Задачи на проценты, части, доли

Формула простого процентного роста (формула простых процентов): , где S_n — наращенная сумма (исходная сумма вместе с начисленными процентами); S — исходная сумма; р% — процентная ставка от суммы, выраженная в долях за период; n — число периодов начисления.

Пример 1. Как изменится Х, если его последовательно сначала увеличить на 10%, а потом уменьшить на 10%? Решение.Неправильный ответ — не изменится.Увеличить Х на 10% означает: Х + 0,1Х = 1,1Х. Уменьшаем на 10% уже не Х, а 1,1Х: 1,1Х – 0,1(1,1Х) = 1,1Х – 0,11Х = 0,99Х. Значит, число уменьшилось на 1% по сравнению с первоначальным.Ответ:

 уменьшится на 1%.Пример 2. Как изменится Х, если его последовательно увеличить на р% два раза подряд? Решение.1-й раз увеличили Х на р%, получили Х + Хр/100 = Х(1 + р/100).2-й раз увеличили Х(1 + р/100) на р%, получим:Х(1 + р/100) + р/100(Х(1 + р/100)) = Х(1 + р/100)².Пример 3. Как изменится Х, если его последовательно увеличить на р% n раз подряд?Решение.Продолжая рассуждение в примере №7, получим формулу:Х(1 + р/100)n.

Формула сложного процентного роста (формула сложных процентов): , где S_n — наращенная сумма (исходная сумма вместе с начисленными процентами); S — исходная сумма; р% — процентная ставка от суммы, выраженная в долях за период; n — число периодов начисления.

Пример 4. Как изменится Х, если его последовательно уменьшать на р% n раз подряд?Решение.Аналогично строя рассуждения, как в примерах №7 и 8, получим формулу:Х(1 - р/100)ⁿ.Ответ:

 Х(1 - р/100)ⁿ.Пример 5. Пальто дешевле шубы на 20%. На сколько процентов шуба дороже пальто?Решение.Пусть П — стоимость пальто, Ш — стоимость шубы.П = 0,8Ш, тогда Ш = П: 0,8; Ш = 1,25П. Т. е. шуба дороже пальто на 25%.Ответ:

 25.Пример 6. Пять рубашек дешевле куртки на 25%. На сколько процентов семь рубашек дороже куртки?Решение.Пусть Р — стоимость рубашки, К — стоимость куртки.5Р = 0,75К; отсюда Р = 0,75К/5 =0,15К. Тогда 7Р = 7 ·0,15К = 1,05К.Т.е. 7 рубашек дороже куртки на 5%.Ответ:

5.Пример 7. Три числа относятся как 5:6:10. Если первое число уменьшить на 10%, а второе — на 20%, то на сколько % надо увеличить третье число, чтобы сумма не изменилась? Решение. 5Х + 6Х + 10Х = (5 - 0,5)Х + (6 -1,2)Х + (10 + р)Х21Х = 4,5Х + 4,8Х + (10 + р)Х11,7Х = (10 + р)Х |:Х11,7 = 10 + рр = 1,7 или 17%.Ответ:

 17%.Пример 8. Три числа относятся как 8/19: 0,6: 93/95. Третье числа больше половины первого на 36,5. Найти большее из чисел.Решение.Пусть первое число 8Х/19; второе — 0,6Х; третье — 93Х/95.По условию 3-е больше 1/2 первого на 36,5: Тогда

1) первое число (8/19) ·46,5 = 20;2) второе число 0,6 ·46,5 = 28,5;3) третье число (93/95) ·46,5 = 41,5 — наибольшее из чисел.

Ответ:

 41,5.Пример 9. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. На сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если выставленный на продажу за 8000 рублей, он через два года был продан за 6480 рублей?Решение.Согласно формуле примера №10 получим уравнение:8000(1 – р/100)2 = 6480; (1 – р/100)2 =0,81; откуда 1 – р/100 = 0,9 или 1 – р/100 = - 0,9. Второе уравнение не удовлетворяет смыслу задачи, а из первого находим р = 10%.Ответ:

 10.Пример 10 .Чему равна первоначальная сумма вклада (в рублях), если после двух лет она выросла на 304,5 рубля при 3% годовых?Решение.Пусть Х — первоначальная сумма вклада. Согласно формуле сложного процента получим уравнение: Х(1 + 0,03)2= Х + 304,5; 1,0609Х = Х + 304,5; 0,0609Х = 304,5; Х = 5000 (руб.)Ответ:

 5000.Пример 11. Сбербанк в конце года начисляет 3% к сумме, находившейся на счету. На сколько рублей увеличится первоначальный вклад в 1000 рублей через 2 года?Решение.Согласно формуле сложного процента получим:1000(1 + 0,03)² = 1000·1,0609 = 1060,9 (руб.) Т.е. вклад увеличится на 1060,9 – 1000 = 60,9 (руб.)Ответ:

 60,9.Пример 12. Цену на автомобиль поднимали два раза: сначала на 25%, а затем на 20%. Во сколько раз новая цена на автомобиль больше первоначальной цены?Решение.Пусть Х — первоначальная цена автомобиля. Тогда цена после первого повышения составит 1,25%А = 1,25А, а после второго повышения:120%(1,25А) = 1,2 - 1,25А = 1,5А. Значит, новая цена на автомобиль больше первоначальной цены в 1,5 раза.Ответ:

 1,5.Пример 13. Когда рабочий сделал 2484 детали, то оказалось, что он выполнил 46% месячной нормы. Сколько деталей составляет месячная норма рабочего?1) 5400; 2) 4600; 3) 2116; 4) 1600. Решение.

