки разность w₀—w весьма мала по сравнению с w₀. Поэтому для четкого определения границы пограничного слоя вводят такую условность: границу проводят там, где местная скорость отличается от скорости w₀ на 1 % (см. рисунок 117). Тогда толщиной пограничного слоя δ следует назвать такое расстояние от стенки, отсчитанное по нормали, на котором скорость потока составляет 99% от скорости внешнего течения т.е.

 

                                     (6.38)

 

 

Движение жидкости в пограничном слое является вихревым. В этом легко убедиться, применив теорему Стокса о циркуляции скорости [6]:

 

Г = 2_σ∫ ω _n dσ.

к произвольному замкнутому контуру, например 1234, выделенному внутри пограничного слоя (см. рисунок 117). Здесь циркуляция по выделенному контуру в целом не равна нулю: Г₁₂₃₄= Г₁₂ + Г₂₃ + Г₃₄ + Г₄₁ > 0, так как Г₁₂ = Г₃₄ = 0   (участки контуров 1—2  и 3—4 перпендикулярны скорости), Г₄₁ = 0 (скорость на стенке равна нулю), а Г₂₃ = w_23∙ℓ₂₃ > 0. Следовательно, ω _n >0. Заметим, что вращение частиц жидкости получилось в том же направлении, что и выбранное направление обхода контура, т.е. по направлению к стенке. Этим объясняется тот факт, что вращение в водоворотах, образующихся, например, при обтекании кормы катера, или в пылевых вихрях — при обтекании кузова автомобиля, всегда направлено внутрь — в сторону обтекаемого тела, но не наружу.

       Линии тока в пограничном слое очень слабо наклонены относительно обтекаемой стенки, и составляющие скорости по нормали к стенке, а, следовательно, и количества движения в этом направлении, весьма малы. Поэтому с достаточной степенью точности можно считать, что изменение давления поперек пограничного слоя ничтожно мало, т.е. ∂ p /∂ y ≈0. Это условие хорошо подтверждается экспериментом.

       Сопротивление, которое оказывает твердая стенка движению потока — сопротивление трения — определяется потерей количества движения жидкости. Потеря количества движения наблюдается в пограничном слое, где действие сил вязкости проявляется наиболее интенсивно. Поэтому в расчетах принимают, что все гидравлические потери сконцентрированы в пограничном слое. За его пределами потери отсутствуют, т.е. жидкость движется как идеальная. Поскольку статическое давление поперек пограничного слоя постоянно, а скорость по мере приближения к стенке уменьшается до нуля, то давление торможения переменно по сечению: у стенки р*=р, а на внешней границе р* достигает тои величины, которую оно имеет во внешнем потоке.

       Распределение температур в пограничном слое зависит от того, каковы направление и интенсивность теплообмена между стенкой и газом. Наиболее простым является случай, когда обтекаемая твердая поверхность теплоизолирована, т.е. теплообмен между стенкой и газом отсутствует. В этом случае тепло, выделяющееся внутри пограничного слоя вследствие вязкой диссипации (внутреннего трения), нагревает газ, следовательно, образуется градиент температуры, направленный от внешнего потока к стенке. Так как газ обладает теплопроводностью, то под действием разности температур возникает тепловой поток в пограничном слое, направленный от стенки к внешней границе. Процесс выделения тепла определяется вязкостью газа, процесс теплоотдачи во внешний поток — теплопроводностью. В зависимости от соотношения между этими величинами температура стенки может получиться либо ниже температуры торможения внешнего потока, либо равной ей, либо выше нее.

       Нагревание обтекаемого тела в результате торможения газа в пограничном слое называется аэродинамическим нагревом [7].

 

           Из уравнения энергии (2.6)[8], которое с учетом формулы (2.27), может быть записано как

 

с_p dT* = dQ_e – dL,                                             (6.39)

 

следует, что изменение температуры торможения в потоке зависит от внешнего теплообмена dQ_е   и внешней механической работы dL. Если внутри пограничного слоя выделить элементарный объем (см. рисунок 115), то нетрудно установить, что при своем движении он совершает работу против сил от вязких напряжений τ и τ'. По отношению к элементарному объему эта работа является внешней. В единицу времени она равна

 

[9]

 

 

Отнеся ее к единице массы, т.е. поделив на ρ dxdy ·1, получим

 

                                                     (6.40)

 

           Тепло, подведенное к элементарному объему в единицу времени, определится как разность тепловых потоков: входящего снизу qdх и выходящего сверху q'dх [10]

 

Подведенное тепло, отнесенное к единице массы, будет

 

                                              (6.41)

 

           Из уравнения (6.39) следует, что если dQ_е=dL, то температура торможения будет постоянная во всем потоке. В противном случае она будет меняться. Рассмотрим условия, при которых Т*=соnst во всем потоке. Приравнивая правые части формул (6.40) и (6.41), получим

 

или                                                                                 τω – q = const.

