Глава II  ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ.

§ 9. Основные понятия. Происхождение дроби.

№ 215—226 устно. 215.  

215. 1) Толщина 5 витков проволоки равна 1 мм. Найти толщину проволоки    (рис. 11).

Примечание. На рисунке 11 показано, как, используя лупу (увеличительное стекло), находят толщину пяти витков проволоки)

2) 280 страниц книги имеют толщину 15 мм. Найти толщину одного листа книги.

216. 1) Какую долю прямоугольника составляет заштрихованная часть? (Рис. 12)

 

2) Какую часть года составляет 1 мес.? 6 мес.? 2 мес.? 1 день?;

3) Какую часть суток составляет 1 час? 2 часа? 12 час?

217. 1) С помощью линейки измерьте длину и ширину тетради результаты измерений запишите, выразив их в сантиметрах.

 2) Измерьте длину и ширину переплета данной книги (задачника). Результаты запишите, выразив их в сантиметрах.

218. Если яблоко разрезать на две равные части, затем каждую полученную часть разделить снова на две равные части и еще рад снова разделить на две равные части, то как будет называться часть?

219. 1) Отрезок прямой АЕ (рис. 13) разделён на пять рав­ных частей: АБ, БВ, ВГ, ГД и ДЕ. Какую часть всей дли­ны отрезка АЕ составляет каждый из отрезков: АБ, АВ, АГ, АД и АЕ.

2)  Начертите отрезок прямой длиной в 1 см. Разделите его на четыре равные части и укажите отрезок, равный половине всей длины отрезка, трём четвертям всей длины отрезка.

 

220. 1) Сколько в единице половин? четвертей?

2) Сколько половин в двух единицах? и трех единицах?

3) Сколько девятых долей единицы содержится в двух единицах? в пяти единицах?

221. Турист прошёл некоторый путь за 4 дня, проходя в день одно и то же расстояние. Какую часть всего расстояния он прошел за 1 день? за 2дня? за 3 дня?

222. Расстояние между двумя городами лошадь может пройти за 10 суток, находясь в движении ежедневно по 10 час, а самолёт пролетит это расстояние за 2 часа. На какую часть всего расстояния переместится за час лошадь? самолёт?

223. 1) Отрезок прямой линии длиной 4 см надо разделить на 8 равных частей. Как выполнить это деление?

2) Круг надо разделить на 16 равных частей. Как выполнить это деление?

224. Один килограмм конфет рассыпали поровну в 2 пакета, другой килограмм конфет – в 4 пакета, третий - в 8 пакетов. Какая часть килограмма будет в каждом пакете? Во сколько раз больше весит каждый пакет в первом случае, чем во втором, в третьем случаях?

225. Ученик прочитал книгу за 5 дней, читая каждый день одинаковое число страниц. Какую часть книги ученик прочитал за 1 день? за 2 дня? за 3 дня?

226. 1) Окружность содержит 360°. Сколько градусов в половине окружности? в четверти окружности? в 10-й части окружности?

2) Сколько сантиметров в четверти метра? в 10-й части метра?

3) Сколько граммов в половине килограмма? в 5-й части килограмма? в 20-й части килограмма?

227. Прочитать дроби и указать, каким путём каждая дробь получена из единицы

1	;	1	;	2	;	3	;	15	;	53
2		10		5		4		28		60

228. Записать дроби: одна пятая, две трети, три седьмых, пятнадцать шестнадцатых, пять сто шестых, двадцать семь сотых

229. 1) Какую часть метра составляют 3 дм? 11 см? 27мм?

   2) Какую часть килограмма составляют 3 г? 17 г? 309 г?

230. 1) Из 2 кг муки испекли 7 одинаковых булочек. Сколько муки израсходовали на каждую булочку?

2) Шесть мальчиков поймали 5 кг рыбы и разделили поровну. Сколько рыбы досталось каждому мальчику?