1-й способ:Пусть месячная норма составляет х деталей. Тогда:2484 деталей - 46% х деталей - 100%х = 2484·100/46 = 5400.2-й способ:Задача сводится к нахождению числа по его проценту:2484: 0,46 = 5400, что соответствует первому варианту ответов.

Ответ:

 1.Пример 14. В двух группах 50 учащихся. Когда число учащихся первой группы уменьшили на 20 %, а второй группы увеличили на 40 %, то в первой группе стало на 4 ученика меньше, чем во второй. Сколько учащихся было в каждой группе первоначально?Решение.Пусть х и у — число учеников в первой и второй группах соответственно, тогда в обеих группах: х + у = 50. Когда число учащихся первой группы уменьшили на 20 %, то их число стало х – 0,2х = 0,8х. Когда число учащихся второй группы увеличили на 40 %, то их сталоу + 0,4у = 1,4у. А разница в численном количестве учеников стала 1,4у – 0,8х = 4. Решим систему уравнений способом сложения: Ответ:

 20;30.Пример 15. Цена товара сначала снизилась на 40%, а затем его новая цена повысилась на 40%. Сравните последнюю цену товара с его первоначальной ценой.1) цена стала ниже; 2) цена стала выше; 3) не изменилась; 4) для ответа не хватает данных.Решение.Пусть товар стоил х руб., тогда после снижения на 40% он стал стоить х – 0,4х = 0,6х (руб). А эту цену повысили на 40%, т.е.товар стал стоить: 0,6х + 0,4·0,6х = 0,6х +0,24х =0,84х.Таким образом, товар стоил х руб, а стал стоить 0,84х, т.е. на 16% меньше.Ответ:

 1.Пример 16. Двузначное число в 4 раза больше суммы своих цифр, а квадрат этой суммы в 2,25 раза больше самого числа. Найти это число.Решение.Пусть 10А + В — данное число. 10А +В = 36.Ответ:

 36.Пример 17. Сумма кубов цифр двузначного числа равна 243, а произведение суммы его цифр на произведение цифр этого числа равно 162. Найти это число.Решение.Пусть 10А + В — данное число. Разделим (1) на (2): Пусть А/В = t. t + 1/t - 5/2 = 0, 2t2 - 5t + 2 = 0, t1 = 2, t2 =1/2.Получим две системы: А/В = 2/1 или А/В = 1/2.Ответ:

 63 или 36.Пример 18. Некоторая сумма, больше 1000 рублей была помещена в банк и после первого года хранения проценты, начисленные на вклад, составили 400 рублей. Владелец вклада добавил на счет еще 600 рублей. После второго года хранения и начисления процентов сумма на вкладе стала равной 5500 рублям. Какова была первоначальная сумма вклада, если процентная ставка банка для первого и второго годов хранения была одинакова?Решение.Пусть Х руб. — первоначальная сумма.После 1-го года хранения сумма стала (Х + 400) руб. Согласно формуле простых процентов: Х(1 + р/100) = Х + 400, Х + Хр/100 = Х +400, Хр/100 = 400, откуда Хр=40000, р = 40000/Х.Уравнение после 2-го года хранения, учитывая добавление на вклад 600 руб., примет вид: (Х + 1000)(1 + р/100) = 5500. Раскроем скобки:Х + Хр/100 + 1000 + 10р = 5500, заметим, что Хр/100 = 400, тогда уравнение примет вид: Х + 10р = 4100. Подставим в него р = 40000/Х, полученное в первом уравнении, и перейдем к квадратному уравнению: Х² - 4100Х + 400000 = 0. Решая, которое получим два корняХ₁ = 100 и Х₂ = 4000.По условию задачи сумма была больше 1000, т.е. походит только второе решение.Ответ:

Задачи по комбинаторике

Наука, изучающая способы составления и количество множеств и их подмножеств, называется комбинаторикой.

Каждое конкретное подмножество, составленное из элементов данного конечного множества, называется соединениемили выборкой.Если во множестве определено, какой элемент множества за каким следует или какому предшествует, то множество называется упорядоченным. Если в упорядоченном множестве изменить расположение элементов, то мы получим другое, отличное от первого множество.

Выборка — результат отбора, извлечение предпочитаемого из наличного.

Комбинаторная задача состоит в подсчете числа выборок из конечного основного множества элементов M = {a₁, а₂, а₃,..., а_n}.Выборки отличаются объемом (т.е. числом элементов, которые надо выбрать), порядком (т.е. упорядоченные или неупорядоченные выборки) и повторениями (есть или нет в выборке повторяющиеся элементы).Мы знаем три основных вида соединений: размещения, перестановки и сочетания.