 

Постоянная интегрирования легко определяется из граничных условий: на стенке w=0 и q=0, т.е. C оnst=0. Выразив здесь касательное напряжение τ по закону трения Ньютона, а удельный тепловой поток по закону т еплопроводности Фурье

 

                                                                       (6.42)

 

где λ  — коэффициент теплопроводности газа, получим

 

что можно записать, как

 

или, приняв C _р =соnst, в таком виде:

 

или

                                       (6.43)

 

           Из Уравнения (6.43) очевидно, что постоянство температуры торможения поперек пограничного слоя, иначе говоря, ∂Т*/∂у = 0, будет соблюдаться при Pr =1.

           Таким образом, при отсутствии теплового потока через стенку и при Pr =1 темпера­тура торможения постоянна во всем потоке: Т*=Т₀*=Т_с*=Т_с=соnst.

Так как Т=Т*– w²/2 C _p, то изменение термодинамической температуры Т в пограничном слое связано только с изменением скорости. Следовательно, толщина температурного пограничного слоя равна толщине динамического пограничного слоя.

           При Pr <1 температура торможения падает по направлению к стенке, т.е. Т_с<Т₀*, и динамический пограничный слой тоньше температурного. При Pr >1 температура торможения возрастает от внешнего потока к стенке, т.е. Т_с>Т₀*, и динамический пограничный слой тоньше температурного [11].

           Если рассмотреть энергоизолированное течение в канале при Pr <1 или Pr >1, то можно установить, что температура торможения в различных сечениях потока неодинакова. Однако, согласно закону сохранения энергии для одномерного потока, она должна оставаться постоянной во всем потоке. Это кажущееся противоречие разрешается просто. Действительно, средняя по сечению температура торможения в энергоизолированном течении остается постоянной по длине всего потока, но внутри каждого поперечного сечения она распределена неравномерно, так как происходит перераспределение энергии между слоями: полный запас энергии одних слоев газа увеличивается за счет других, но в сумме по всему поперечному сечению остается одним и тем же.

           Число Pr зависит от физических констант рабочего тела. Для многоатомных газов Pr ≈1, для жидких металлов Pr <<1, для масел Pr >>1. Для воздуха, например, среднее значение Pr =0,72. В приближенных расчетах принимают Pr =1, но в тех случаях, когда требуется значительная точность, например при измерении температур потока, следует Pr определять точно.

           В разделе «Параметры изоэнтропийного торможения»[12] при рассмотрении метода измерения температур в газовом потоке был введен коэффициент восстановления температуры

 

 

 (здесь Т_Т=Т_с — температура стенки термометра). Очевидно, что так как для воздуха Pr <1, то и коэффициент восстановления температуры должен получиться меньше единицы. Подробные исследования показывают, что для ламинарного пограничного слоя на стенке

 

 

 для турбулентного пограничного слоя

 

 

           В заключение нужно отметить, что большие поперечные градиенты температур наблюдаются только внутри температурного пограничного слоя. За его пределами поток вполне допустимо считать изоэнтропным.

 

Уравнения пограничного слоя

 

       Дифференциальные уравнения для пограничного слоя выводятся из уравнений Навье-Стокса. Впервые они были получены Л. Прандтлем в 1904 году для течений, происходящих с большими числами Рейнольдса.

       В уравнениях Навье-Стокса[13], записанных для плоского потока несжимаемой жидкости при отсутствии массовых сил (X=Y=0),

 

              (6.44)

 

              (6.45)

 

а также в уравнении неразрывности

 

                      (6.46)

 

Прандтлем была сделана оценка порядка величин входящих в них членов. Было установлено, что при достаточно высоких числах Рейнольдса величины

 

 

в пограничном слое имеют высший порядок малости, по сравнению с остальными[14]. Поэтому они могут быть отброшены. Уравнение (6.45) приобретает вид ∂р/∂у=0, из него вытекает уже упоминавшееся свойство неизменности статического давления в направлении поперек пограничного слоя. Уравнение (6.44) несколько упрощается, а (6.46) остается в том же виде. В результате система уравнений пограничного слоя принимает вид

 

             (6.47)

 

Формулы (6.47) называют уравнениями Прандтля.

