История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2020-08-20 | 139 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Согласно выводу G, для того чтобы математическое понимание могло оказаться результатом выполнения некоего алгоритма, этот алгоритм должен быть необоснованным или непознаваемым, если же он сам по себе обоснован и познаваем, то о его обоснованности должно быть принципиально невозможно узнать наверняка (такой алгоритм мы называем непознаваемо обоснованным); кроме того, возможно, что различные математики «работают» на различных типах таких алгоритмов. Под «алгоритмом» здесь понимается просто какая-нибудь вычислительная процедура (см. §1.5), т.е. любой набор операций, который можно, в принципе, смоделировать на универсальном компьютере с неограниченным объемом памяти. (Как нам известно из обсуждения возражения Q8, §2.6, «неограниченность» объема памяти в данном идеализированном случае на результаты рассуждения никак не влияет.) Такое понятие алгоритма включает в себя нисходящие процедуры, восходящие самообучающиеся системы, а также различные их сочетания. Сюда, например, входят любые процедуры, которые можно реализовать с помощью искусственных нейронных сетей (см. §1.5). Этому определению отвечают и иные типы восходящих механизмов — например, так называемые «генетические алгоритмы», повышающие свою эффективность с помощью некоей встроенной процедуры, аналогичной дарвиновской эволюции (см. §3.11).
О специфике приложения аргументации, представляемой в настоящем разделе (равно как и доводов, выдвинутых в главе 2), к восходящим процедурам я еще буду говорить в §§3.9-3.22 (краткое изложение их можно найти в воображаемом диалоге, §3.23). Пока же, для большей ясности изложения, будем рассуждать, исходя из допущения, что в процессе участвует один-единственный тип алгоритмических процедур, а именно — нисходящие. Такую алгоритмическую процедуру можно относить как к отдельному математику, так и к математическому сообществу в целом. В комментариях к возражениям Q11 и Q12, §2.10, рассматривалось предположение о том, что разным людям могут быть свойственны различные обоснованные и известные алгоритмы, причем мы пришли к заключению, что такая возможность не влияет на результаты рассуждения сколько-нибудь значительным образом. Возможно также, что разные люди постигают истину посредством различных необоснованных и непознаваемых алгоритмов; к этому вопросу мы вернемся несколько позже (см. §3.7). А пока, повторюсь, будем считать, что в основе математического понимания лежит одна-единственная алгоритмическая процедура. Можно, кроме того, ограничить рассматриваемую область той частью математического понимания, которая отвечает за доказательство Π1-высказываний (т.е. определений тех операций машины Тьюринга, которые не завершаются; см. комментарий к возражению Q10). В дальнейшем вполне достаточно интерпретировать сочетание «математическое понимание» как раз в таком, ограниченном смысле (см. формулировку G **).
В зависимости от познаваемости предположительно
лежащей в основе математического понимания алгоритмической процедуры F (будь то обоснованной или нет), следует четко выделять три совершенно различных случая. Процедура F может быть:
I сознательно познаваемой, причем познаваем также и тот факт, что именно эта алгоритмическая процедура ответственна за математическое понимание;
II сознательно познаваемой, однако тот факт, что математическое понимание основывается именно на этой алгоритмической процедуре, остается как неосознаваемым, так и непознаваемым;
III неосознаваемой и непознаваемой.
Рассмотрим сначала полностью сознательный случай I. Поскольку и сам алгоритм, и его роль являются познаваемыми, мы вполне можем счесть, что мы о них уже знаем. В самом деле, ничто не мешает нам вообразить, что все наши рассуждения имеют место уже после того, как мы получили в наше распоряжение соответствующее знание — ведь слово «познаваемый» как раз и подразумевает, что такое время, по крайней мере, в принципе, когда-нибудь да наступит. Итак, алгоритм F нам известен, при этом известна и его основополагающая роль в математическом понимании. Как мы уже видели (§2.9), такой алгоритм эффективно эквивалентен формальной системе F. Иными словами, получается, что математическое понимание — или хотя бы понимание математики каким-то отдельным математиком — эквивалентно выводимости в рамках некоторой формальной системы F. Если мы хотим сохранить хоть какую-то надежду удовлетворить выводу G, к которому нас столь неожиданно привели изложенные в предыдущей главе соображения, то придется предположить, что система F является необоснованной. Однако, как это ни странно, необоснованность в данном случае ситуацию ничуть не меняет, поскольку, в соответствии с I, известная формальная система F является действительно известной, то есть любой математик знает и, как следствие, верит, что именно эта система лежит в основе его (или ее) математического понимания. А такая вера автоматически влечет за собой веру (пусть и ошибочную) в обоснованность системы F. (Согласитесь, крайне неразумно выглядит точка зрения, в соответствии с которой математик позволяет себе не верить в самые фундаментальные положения собственной заведомо неопровержимой системы взглядов.) Независимо от того, является ли система F действительно обоснованной, вера в ее обоснованность уже содержит в себе веру в то, что утверждение G (F) (или, как вариант, Ω(F), см. §2.8) истинно. Однако, поскольку теперь мы полагаем (исходя из веры в справедливость теоремы Гёделя), что истинность утверждения G (F) в рамках системы F недоказуема, это противоречит предположению о том, что система F является основой всякого (существенного для рассматриваемого случая) математического понимания. (Это соображение одинаково справедливо как для отдельных математиков, так и для всего математического сообщества в целом; его можно применять индивидуально к любому из всевозможных алгоритмов, предположительно составляющих основу мыслительных процессов того или иного математика. Более того, согласно предварительной договоренности, для нас на данный момент важна применимость этого соображения лишь в той области математического понимания, которая имеет отношение к доказательству Π1-высказываний.) Итак, невозможно знать наверняка, что некий гипотетический известный необоснованный алгоритм F, предположительно лежащий в основе математического понимания, и в самом деле выполняет эту роль. Следовательно, случай I исключается, независимо от того, является система F обоснованной или нет. Если система F сама по себе познаваема, то следует рассмотреть возможность II, суть которой заключается в том, что система F все же может составлять основу математического понимания, однако узнать об этой ее роли мы не в состоянии. Остается в силе и возможность III: сама система F является как неосознаваемой, так и непознаваемой.
На данный момент мы достигли следующего результата: случай I (по крайней мере, в контексте полностью нисходящих алгоритмов) как сколько-нибудь серьезную возможность рассматривать нельзя; тот факт, что система F может в действительности оказаться и необоснованной, как выяснилось, сути проблемы ничуть не меняет. Решающим фактором здесь является невозможность точно установить, является та или иная гипотетическая система F (независимо от ее обоснованности) основой для формирования математических убеждений или же нет. Дело не в непознаваемости самого алгоритма, но в непознаваемости того факта, что процесс понимания действительно происходит в соответствии с данным алгоритмом.
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!