Методы расчёта сложных цепей постоянного тока

Для расчёта сложных электрических цепей применяются несколько методов, построенных на законах Кирхгофа и применяемых в зависимости от конфигурации анализируемой электрической цепи.

Анализом электрической цепи называется определение токов и напряжений в её ветвях и отдельных элементах.

Для анализа или расчета сложных электрических цепей существуют следующие методы:

– метод узловых и контурных уравнений;

– метод контурных токов;

– метод узлового напряжения;

– метод наложения токов;

– метод эквивалентного генератора и другие.

Каждый метод имеет ряд правил и условий расчета, применимых только к нему, но существуют и общие правила и допущения, составляющие основу для всех методов.

Если известны все ЭДС и сопротивления сложной цепи, то, применяя законы Кирхгофа, всегда можно составить столько независимых уравнений, сколько различных неизвестных токов имеется в этой цепи. Определение токов сводится, таким образом, к решению системы линейных уравнений.

Для получения необходимого числа независимых уравнений следуемт применить первый закон Кирхгофа ко всем узловым точкам, кроме одной, т. е. составить, пользуясь этим законом (n-1) уравнений, если число узлов равно n. Недостающие уравнения должны быть составлены по второму закону Кирхгофа таким образом, чтобы каждое следующее уравнение не могло быть получено из предыдущих.

Правила и порядок расчета сложных цепей постоянного тока

Сложную цепь при помощи уравнений Кирхгофа целесообразно рассчитывать в следующей последовательности:

 - по возможности упрощают расчетную схему (заменив, например, несколько параллельно-соединенных сопротивлений одним эквивалентным сопротивлением);

 - наносят на схеме известные направления всех ЭДС (всегда от минуса к плюсу внутри источника);

 - задаются произвольными направлениями токов. Заданные направления ЭДС и условно принятые направления токов изображают стрелками;

- составляют уравнения по первому закону Кирхгофа для всех узловых точек схемы, кроме одной;

 - составляют недостающие уравнения по второму закону Кирхгофа, обходя замкнутые контуры по часовой или против часовой стрелки. При этом ЭДС и токи, совпадающие с направлением обхода, принимаются положительными, а противоположные (т. е. встречные) этому направлению — отрицательными;

- решают составленную систему уравнений и определяют неизвестные токи.

Важно!

Если в результате расчета, значение тока получится со знаком минус, то это означает, что этот ток имеет направление противоположное тому, которое было условно принято для него в начале расчета.

Если в результате расчета сложной цепи получается, что у энергопреобразующего устройства (электрической машины или аккумулятора) фактическое направление тока совпадает с направлением действия его ЭДС, то это свидетельствует о том, что рассматриваемое устройство работает в качестве источника электроэнергии – генератор.

Если направление тока обратно направлению ЭДС, то это означает, что это устройство является электроприемником например, зарядным устройством.

Метод узловых и контурных уравнений

Этот метод самый универсальный, им можно пользоваться для расчета любых сложных цепей, любой конфигурации и с любым количеством источников ЭДС. Для решения задачи воспользуемся указанным ранее алгоритмом расчета.

Задача 4.2

Дано: Е1 = 246 В, Е2 = 230 В, R1 = 0,3 Ом, R2 = 1 Ом, R3 = 24 Ом.

Найти: Значения токов во всех ветвях.

 

Рисунок 4.7 (б) – Предполагаемые направления токов

 

Решение

В рассматриваемой цепи 2 узла: К и М, наблюдается три контура: два внутренних и один внешний.

Построим систему уравнений по правилам расчета:

У нас 3 неизвестных тока – значит нужно построить 3 уравнения. По первому закону Кирхгофа составляем (n -1) уравнений, где n – число узлов. В заданной схеме 2 узла: n=2, следовательно - по первому закону Кирхгофа можно построить 1 уравнение. Еще два уравнения построим по второму закону Кирхгофа, для этого выделим в схеме 2 контура:

 

 

Рисунок 4.7 (в) – Выделение контуров для расчета

 

Выводы:

Ток во второй ветви получился отрицательным, следовательно, он течет в противоположную сторону, от предполагаемого в начале расчета. А источник второй ЭДС является не генератором, а потребителем – зарядным устройством.

 

Метод контурных токов

Решим эту же задачу методом контурных токов.

При применении этого метода предполагают что в каждом контуре циркулирует свой ток. Контурные токи – виртуальные, они не существуют. Пусть в первом контуре циркулирует ток – I₁, а во втором – I₂.

 

Задача 4.3

Дано: Е1 = 246 В, Е2 = 230 В, R1 = 0,3 Ом, R2 = 1 Ом, R3 = 24 Ом.

Найти: Значения токов во всех ветвях.

 

Рисунок 4.7(а) – Исходная заданная для расчета сложная электрическая цепь

Решение

Введем обозначение: пусть реальные токи обозначены как: i₁, i₂, i₃, виртуальные токи обозначим как: I₁, I₂ (рисунок 4.7(г)).

 

 

Рисунок 4.7(г) – Цепь для расчета методом контурных токов

Выводы:

Очевидно, что мы получили тот же результат и ток во второй ветви по-прежнему течет в противоположном направлении.

 

Метод узлового напряжения

Нам предстоит ещё раз решить эту задачу, применяя ещё один метод – метод узлового напряжения. Этот метод предпочтителен, если в цепи при множестве контуров и ветвей всего два узла.

 

Задача 4.4

Дано: Е1 = 246 В, Е2 = 230 В, R1 = 0,3 Ом, R2 = 1 Ом, R3 = 24 Ом.

Найти: Значения токов во всех ветвях.

Решая задачу этим способом, предполагают, что все токи текут к одному узлу. Как показано на рисунке 4.7(д):

 

Рисунок 4.7(д) – Цепь для расчета узлового напряжения

 

Решение

Так как все ветви включены между двумя узлами, значит, имеем параллельное соединение и применяем все правила и формулы для параллельного соединения.

Тогда, узловое напряжение можно найти по закону Ома как:

 

Выводы:

В отличии от предыдущих результатов, здесь ток  I₃ имеет отрицательное значение, так как в начале решения этим методом мы приняли, что все токи направлены к узлу А. Следовательно, мы получили абсолютно правильный ответ – этот ток течет в противоположном направлении.

 

Баланс мощностей

Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии — суммарная мощность, вырабатываемая (генерируемая) источниками электрической энергии равна сумме мощностей потребляемой в цепи.