 В качестве граничных условий при решении системы (6.47) берут следующие

       w_x = w_y = 0 при y = 0 (на стенке),

                   w_x = w (x, t) при y = ∞ (за пределами пограничного слоя).

       Метод расчета пограничного слоя путем решения уравнений Прандтля является строгим. Однако для многих практических задач он оказывается настолько сложным и трудоёмким, что для быстрого получения результата приходится пользоваться приближен­ными методами.

       Эффективным приближенным методом расчета является, в частности, метод, в котором используется интегральное уравнение импульсов, называемое также интегральным соотношением Кармана.

Рассмотрим это соотношение более подробно. На рисунке 118 изображен участок потока, длиной dх, в котором контрольной поверхностью АВЕF ограничен объем, находящийся в пограничном слое. Размер объема, измеренный перпендикулярно плоскости чертежа, принят равным единице.

 

 

           Согласно теореме Эйлера о количестве движения, равнодействующая всех сил, действующих на выделенный объем, должна равняться изменению количества движения жидкости, протекшей через контрольную поверхность, которая ограничивает этот объем. В проекции на ось х это запишется так:

               

                                                      (6.48)

(по двум другим осям изменения давления и количества движения не происходит).

           Если положить, что массовые силы отсутствуют, то в число действующих сил, которые дают проекции на ось х, надо включить силы давления на поверхности АВ, ВЕ, ЕF и силы трения на поверхность АF [15]. Тогда

 

 

Раскрывая скобки, пренебрегая членами высших порядков малости и принимая во внимание, что (ВЕ)соs α = d δ, получим

                                    (6.49)

 

           Интеграл количества движения можно разбить по участкам, из которых составляется контрольная поверхность

 

                    (6.50)

 

Здесь индекс в скобках обозначает участок поверхности, через который протекает жидкость с соответствующим количеством движения. Очевидно, что К_х(FA)=0, так как через твердую стенку жидкость не протекает (w_n=0). Остальные количества движения можно представить так:

                        (6.51)

так как w_n = – w_х,

K_х(BЕ)= – w₀ m _сек(ВЕ) ,

 

потому что скорость потока, входящего через ВЕ, постоянна и равна w₀. Но

 

 

следовательно,

                                   (6.52)

 

Аналогично рассуждая, нетрудно установить, что

 

                       (6.53)

 

Подставив величины, найденные из выражений (6.51), (6.52), (6.53) в формулу (6.50), а затем (6.50) и (6.49) в формулу (6.48), получим следующее уравнение:

 

                         (6.54)

 

называемое интегральным соотношением для пограничного слоя. Для несжимаемой жидкости плотность ρ выходит из под знаков интеграла и производной. Тогда

 

                          (6.55)

 

Уравнения (6.54) и (6.55) пригодны для случаев обтекания как плоской, так и криволинейной поверхности.

Отрыв пограничного слоя

 

       Продольный градиент давления dр/∂х, действующий в пограничном слое, имеет ту же величину, что и за его пределами, так как статическое давление в направлении, перпендикулярном стенке, сохраняет одно и то же значение. Поэтому величина dр/∂х определяется обычно во внешнем потоке. Так, например, при расчете пограничного слоя на крыле, турбинной лопатке и т.п. продольный градиент давления отыскивается в результате решения задачи о внешнем потенциальном обтекании, а в диффузорах или соплах, т.е. в условиях внутренней задачи, — в результате определения параметров течения в ядре потока.

       Продольный градиент давления оказывает влияние на профиль скоростей, вызывая его деформацию. Отрицательный градиент давления, существующий в конфузорах и соплах, а также в области спинки носовой части профиля крыла, соответствует увеличению скорости потока. При dр/∂х<0 пограничный слой устойчив. Положительный градиент давления, свойственный диффузорам, а также течению в области спинки хвостовой части профиля крыла, соответствует уменьшению скорости потока. Профиль скорости деформируется в этом случае таким образом, что при определенных условиях может появиться отрыв потока.

       Рассмотрим явление отрыва более подробно.

       На рисунке 125 изображена схема обтекания стенки в области положительного градиента давления. Заметим, что здесь безразлично, принадлежит ли стенка каналу диффузора или хвостовой части крыла, важно, что dр/∂х>0. Рассматривая какой - либо элементарный объем жидкости, можно заметить, что он движется из области меньших давлений в область больших. Уменьшение его количества движения, а следовательно, и скорости, происходит вследствие двух причин: 1) действия сил вязкости, 2) действия разности давлений спереди и сзади. На различных расстояниях от стенки это уменьшение происходит не пропорционально самой скорости, в результате чего эпюра деформируется, становясь все более остроконечной. Нужно заметить, что при dр/∂х=0 профили скорости в различных поперечных сечениях по длине пограничного слоя остаются подобными друг другу. Значит причиной их деформации является именно градиент давления dр/∂х≠0.

      

В некоторой точке S эпюра скоростей принимает такую форму, что угол между касательной к эпюре и нормалью к стенке в этой точке равен нулю, т.е.

 

                                                  (6.102)

 

Это значит, что в точке S скорость уже не нарастает по мере удаления от стенки. Элементарный жидкий объем, находящийся в этой точке, полностью утратил кинетическую энергию, на него не действуют касательные напряжения, так как dw/∂у = 0, но он подвержен действию положительного градиента давлений. Под действием последнего он начинает двигаться в обратную сторону, в результате чего возникает обратный ток. Эпюры, построенные правее точки S, имеют зону отрицательных скоростей. Линия SА на рис. 125 разделяет зоны прямого и обратного токов. Появление обратного тока вызывает отрыв основного потока. Точку S поэтому называют точкой отрыва. Она находится в том месте, где выполняется условие отрыва (6.102).

       При отрыве потока от стенки восстановление скорости в давление происходит в значительно меньшей степени, чем при безотрывном течении. Кинетическая энергия образовавшихся вихрей при дальнейшем течении не преобразуется в давление, а переходит в тепло, увеличивая энтропию газа. Изучение эпюр распределения статических давлений по контуру обтекаемого тела показывает, что за точкой отрыва давления получаются ниже, чем в тех же местах при безотрывном обтекании, тогда как в носовой части тела различия почти не наблюдается. Поэтому при обтекании с отрывом равнодействующая сил давления всегда имеет составляющую, направленную назад, т.е. по направлению потока. Эта составляющаяназывается сопротивлением давления [21].

       Таким образом, сопротивление обтекаемого тела слагается из сопротивления трения и сопротивления давления. У хорошо обтекаемых тел отрыв пограничного слоя незначителен, поэтому преобладает первая составляющая. У плохо обтекаемых тел отрыв весьма интенсивен, и поэтому главной составляющей является сопротивление давления.

Отрыв пограничного слоя

 

Поскольку давление поперек пограничного слоя не меняется (∂p/∂ y =0) и равно давлению на внешней границе пограничного слоя, то очевидно, что продольные градиенты давления (∂p/∂x) во внешнем потоке и в пограничном слое одинаковы. Можно сказать, что давление внешнего течения передается без изменения внутрь пограничного слоя. С характером распределения давления в пограничном слое тесно связаны явления возникновения возвратного течения и отрыва пограничного слоя от поверхности.

Если течение во внешней невозмущенной области происходит с положительным продольным градиентом давления (∂p/∂ x >0), т.е. является диффузорным, то аналогичный характер изменения давления будет иметь место вдоль любой линии тока в пределах пограничного слоя. Частицы жидкости в пограничном слое и особенно в непосредственной близости от поверхности обладают значительно меньшей кинетической энергией, чем жидкие частицы во внешней области течения. При этом запас их кинетической энергии непрерывно уменьшается вдоль по потоку за счет преодоления действия сил трения в пограничном слое. Это приводит к тому, что на некотором расстоянии от входной кромки или начального сечения истощающегося запаса кинетической энергии уже недостаточно для того, чтобы преодолевать противодавление, обусловленное положительным продольным градиентом давления (∂p/∂ x >0).

Таким образом, внутри пограничного слоя частицы жидкости не могут беспрепятственно продвинуться на большое расстояние в область возрастающего давления и рано или поздно останавливаются, а затем под воздействием сил давления начинает двигаться назад, вовлекаясь в так называемое возвратное течение. Встречный поток жидкости, продвигаясь вдоль поверхности против направления основного течения, оттесняет основной поток жидкости в пограничном слое от стенки, что приводит к резкому росту толщины пограничного слоя («набуханию погранслоя») и в дальнейшем к его отрыву. Отрыв пограничного слоя всегда связан с образованием вихрей в результате взаимодействия прямого и обратного течений. Оторвавшись от поверхности и попав во внешний поток вихри уплывают вниз по течению, усиливая при этом диссипацию кинетической энергии потока и уменьшая полное и статическое давления, по сравнению с тем, которое имело бы место при безотрывном течении.

Отрыв пограничного слоя оказывает существенное влияние на развитие диффузорных течений. Например, при определенных условиях отрыв пограничного слоя может вызвать неустойчивую работу компрессора (помпаж) вплоть до выхода его из строя.

 Отрыв пограничного слоя можно предотвратить, уменьшая продольный градиент давления ∂p/∂ x и толщину пограничного слоя δ, а также искусственно турбулизируя ламинарный пограничный слой перед точкой отрыва, например с помощью установки специального турбулизирующего ребра.

 

 Шероховатые и гидравлически гладкие поверхности

Все реальные поверхности обтекаемых тел и стенок каналов в большей или меньшей степени шероховаты. Естественная шероховатость может иметь самые различные размеры, геометрические формы и распределение по поверхности. Это крайне затрудняет её количественную оценку и обобщение результатов исследования её влияния на закон сопротивления (закон трения) и распределение скоростей в пограничном слое.

При ламинарном режиме течения в пограничном слое все шероховатые поверхности имеют такое же сопротивление, как и гладкие, поскольку вязкая жидкость заполняет впадины между бугорками - гребешкам шероховатости, на обтекаемой поверхности и ламинарность течения, а следовательно и распределение скоростей и закон трения не нарушаются.

Критическое число Рейнольдса и сопротивление в переходной области также практически не зависят от шероховатости.

  При турбулентном течении в пограничном слое на шероховатой поверхности следует различать три режима:

1) Режим без проявления шероховатости, когда в определенном диапазоне чисел Рейнольдса сопротивления шероховатой и гладкой поверхностей не отличаются. Это наблюдается тогда, когда величина гребешков шероховатости настолько мала, что все они оказываются внутри тонкого ламинарного подслоя, всегда существующего внутри турбулентного пограничного слоя. Таким образом, картина течения у обтекаемой поверхности оказывается схожей с рассмотренным выше ламинарным режимом течения. Такие поверхности называют гидравлически гладкими.

2) Переходный режим наступает при увеличении числа Рейнольдса и уменьшении при этом толщины ламинарного подслоя. Гребешки шероховатости частично попадают в область турбулентного течения, вызывая дополнительные завихрения и потери энергии. Сопротивление на этом режиме зависит как от числа Рейнольдса, так и от шероховатости поверхности.

3) Режим с полным проявлением шероховатости, при котором все гребешки шероховатости выступают из ламинарного подслоя. Сопротивление в данном случае обусловлено не трением, а завихрением турбулентно текущей жидкости гребешками шероховатости. Поэтому на этом режиме течения сопротивление не зависит от числа Рейнольдса, а определяется только величиной шероховатости. Этот режим называют также автомодельным относительно числа Рейнольдса («автомодельным по Рейнольдсу») и режимом квадратичной зависимости сопротивления от скорости («квадратичного сопротивления»).

 

[1] Это может быть, когда первые производные скоростей по одноименным координатам постоянны, т.е. продольный градиент скорости постоянный. При слабом изменении продольного градиента скорости можно считать, что это условие выполняется приближенно.

[2] см. файл Уравнение движения вязкой жидкости.pdf

 

[3] см. файл Уравнение движения.pdf

 

[4] см. файл Движение жидкой частицы.pdf

 

[5] Это предположение хорошо подтверждается в обычных условиях течения. В сильно разреженных газах, где длина свободного пробега молекул становится соизмеримой с характерным размером твердого тела, скорость на стенке не равна нулю.

[6] Циркуляция скорости по замкнутому контуру, проведенному в жидкости, равна полному потоку вихря через площадь, охваченную контуром, если контур можно стянуть в точку, не выходя за пределы жидкости. 

[7] При высоких скоростях движения летательных аппаратов в воздухе аэродинамический нагрев становится настолько значительным, что прочность и жаростойкость обтекаемой стенки вызывает опасения, а создание нормальных условий для экипажа и приборов, находящихся на борту, превращается в серьезную проблему. Комплекс всех этих возникающих трудностей в авиации условно называют тепловым барьером. В отличие от звукового, тепловой барьер не представляет резко выраженной границы, связанной с определенной скоростью.

[8] см. файл Уравнение энергии.pdf

 

[9]  Размер, перпендикулярный чертежу, принят равным единице d_z =1.

[10] q — удельный тепловой поток, т.е. количество тепла, проходящее в единицу времени через единицу площади.

[11]    Более сложные случаи, когда тепловой поток через стенку не равен нулю, рассматриваются в курсах теплопередачи.

[12] см. файл Параметры торможения.pdf

 

[13] см. файл Уравнения движения вязкой жидкости.pdf

[14]   Подробности можно найти, например, в книге: Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., Наука, 1974.

[15]    Проекция на ось х от силы давления на поверхность АF равна нулю. Касательные напряжения на поверх­ностях АВ и ЕF равны нулю, так как эти поверхности перпендикулярны линиям тока; на поверхности ВЕ они также равны нулю, так как ВЕ проходит по внешней границе пограничного слоя.

[16] Это вполне возможно, так как интегралы, входящие под знаки производных, могут изменяться только по длине потока, т.е. являются функциями только х, а давление может меняться также только вдоль пограничного слоя.

[17] Напомним, что существование двух режимов течения было установлено английским физиком Осборном Рейнольдсом в 1883 г.

[18] См., напр.: М.Е.Дейч. Техническая газодинамика, изд.2, М.—Л., Госэнергоиздат, 1961.

[19] Отрыв пограничного слоя рассматривается ниже.

 

[20] В более точных расчетах определяется не точка перехода, а длина переходной области. По толщине потери импульса в начале переходной области находится ее величина в конце этой области. Последняя по сравнению с начальной возрастает на 20—40%. (См., напр.: М.Е.Дейч. Техническая газодинамика, М.: Энергия, 1974.)

[21] См. также парадокс Эйлера — Даламбера

[22] Нужно заметить, что, обращаясь к толщине вытеснения, нельзя объяснить всех особенностей взаимодействия скачка с пограничным слоем, например, кривизну скачка в сверхзвуковой зоне пограничного слоя.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

 

           При движении реальной жидкости или газа действие сил вязкости в разных областях течения проявляется неодинаково. Оно наиболее интенсивно там, где изменение скорости по нормали к линиям тока, иначе называемое поперечным градиентом скорости, достаточно велико, и касательные напряжения имеют значительную величину. Такие области существуют вблизи границ обтекаемых твердых поверхностей или границ двух потоков жидкости, движущихся с разными скоростями. Они называются пограничными слоями.

           Если поперечные градиенты скорости равны нулю и, к тому же, вторые частные производные от проекций скорости по одноименным координатам также равны нулю [1], то исчезают «вязкостные члены» νΔ w_x, νΔ w_y, νΔ w_z, ν(1/3)∂(divW)/∂ x, ν(1/3)∂(divW)/∂ y, ν(1/3)∂(divW)/∂ z в уравнениях Навье—Стокса (6.15)[2], и последние вырожда­ются в уравнения Эйлера (1.27)[3]. 

Уравнения Эйлера описывают движение идеальной жид­кости, следовательно, в той области, где выполняются отмеченные выше условия, течение происходит в соответствии с законом движения идеальной жидкости, несмотря на то, что ν≠0. При отсутствии поперечных градиентов скорости поток является безвихревым (см. формулу (1.6)) [4] или потенциальным. Поэтому данную область называют областью потенциального течения.

       Таким образом, при расчете того или иного течения можно всю область разбить на две: пограничный слой и потенциальный поток. Пограничный слой рассчитывается методами теории движения вязкой жидкости, а потенциальное течение — известными методами теории потенциального потока. Это дает значительное упрощение задачи.

       На рисунке 115 показана схема образования пограничного слоя при обтекании плоской стенки. Здесь цифрой 1 обозначена область пограничного слоя, цифрой 2 — область внешнего потенциального потока, 3 — внешняя граница пограничного слоя (внутренней границей является сама твердая стенка). Многочисленные опыты показывают, что скорость частиц жидкости относительно обтекаемого твердого тела на самой стенке равна нулю [5], а по мере удаления от последней очень быстро нарастает, приближаясь к скорости внешнего потока w₀. Толщина пограничного слоя в носовой точке тела равна нулю и по длине обтекаемой поверхности постепенно нарастает.

 

 

       В условиях внутренней задачи, например, в трубах или к