Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2020-12-07 | 109 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Задача 312. Вычислить интеграл .
Решение. Функция не обладает свойствами чётности или нечётности, то есть, сменив знак синуса или косинуса, мы не получим, что знак минус будет у всей дроби. Поэтому применяем универсальную тригонометрическую подстановку: . Напомним, что при этом
, , , .
Итак, сделаем замену:
= = =
= = .
Теперь сделаем обратную замену. , что ещё можно привести к виду .
Ответ. .
Примеры на другие подстановки.
Задача 313. Вычислить интеграл .
Решение. Здесь нечётная степень синуса, применяем замену . Тогда = = =
= = = .
Ответ. .
Замечание. Универсальная подстановка здесь приводит к огромным вычислениям. Попробуем применить её:
= = .
Если раскрыть скобки в числителе, и разбить на сумму множества дробей, то в знаменателе будут степени от 1 до 12, т.е. до , то есть каждое слагаемое надо будет вычислять по рекуррентной формуле, последнее в 12 шагов. Но до того, надо было бы разложить на простейшие дроби, для чего решить систему с 24 неизвестными.
Задача 314. Вычислить интеграл .
Решение. Сделаем замену .
= = вот и свелось к рациональной дроби, и дальше для t можем действовать в рамках прошлой темы «рациональные дроби».
= = = . Приводим к общему знаменателю:
= , далее ,
, отсюда следует .
= =
это можно после обратной замены и применения свойств логарифмов, записать так: .
Ответ. .
Задача 315. Вычислить интеграл .
Решение.
Допустим, что мы воспользовались бы заменой , заметив, что степень синуса нечётная. Тогда получалось бы:
= = = . Но при разложениии на простейшие дроби
мы сталкивались бы с системой из 9 неизвестных. Поэтому, заметив, что суммарная степень чётная, сделаем замену (3-й случай, в см. лекциях). Эта замена действительно окажется более рациональна в данном случае.
. , .
= = =
= =
здесь мы воспользовались формулой .
= .
После обратной замены получаем ответ:
Ответ. .
Задача 316. Вычислить интеграл .
Решение. Здесь суммарная степень чётная, то есть, если сменить знак перед sin и cos, то знак сменится 2 раза, и останется «+». Поэтому надо применить замену . Тогда (см. в лекции):
. , .
= = = = = = .
После обратной замены получается: .
Ответ. .
Проверка. = = =
= .
Задача 317. Вычислить интеграл .
Решение. Функция нечётная относительно косинуса, замена .
Тогда , , .
Однако в этом примере квадратные корни не сокращаются, а наоборот, умножаются, ведь косинус теперь не в числителе, а в знаменателе: .
Но всё равно, будет чётная степень корня: .
Итак, , что равно = .
Теперь мы можем воспользоваться тем разложением, которое получали для такого случая в теме «рациональные дроби» на прошлой практике, где оба корня знаменателя кратные (см. задачу 305).
Курс специально построен так, чтобы использовать некоторые коэффициенты из старых примеров и не искать их здесь повторно.
Разложение было такое: .
После приведения к общему знаменателю и решения системы уравнений, там получалось , , , .
Итак, = =
= =
= .
Сделаем обратную замену. .
Ответ. .
Задача 318. Вычислить интеграл .
Решение. Функция нечётна относительно косинуса, значит, замена . Тогда
= = = = = , после обратной замены получаем .
Ответ.
Задача 319. Вычислить интеграл .
Решение. Аналогично прошлой задаче, , тогда
= = = = = = , после обратной замены .
Ответ.
Задача 320. Вычислить интеграл .
Решение. Суммарная степень чётна, поэтому применяется замена
, тогда , , .
= = =
= = = после обратной замены.
Ответ.
А сейчас мы увидим, как данная замена позволяет с лёгкостью доказать одну из формул из таблицы интегралов, а именно,
= .
Задача 321. Вычислить интеграл .
Решение. , тогда , .
= = = = = . Ответ. .
Взаимосвязь иррациональностей и тригонометрических функций. Примеры с интегралами, содержащими , решаемые с помощью тригонометрических функций.
Задача 322. Вычислить интеграл .
Решение. В интеграле обозначим , при этом . При этом, правда, второй корень усложняется:
= = .
Необходима 2-я замена, чтобы устранить корень .
У нас здесь . Вводим замену . Тогда .
Итак, = = .
Теперь уже просто по формуле понижения степени.
= = = =
= .
Обратные замены: сначала обращаем обратно вторую замену, которыу сделали последней: если то .
Далее, обращаем 1-ю замену: , тогда в итоге:
Ответ. .
Задача 323. Вычислить интеграл .
Решение. В этом случае нужно замена (см. лекции) .
При этом корень квадратный исчезает таким образом:
= = = .
= = .
Итак, = =
= .
Для обратной замены, вспомним, что , то есть , . Тогда = . Получается, что надо найти котангенс того угла, синус которого равен . Подпишем соответствующие стороны на чертеже прямоугольного треугольника.
Третья сторона вычисляется по теореме Пифагора: .
Котангенс этого угла: .
= = .
Ответ. .
Определённый интеграл
Задача 324. Вычислить
Решение. =
здесь мы можем заменить на , но тогда нужно сделать пересчёт верхнего и нижнего пределов. Если то , т.е. .
= = = = .
А можно было сначала вычислять интеграл как неопределённый, тогда надо было бы вернуться к исходной переменной (то есть сделать обратную замену), но пределы можно не пересчитывать.
= = =
= = = .
Впрочем, как видно, от способа не зависит, получается один и тот же ответ .
Задача 325. Вычислить интеграл .
Решение. = = сделаем замену , при которой, если , то . Тогда:
= = = . Ответ. .
СЕМЕСТР 2
Определённый интеграл
Задача 1. Вычислить интеграл .
При этом осуществляется повторение темы «интегрирование иррациональностей».
Решение. НОК(2,4) = 4, поэтому замена . При такой замене , , . .
= = = = =
= . Ответ. .
Задача 2. Вычислить интеграл .
Решение. Сделаем замену , тогда .
= = = =
= = = = . Ответ. .
Задача 3. Вычислить интеграл .
Решение. При замене , если то .
= = = =
= = .
Ответ. .
Рассмотрим 2 задачи на примерения интегрирования по частям в определённом интеграле.
Задача 4. Вычислить интеграл .
Решение. Применим метод интегрирования по частям,
Тогда
= = = = .
Ответ. .
Задача 5. Вычислить интеграл .
Решение. Тоже решается интегрированием по частям,
, , тогда , .
= = = = .
Ответ. .
Замечание. Из строения графика видно, что ответ и должен был получиться отрицательным: изначально имеет две одинаковые части площади над и под осью, и его интеграл был бы 0, а если мы умножаем на , то сильнее увеличится по модулю именно та часть, которая дальше от 0, то есть расположенная ниже горизонтальной оси. Вот эти графики, зелёным показан , красным .
Задача 6. Вычислить интеграл .
Решение. = =
используя известное выражение , получим:
= = .
Задача 7. Вычислить интеграл
Решение. Сделаем замену . Тогда , , , , функция монотонна, так что замена корректная. Теперь найдём новые границы: если , то . Тогда = = = = = . Ответ. .
Задача 8. Вычислить интеграл .
При этом осуществляется повторение темы «интегрирование тригонометрических функций».
Решение. Суммарная степень чётна, поэтому применяется замена
, тогда , , .
Пересчитаем границы. , .
Итак, подставим всё это в интеграл.
= = =
= = = = = . Ответ. .
Задача 9. Вычислить интеграл .
При этом осуществляется повторение темы «элементарные преобразования, подведение под знак дифференциала».
Решение. = = =
= =
= . Ответ. .
Задача 10. Вычислить интеграл .
При этом осуществляется повторение темы «рациональные дроби».
Решение. Сначала представим дробь в виде суммы простейших.
. При приведении к общему знаменателю, числитель получится такой:
, что равно ,
система: решим её методом Гаусса.
.
Здесь от 2-й строки отняли удвоенную 1-ю и от 3-й 1-ю, а затем от 3-й строки 2-ю. Основная матрица системы стала треугольной, и С находится сразу же: . Тогда и тогда . Из 1-го уравнения тогда уже получается .
Значит, исходный интеграл распадается на сумму 3 интегралов: = =
= = .
Ответ. .
Задача 10* на повторение, либо домашняя.
= = = = .
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!