231. Записать частные в виде дробей:

1) 3: 5         2) 5: 8         3) 7:10                       4) 13:15        5) 5:48

6) 43:47      7) 21:20       8) 52:41       9) 120:77

 

232. На рисунке 14 изображён числовой луч. Начало луча отмечено цифрой 0. Вправо от точки 0 отложены разные отрезки. Точки, обозначенные цифрами 1; 2; 3; 4; 5;..., соответствую; числам один, два, три, четыре и т. д. Нарисуйте в тетрадях числовой луч и отметьте на нём точ­ки, которые соответствуют числам:   1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 и 10.                                                                                                          

Отметьте на этом числовом луче точки, соответствующие числам:

1	;	3	;	1	1	;	4	1	;	6	2
4		4			2			3			5

233. 1) После осушения болота пахотные земли колхоза уве­личились на ¹/₈ своей величины. Какую часть пахотных земель колхоза составляет теперь осушенный участок? (Рис. 15.)

2) Колхоз посадил фруктовый сад на ¹/₁₀ площади своих пахот­ных земель. Какую часть от оставшейся площади пахотных земель колхоза составляет площадь фруктового сада?

234. 1) Лес занимает площадь 5 га; он разбит на 8 равных участков. Какую часть всей площади занимает каждый участок? Какую часть гектара занимает каждый участок?

2) Велосипедист за - 30 мин. проехал 7 км. Какую часть всего расстояния он проехал за 1 мин.? за 5 мин.? Какую часть километра он проехал за 1 мин.?

235. Отец разделил 15 яблок между двумя своими сыновьями так, что старший получил столь­ко раз по 3 яблока, сколько раз младший получил по 2 яблока. Сколько яблок досталось каждому? Какую часть всего количества яблок получил каждый из сыновей?

Дроби правильные и не правильные. Смешанные числа.

236. (Устно) 1)Какая дробь получится, если единицу разделить на 5 равных частей и полученную долю взять 4 раза? Как называется полученная дробь?                                

2) Какая дробь получится, если единицу разделить на 4 рав­ные части и полученную долю взять 5 раз? Как называется полученная дробь?                                                                     

237. 1) Сколько половин единицы в каждом из следующих чисел (Решить графически.):

		1	;	1	1	;	5	1	?
					2			2

 

2) Сколько пятых долей единицы в каждом из следующих чисел (Решить графически.):

1	;	1	1	;	2	1	;	3	3	;	6	4	?
			5			5			5			5

 

238. Прочитайте и выпишите, отдельно правильные дроби, неправильные дроби и смешанные числа из следующего ряда чисел:  

2	;	5	;	4	;	7	;	2	1	;	5	;	85	;	121	;	5	17	;	60	;	7	13
3		3		9		3			2		5		91		56			18		60			25

239.  Напишите несколько дробей: меньших единицы, равных единице, больших единицы.

240. 1) Из чисел 1; 3; 5; 6; 12 составить несколько правильных дробей.   

   2) Из чисел 1; 5; 8; 15; 17 составить несколько неправиль­ных дробей.

241. 1) Написать все неправильные дроби с числителем 6.

  2) Написать все правильные дроби со знаменателем 7.

242. 1) Представить число 2 в виде дробей со знаменателями 3; 5; 6.

   2) Представить число 10 в виде дробей со знаменателями 5, 20, 50

243. Покажите на рисунке 16 отрезки, изображающие правильную дробь, неправильную дробь и смешанное число.  

    На таком же рисунке, сделанном в тетради, покажите, как смешанное число обратить в неправильную дробь.

244. Обратить в неправильные дроби:	2	1	;	3	2	;	1	5	;	20	1	;	35	5	;	16	7	;	101	3	;	407	5
		2			5			7			3			12			8			7			11

245. Нарисуйте в тетради рисунок 17 и покажите, как неправильную дробь обратить в смешанное число.

Исключить целые числа из дробей:

Упростить:                  

248. 1) Три мальчика поймали вместе 7 кг рыбы и весь улов разделили поровну. Сколько килограммов рыбы досталось каждому?

2) Саша пробежал 100 м за 17 сек. Сколько метров в среднем он пробегал за секунду?

             Сравнение величины дробей.

219. На рисунке 18 изображены дроби с одинаковыми знаменателями. Какая из дробей больше? Сформулируйте правило сравнения по величине дробей с одинаковыми знаменателями.

250. 1) Что больше:                   ¹/₅ кг или ²/₅ кг?        ¹/₄ км или ³/₄ км?                                           

2) Указать наибольшую и наименьшую из данных дробей:

5	;	6	;	3	;	7	;	9
13		13		13		13		13

251. 1) Расположить в порядке возрастающей величины дроби:

6	;	5	;	9	;	15	;	1	;	17	;	4
23		23		23		23		23		23		23

 

2) Расположить в порядке убывающей величины дроби:

21	;	16	;	14	;	25	;	6	;	13	;	1	;	5
37		37		37		37		37		37		37		37

 

252. На рисунке 19 изображены дроби с одинаковыми числителя­ми. Какая из дробей больше? Сформулируйте правило сравнения дробей по величине с одинаковыми числителями.

1)	Что больше:	7	км или	7	км?	3	га или	3	га?
		10		8		5		4

 

2) Какая из дробей	5	;	5	;	5	;	5	;	5	наибольшая и какая наименьшая?
	16		21		6		128		142

Расположите эти дроби по порядку, начиная с наи­большей.

254. Один пешеход может дойти от селения до города за 6 час, а другой за 8 час. Какую часть этого расстояния пройдёт каждый из них за 5 час? Кто пройдёт больше? (Изобразите решение графически.)

255. 1) Даны дроби:	3	;	5	;	2
	4		6		3

Изобразите каждую из них графически (за единицу примите 12 клеточек). Как проще всего сравнить по величине данные дроби? Какая из этих дробей больше?

2) Расположите дроби:	3	;	5	;	11	;	8	в порядке возрастания их величины.
	4		6		12		9

256. (Устно)Какая дробь больше:	3	или	7	?	1	или	2	?	2	или	7	?	15	или	21	?
	4		8		2		3		5		10		19		25

257. Расположите дроби по порядку:

1) Начиная с наибольшей	5	;	7	;	2		3		16
	6		8		3		4		17
2) Начиная с наименьшей	5	;	7	;	16		2		20
	8		10		19		5		23

258. Сравните по величине с ¹/₂ дроби, изображённые на рисунке 20. Запишите их в порядке убывающей величины.

Расположите дроби:	1	;	3	;	2	;	5	в порядке убывания
	2		8		6		12

их величины

259. Какая дробь больше:	5	или	7	?	7	или	9	?	15	или	7	?
	12		16		16		20		14		18

260. Укажите, какие из дробей меньше половины и какие больше половины:

2	;	2	;	3	;	3	;	4	;		3	;		5	;		4		;		5
3		5		5		7		7			8			8			9				9
261. Какая дробь больше:										5			или			6		?		13		или	3	?	161	или	8	?
										6						5				12			4		162		7

262. 1) Три равных отрезка разделены: один на 2, другой на 6, третий на 12 равных частей.

Ответьте, используя рисунок 21, на следующие вопросы:

 

 

1) Во сколько раз	1	больше	1	?	1	больше	1	?	1	больше	1	?
	2		6		2		12		6		12
2) Во сколько раз	1	больше	1	?	1	больше	1	?	1	больше	1	?
	3		6		5		15		7		21

 

263. 1) Во сколько раз

1	меньше	1	?	1	меньше	1	?	1	меньше	1	?	1	меньше	1	?
8		2		75		25		144		12		1001		13

 

2) Сколько раз	1	содержится в	1	?	1	в	1	?	1	в	1	?
	8		2		24		8		15		3

 

 § 10. Изменение величины дроби с изменением её членов.

264. (Устно.) 1) На рисунке 22 изображены две дроби	2	и	4	.Какая дробь больше и
	5		5

 

во сколько раз? Как получена дробь	4	из дроби	2	?
	5		5

 

2) Увеличить в 2 раза каждую из данных дробей:

1	;	2	;	3	;	3	;	5	;	6	;	1	;	15	;
4		3		5		8		11		13		15		16

265. (Устно.) 1) На рисунке 23 изображены две дроби	3	и	3	.Какая дробь больше и
	8		4

 

во сколько раз? Как получена дробь	3	из дроби	3	?
	4		8

 

 

2) Увеличить в 3 раза каждую из данных дробей:

1	;	2	;	5	;	4	;	17	;	33	;	10	;
12		9		21		15		36		120		99

 

266. (Устно.) Увеличить двумя способами:

1)	1	в 6 раз;	2)	5	в 4 раза;	3)	23	в 17 раз;
	12			32			51
3) 1	1	в 2 раза;	4) 5	1	в 6 раз;	6) 2	2	в 7 раз;
	12			6			21

267. (Устно.) Назвать числа, в 2 раза большие данных:

5	;	15	;	4	1	;	3	2	;	5	;	11	;	2	2	;	5	2
6		32			2			3		12		15			9			3

268. 1) Во сколько раз надо увеличить	3	, чтобы получить	3	?
	20		4
2) Во сколько раз надо увеличить	4	, чтобы получить	4	?
	15		5

 

269. 1) Сравнить графически дроби	3	и	6	Какая дробь меньше и во сколько раз?
	7		7

 

Как получена дробь	3	из	6	?
	7		7

2) Написать дроби, в 4 раза меньшие по сравнению с каждой из данных дробей:

4	;	8	;	12	;	32	;	16	;	2	2	;	4	4
5		11		13		27		51			5			7

270. 1) Сравнить графически дроби	3	и	3	Какая   дробь меньше и во сколько раз?
	4		8

Как получена дробь	3	из дроби	3	?
	8		4

2) Написать числа, в три раза меньшие каждой из данных дробей:         

1	;	2	;	1	;	4	;	11	;	7	;	15	;	2	1	;	6	7
3		5		7		9		12		8		22			4			9

271. Уменьшить в 5 раз каждое из следующих чисел:

5	;	3	;	15	;	1	1	;	3	3
7		4		22			5			4

272. Уменьшить двумя способами:

1)	16	в 4 раза;	2) 3	3	в 3 раза;	3) 7	1	в 5 раз;
	17			4			2

273. 1) Во сколько раз надо уменьшить	15	, чтобы получить	5	?
	17		17

2) Во сколько раз надо уменьшить	3	, чтобы получить	3	?
	7		35

 

274. Как изменится величина дроби, если:

3) Числитель её увеличить в 2 раза? в 5 раз? в 15 раз?

4) Числитель её уменьшить в 3 раза? в 12 раз? в 20 раз?

5) Знаменатель её увеличить в 3 раза? в 10 раз? в 30 раз?

6) Знаменатель её уменьшить в 5 раз? в 7 раз? в 25 раз?

275. 1) Как изменится каждая из дробей:	5	;	4	;	9	;	15	если числители заменить единицей?
	8		7		13		23

 

 

2) Как изменятся величины дробей:	4	;	5	;	11	если в каждой из них знаменатель заменить единицей?
	7		11		15

 

276. (Устно.) 1) Каждую из следующих дробей увеличить сначала в 6 раз, а затем полученный результат уменьшить в 7 раз:

7	;	35	;	14	;	21	;	42	;	84	;	91
12		42		18		36		72		96		108

2) Каждую из следующих дробей уменьшить сначала в 7 раз, а   затем полученный результат увеличить в 25 раз:

14	;	21	;	49	;	84	;	7	;	427
25		50		250		125		1 000		1 000

277. Один рабочий выполнил ³/₄ всей работы, а другой в 6 раз меньше. Какую часть всей работы выполнил второй рабочий?

278. Самолёт пролетает расстояние между двумя городами за 4 часа. Какую часть этого расстояния он пролетит за 1 час? За ¹/₂часа? за ¹/₄ часа?

279. Через одну трубу за 3 часа наполняется ¹/₅ бассейна, че­рез другую трубу за 5 час. наполняется 1/4 бассейна. Через какую трубу в 1 час вливается воды больше?

280. Двое рабочих выкопали канаву; первый из них за 4 часа выкопал ⁸/₂₅ всей длины канавы, а второй за 3 часа ⁹/₂₅ всей дли­ны канавы. У какого рабочего производительность труда больше?

281. (Устно.) 1) Числитель дроби увеличили вдвое. Как нужно изменить знаменатель, чтобы величина дроби осталась прежней?

2) Знаменатель дроби уменьшили в 3 раза. Как нужно изме­нить числитель, чтобы величина дроби осталась прежней?

282. В следующих равенствах вместо х поставить такое число, чтобы новая дробь была равна данной:

1)	2	=	х	2)	х	=	4	3)	5	=	30
	3		9		5		10		х		36
4)	15	=	х	5)	84	=	12	6)	125	=	5
	25		5		91		х		х		3

283. Как изменится дробь, если:

1) Числитель увеличить в 4 раза, а знаменатель уменьшить в 2 раза?

2) Числитель увеличить в 6 раз, а знаменатель увеличить в 3 раза?

3) Числитель уменьшить в 10 раз, а знаменатель уменьшить в 5 раз?

4) Числитель уменьшить в 12 раз, а знаменатель увеличить в 2 раза?

284. 1) Числитель дроби увеличили в 12 раз. Как нужно изменить знаменатель, чтобы дробь увеличилась в 2 раза?

2) Знаменатель дроби уменьшили в 2 раза. Как нужно изме­нить числитель, чтобы дробь увеличилась в 4 раза?

3) Знаменатель дроби увеличили в 5 раз. Как нужно изменить числитель, чтобы дробь увеличилась в 4 раза?

285. (Устно.) Дробь ⁵/₂₈ требовалось увеличить в 5 раз. Уче­ник, допустив ошибку, получил ¹/₂₈. Как нужно изменить полу­ченную дробь, чтобы получить правильный ответ?

286. 1) Если турист будет проходить по ¹/₁₅ км в минуту, то он придёт в пункт назначения через 2 часа. Сколько километ­ров он пройдёт за 2 часа?

2) Часы отстают на ³/₄ сек. в час. На сколько  они отстанут в течение суток?

287. Зная, что ¹/₃ содержится в 6 единицах 18 раз, узнать, сколько раз в 6 единицах содержится ²/_3.

§ 11. Сокращение дробей.

288. На рисунке 24 изображены дроби ⁴/₆ и ²/₃. Почему эти дроби равны?

289. 1) Напишите несколько дробей разного вида так, чтобы каждая дробь равнялась 1/_3. (Изобразите графически.)

2) Напишите несколько равных добей с разными знаменателями. (Изобразите графически.)

290. Сократить следующие дроби:

1)	2	;	4	;	6	;	3	;	8	;	20	;	24	;	28	;	150	;	125	;	500
	4		10		9		15		16		24		36		40		200		375		750

 

2)	45	;	22	;	35	;	77	;	51	;	13	;	45	;	103	;	270	;	420
	90		44		140		220		340		169		270		3090		5400		36000

 

3)	27	;	66	;	117	;	300	;	1680	;	1250
	999		440		1300		525		2640		1625

 

4)	450	;	327	;	840	;	264	;	128	;	501
	480		351		960		312		192		1002

 

291. Сократить следующие дроби, после чего исключить целое число:

	8	;	14	;	50	;	27	;	85	;	210	;	945	;	1000	;	770	;	2070
	6		8		18		6		65		147		600		300		140		180

 

292. Сократить:

1)	17·3·9	;	19·8·3·11	;	15·13·6	;	49·77·56·100
	6·51·15		22·4·20·19		6·9·5·26		33·70·42·280

 

2)	37·147·63·25	;	64·22·49·15	;	75·102·130·108
	111·49·100·3		66·42·16·56		162·78·68·114

 

293. Сравнить дроби:

2	и	160	;	3	и	72	;	5	и	30	;	1	и	20
3		240		4		96		6		42		2		35

294. Во сколько раз первая дробь больше или меньше второй:

4	и	24	?	15	и	90	?	2	и	96	?
5		60		18		216		3		288

 

295. 1) Какую часть составляет наибольшее двузначное число от наибольшего четырёхзначного числа?

2) Какую часть составляет произведение чисел 7 и 11 от наименьшего четырёхзначного нечётного числа?

296. Колхоз засеял рожью 510 га земли, а пшеницей 850 га. Какую часть пашни, засеянной  

пшеницей, составляет пашня, засеянная рожью? Какую часть земли, засеянной рожью и пше­ницей, составляет пашня, засеянная рожью?

297. 1) Какая часть суток прошла, если теперь 8 час. утра? если теперь 14 час. 40 мин.?

2) Какой части суток равен промежуток времени от 10 час. до 19 час. 36 мин.?

298. Два колхоза за постройку моста уплатили 18600 руб., при­ чём первый колхоз уплатил на 3100 руб. больше второго. Какую часть взноса первого колхоза составляет взнос второго колхоза?

299. 1) Найти и привести к простейшему виду дробь, у которой числитель равен 75, а знаменатель — наименьшему общему кратному чисел 300; 450 и 525.

2) Представить в простейшем виде дробь, числитель которой равен 20, а знаменатель равен наименьшему общему кратному чисел 20; 30 и 75.