Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2020-08-20 | 664 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Показательные уравнения
Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным. Простейшим примером показательного уравнения служит уравнение ах = b (a >0, а ¹1).
Решение показательного уравнения вида af (x)= ag (x) (a >0, а ¹1) основано на том, что это уравнение равносильно уравнению f (x)= g (x).
Следствие. Пусть a >0, а ¹1. Если степени с основанием а равны, то их показатели равны, т.е. если as = at, то s = t.
Приведение обеих частей уравнения к одному основанию
Этот способ основан на свойстве степеней: если две степени равны и их основания равны, то равны и их показатели.
Пример 1. Решите уравнение .
Решение. ; ; х =4.
Ответ: 4
Пример 2. Найдите корень уравнения .
Решение. Перейдем к одному основанию степени: .
Ответ:
Задание 1. Решите уравнение…
1) =125 | 2) = | 3) 27 х = | 4) = ‑2 | 5) =625 |
6) = | 7) 6 х =1296 | 8) =8 | 9) = | 10) = ‑2,5 |
Пример 3. Решите уравнение .
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению или .
Решая квадратное уравнение, находим х 1=2, х 2=4. Эти числа являются корнями исходного показательного уравнения.
Ответ: 2; 4
Задание 2. Решите уравнение…
1) | 2) | 3) |
4) | 5) | 6) |
7) | 8) | 9) |
10) |
Пример 4. Решите уравнение 102 х ‑ 5=100.
Решение. 102 х ‑ 5=100; 102 х ‑ 5=102; 2 х ‑ 5=2; отсюда х =3,5.
Ответ: 3,5
Пример 5. Найдите корень уравнения .
Решение. Перейдем к одному основанию степени: .
Ответ: 2
Задание 3. Решите уравнение…
1) 35 – 2 х =81 | 2) 48+5 х =1 | 3) 32 – х =27 | 4) 4 х 2+ х =16 | 5) 2 х +2=128 |
6) 2 х +1=16 | 7) 2 х – 1=32 | 8) 3 х 2 – х =1 | 9) 9 – х =27 | 10) 4 – х =16 |
Пример 6. Решите уравнение .
Решение. Уравнение решается приведением левой и правой частей к степеням с равными основаниями. 16 =24×21/2=24,5.
Из уравнения 2 х 2‑6 х ‑2,5=24,5 получаем х 2‑6 х ‑2,5=4,5, откуда х = ‑1 и х =7.
|
Ответ: ‑ 1; 7
Пример 7. Найдите корень уравнения .
Решение. Перейдем к одному основанию степени: .
Ответ:
Пример 8. Найдите корень уравнения .
Решение. Приведем обе части уравнения к основанию 3: .
Ответ:
Задание 4. Решите уравнение…
1) | 2) | 3) | 4) |
5) | 6) | 7) | 8) |
9) | 10) |
Пример 9. Решите уравнение .
Решение. Приведем обе части уравнения к одному основанию:
; ; ;
; ; x = ‑ 2.
Ответ: ‑ 2
Пример 10. Найдите корень уравнения .
Решение. Перейдем к одному основанию степени: .
Ответ: 2
Пример 11. Найдите корень уравнения .
Решение. Приведем обе части уравнения к основанию 3: .
Ответ: 1
Задание 5. Решите уравнение…
1) | 2) | 3) = | 4) |
5) | 6) | 7) | 8) |
9) | 10) = |
Пример 12. Решите уравнение .
Решение. Воспользуемся свойством степени:
; ; . Отсюда х =2.
Ответ: 2
Задание 6. Решите уравнение…
1) | 2) | 3) | 4) |
5) | 6) | 7) | 8) |
9) | 10) |
Пример 13. Решите уравнение .
Решение. ; ; ; 2 x =3; x = .
Ответ:
Пример 14. Найдите корень уравнения .
Решение. Приведем обе части уравнения к основанию 2: .
Ответ:
Пример 15. Найдите корень уравнения .
Решение. Преобразуем правую часть уравнения: .
Получаем уравнение
Ответ:
Задание 7. Решите уравнение…
1) | 2) | 3) | 4) |
5) | 6) | 7) | 8) |
9) | 10) |
Пример 16. Решите уравнение .
Решение. По определению корня имеем: .
Приведем обе части уравнения к одному основанию:
; .
; 9(x – 1)=4(2 – x); 9 x – 9=8 – 4 x; 13 x =17; x = .
Ответ:
Задание 8. Решите уравнение…
1) = | 2) =4 | 3) = | 4) =27 |
5) = | 6) ( = | 7) = | 8) 16 ‑1 =2x |
9) ( = | 10) 8 ‑1 =2x/2 |
Пример 17. Решите уравнение .
Решение. ; ; |x+1|=2 Û Û
Û
Ответ: 1; ‑ 3
Задание 9. Решите уравнение…
1) | 2) | 3) | 4) |
5) | 6) | 7) | 8) |
9) | 10) |
Пример 18. Решите уравнение .
Решение. ; ; 1= x – 2; x =3.
Ответ: 3
Задание 10. Решите уравнение…
1) | 2) |
3) | 4) |
5) | 6) |
7) | 8) |
9) | 10) |
Метод почленного деления
Суть метода в почленном делении уравнения, члены которого представляют собой степени с одинаковыми показателями и различными основаниями на одну из степеней.
|
При этом удобнее делить на степень с большим показателем.
Пример 28. