Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2020-12-07 | 102 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Приходовский М.А.
Математика
Учебное пособие
Интегралы (до несобственного)
(осень 2019 - весна 2020, гр. 589-3, 129, 1В9).
ЛЕКЦИЯ 20. 3.12.2019
ГЛАВА 7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
Определения и основные методы.
Определение. Если , то называется первообразной от функции .
Свойство 1. Если первообразная, то (для любого ) тоже является первообразной для той же самой функции .
Это легко доказать, действительно, = = .
Таким образом, первообразных бесконечно много, то есть, если поднять или опустить на любую высоту график , снова будет первообразная.
Свойство 2. Если и две различные первообразные функции , то .
Доказывается так: , т.е. .
Определение. Множество всех первообразных от одной и той же функции называется неопределённым интегралом этой функции. Обозначение: .
Свойства линейности. 1. 2. |
Замечание.
Для произведения аналогичное свойство не верно. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть любые 2 простейшие функции, например , .
Тогда , в то же время:
= .
Таблица основных интегралов.
()
;
Объяснение причины возникновения модуля в . Функция существует только на правой полуоси, тогда как имеет две ветви, на правой и левой полуоси. Получалось бы противоречие, что производная от несуществующей функции есть на левой полуоси. Функция является чётным продолжением на левую полуось, и именно она там является первообразной для при .
Методы интегрирования.
1. Преобразования подынтегральных выражений.
Различные преобразования, например, арифметические (домножить и поделить, прибавить и отнять), выделение полного квадрата, разбиение многочлена на множители, преобразования по тригонометрическим формулам, и т.д. нередко помогают упростить исходное выражение, разбить его на несколько более простых слагаемых, которые уже сводятся к интегралам табличного типа. На практике рассмотрены разнообразные примеры на виды этих преобразований. Часто нужно домножить и поделить, чтобы сформировать готовое выражение, являющееся производной от известной функции. Например,
|
Пример. = = .
Когда сформировали выражение , а заодно поделили на 3 перед интегралом, теперь уже точно невозможно перепутать или забыть коэффициент.
Аналогично, допустим, что мы помним, что . Тогда можно постараться сформировать готовое выражение типа внутри интеграла. Тем самым мы автоматически докажем, что при интегрировании такое выражение на этот коэффициент делится, а не домножается:
Пример. = = .
Тригонометрические преобразования:
Пример. Вычислить .
Решение. Применим формулу понижения степени.
= = =
= .
Пример. Вычислить .
Решение. = = =
= .
Ответ. .
Замена переменной.
Бывают такие случаи, когда функция имеет вид , то есть явно видно, что всё выражение зависит от какого-то однотипного блока, например всё выражается через или . Делается замена на , только нужно не забыть пересчитать , потому что , если только замена не является простым линейным сдвигом .
Пример. Вычислить .
Решение. Сделаем замену , тогда , , .
= = = .
Обратная замена: = = .
Более того, область определения исходной функции из-за наличия в ней квадратного корня, точка 0 не входит в область определения, так как корень там и в знаменателе, так что знак модуля в ответе является излишним, ответ можно записать так: .
Если в функции присутствуют корни разного порядка, например и , то замена должна происходить через корень порядка НОК (наименьшее общее кратное). Причина в том, что именно при этом все корни переводятся в целые степени от .
Если , тогда: , .
Объяснение, почему все корни выразятся через целые степени :
|
= ,
= .
Интегрирование по частям.
Существует более общий метод, чем подведение под знак дифференциала. Иногда вовсе не требуется, чтобы первообразная от того множителя, который подводится под dx, была как-то связана с остальной частью функции. Запишите формулу:
Такой короткий вид легче выучить наизусть, а теперь запишем более подробно, чтобы понять смысл.
.
Если есть два множителя, и один из них интегрируется довольно легко (он обозначен ) то можно перейти к интегралу, в котором наоборот, понижено до производной, а повышено до первообразной. Иногда именно это помогает упростить дальнейшие вычисления.
Доказательство формулы.
Вспомним, что по правилу дифференцирования произведения, которое мы доказывали в прошлом семестре: = . Тогда = .
Тогда и неопределённые интегралы от этих двух функций совпадают:
= .
Но первообразная от производной, это сама функция и есть, т.е.
.
Поэтому = .
Пример. Вычислить .
Решение. Если обозначить , , то при переходе к степенной понизится степень, в данном случае она вообще перейдёт в 1. А вот для второго множителя переходим к первообразной, но там не усложняется, остаётся точно так же как и было, . Поэтому на следующем шаге интеграл содержит вообще не два множителя, а один!
Составим таблицу:
= , тогда получаем ответ: .
А есть такие случаи, когда функция состоит не из 2 множителей, а всего из одного, но мы ведь всё равно можем считать, что второй множитель есть, только он равен 1.
Пример. .
Здесь производная от подынтегральной функции устроена лучше и проще, чем сама функция, но правда, пришлось допустить некоторое незначительное усложнение типа функции при переходе от к .
= = = .
Интегралы вида и называются циклическими интегралами, потому что через 2 цикла вычисления «по частям» получается исходный интеграл в правой части выражения, т.е. , откуда можно просто выразить арифметическим путём.
Вычислим интеграл .
Пусть .
. На первом шаге, обозначаем , .
. = .
На 2-м шаге, в том интеграле, который получился, обозначим аналогичным образом: , .
Получается = = .
Из равенства можно выразить :
, .
Ответ. = .
ЛЕКЦИЯ 21. 4.12.2019
Выведем формулу вычисления интегралов . Обозначим всю функцию через u и применим интегрирование по частям, и при этом формально считаем второй множитель равным 1. Для удобства, временно применим отрицательные степени вместо дробей.
|
= = =
Теперь можем разбить на две дроби, интеграл от первой сводится к , а второй к .
= , то есть
, откуда выразим через :
,
вывели «рекурсивную» формулу , с помощью которой интеграл такого типа для большей степени сводится к меньшей степени, а значит, все они последовательно сводятся к , который равен .
ЕКЦИЯ 22. 11.12.2019
ЛЕКЦИЯ 23. 17.12.2019
ЛЕКЦИЯ 24. 18.12.2019
Основной формулой в теме «определённый интеграл» является формула Ньютона-Лейбница . Она позволяет сразу же вычислить определённый интеграл, если известен неопределённый.
Но на самом деле, связь между этими двумя видами интегралов двусторонняя, т.е. и неопределённый интеграл может быть вычислен с помощью определённого. А именно, если рассматривать функцию то есть определённый интеграл с переменным верхним пределом.
Теорема 1. Функция является первообразной от функции .
Доказательство. Нужно доказать, что .
Рассмотрим подробнее производную функции . По определению,
.
В данном случае, это , по свойству 2, интеграл по отрезку можно представить в виде суммы двух интегралов, а именно, по и . Чертёж:
При этом интеграл по там в разности есть ещё и со знаком «минус», то есть он в итоге сокращается.
= .
По свойству 10, интеграл по отрезку можно представить как некоторое среднее значение, т.е. в какой-то точке , умноженное на длину отрезка.
В общем случае длина была равна , а для данного отрезка это просто . Тогда: = = .
Однако точка , поэтому при , точка , которая находится где-то между и , стремится к левой границе отрезка: . Поэтому в итоге = .
Теорема 2. (Ньютона-Лейбница). Если - какая-либо первообразная от , то верна формула: .
Доказательство. Если есть произвольная первообразная, то она отличается на какую-то константу от той первообразной, которую мы рассматривали в теореме 1. То есть , что означает
. Запишем это равенство в точке , получится но ведь интеграл по одной точке это 0, там нулевая длина основания, а значит и нулевая площадь. Тогда . вот, кстати, мы заодно и установили, как связана константа с выбором начальной точки .
|
, а на сколько по высоте отличается от любая другая первообразная - это и есть значение .
Итак, теперь ясно, что .
А теперь рассмотрим это выражение в точке .
, то есть . Но ведь переменная вводилась исключительно для того, чтобы отличать внутри функции и на верхнем пределе интеграла. Теперь, когда перешли к фиксированным границам в интеграле, можно сделать тривиальную замену и запись примет вид , что и требовалось доказать.
Примеры вычисления по формуле Ньютона-Лейбница.
Пример. Найти интегралы и .
Решение. = .
= .
Пример. Найти . Решение. = .
Пример. Найти интеграл .
Решение. . = = = .
Пример. Найти интеграл .
Решение. = = .
Замечание. Интеграл , где нечётная функция, равен 0, так как первообразная - чётная, и её значения при и одинаковы, значит, по формуле Ньютона-Лейбница происходит полное вычитание, .
Вид формулы интегрирования по частям для определённого интеграла: .
Особенности замены переменной в определённом интеграле (пересчёт пределов интегрирования, и можно не возвращаться к старой переменной, то есть не делать обратную замену).
Пример. Вычислить интеграл
Решение.
1) Без замены. = = .
2) С помощью замены. При замене мы адаптируем границы к новой переменной, то есть, если , то = .
Тогда = = = 3.
Конечно, старые границы могут остаться прежними, например, при такой замене отобразится в . Но, как правило, при замене верхний и нижний предел интегрирования тоже изменяются.
Замена в определённом интеграле должна задаваться взаимно-однозначной функцией , то есть монотонной функцией. Иначе можно столкнуться с такими парадоксами: например, , интеграл от 0 до . Тогда по переменной получаем интеграл по промежутку , и он был бы в любом случае равен 0. Чтобы избежать такого противоречия, надо было бы разбить исходный интеграл по переменной на 2 части, по и .
ЛЕКЦИЯ 25. 25.12.2019
Пункт 3. Вычисление длины дуги кривой.
Вывести формулу длины явно заданной кривой: .
Доказательство (вывод формулы). Разобьём область определения на n частей, рассмотрим подробнее одну часть графика.
Длина фрагмента кривой приближённо равна гипотенузе. При этом, тангенс угла наклона равен производной. Поэтому, если горизонтальный катет то вертикальный равен . Но в этом случае гипотенуза, по теореме Пифагора, равна:
= = .
При переходе к пределу при , получится .
Чем круче наклон фрагмента графика, тем больше величина , и тем больше корень и соответственно, длина части этой кривой. Напротив, если график горизонтальный (функция = константа) то = . Длина такой кривой просто равна длине отрезка в области определения, то есть .
|
Для параметрически заданной в плоскости формула принимает такой вид: .
В трёхмерном пространстве: .
Пример. Вычислить длину участка кривой при .
Решение. = = .
Тогда = = = =
= . Ответ. .
Полярная система координат. Кроме пары чисел , которыми можно задать точку на плоскости, можно задать также и таким образом: соединим точку с началом координат, длину этого отрезка обозначим . Угол между осью и этим отрезком обозначим .
Так как это прилежащий катет, а гипотенуза, тогда , аналогично , откуда следуют такие формулы:
Например, для точки (1,1) полярные координаты: .
Некоторые кривые в полярных координатах задаются намного проще, чем в декартовых. Например, окружность радиуса : .
«Спираль Архимеда» :
Впрочем, можно представлять в полярных координатах и прямые:
Пример. Построить уравнение прямой в полярных координатах.
Решение. На чертеже видно, что чем больше угол наклона, тем больше расстояние. При расстояние , при оно увеличивается до , а затем стремится к .
В уравнении заменим по формулам перехода к полярным координатам, т.е. . Получается , тогда .
Ответ. .
ПРАКТИКА
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Элементарные преобразования
Задача 268. Вычислить .
Решение. Известно, что . При дифференцровании функций вида происходило умножение на константу, а при интегрировании наоборот, деление. Чтобы понять, почему это так, постараемся сначала сформировать внутри интеграла готовую производную от этой экспоненты, для чего домножим и поделим на 5.
= = = .
Ответ. .
Задача 269. Вычислить .
Решение. Замечая, что , преобразуем так:
= = = .
Ответ. .
Задача 270. Вычислить .
Решение. Известна формула . Если в знаменателе линейная функция вида , то можно добавить константу под знаком дифференциала, от этого ничего не изменилось бы, ведь производная константы это 0. Итак, = . Теперь интеграл имеет вид и конечно, равен . Фактически применили замену . Сделав обратную замену, получаем ответ: .
Ответ. .
Задача 271. Вычислить .
Решение. Здесь, в отличие от прошлой задачи, уже и в числителе есть переменная, то есть здесь неправильная дробь. Сначала нужно выделить целую часть дроби и отделить правильную дробь. В данном случае для этого достаточно прибавить и отнять 2 в числителе.
= = = =
= и теперь, когда разбили на сумму или разность табличных интегралов, получаем ответ: .
Ответ. .
Задача 272. Вычислить .
Решение. В данном случае неправильная дробь, причём степень в числителе более высокая. Можно применить общий метод выделения целой части, то есть поделить числитель на знаменатель.
Получили частное , остаток . Теперь можно представить в виде суммы интегралов:
= = .
Впрочем, можно и не делить столбиком, а просто отнять и прибавить 25, тогда = = что тоже приводит к .
Теперь, когда свели к сумме табличных интегралов, то с помощью уже ранее изученных действий получаем ответ:
Ответ. .
Задача 273. Вычислить .
Решение. Дискриминант знаменателя отрицательный, поэтому здесь невозможно сделать как в прошлой задаче, так как нет корней знаменателя и дробь невозможно свести к виду .
Но при D < 0 можно выделить полный квадрат:
= = .
С помощью замены сводится к интегралу:
= , и далее с помощью обратной замены получаем ответ.
Ответ. .
Задача 274. Вычислить .
Решение. В предыдущей задаче было D<0, а в этой D=0.
Выделяя полный квадрат, получим = .
В этом случае сводится не к арктангенсу, а к степенной функции, потому что получается = = .
Ответ. .
Задача 275. Доказать формулу .
Решение. Известно, что .
В выражении Вынесем за скобку в знаменателе.
= , далее цель - получить везде, в том числе и под знаком дифференциала, чтобы сделать замену . Домножим и поделим на :
= = =
= = .
Задача 276. Вычислить .
Решение. = = = = .
Для того, чтобы применить формулу,
нужно обозначить
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!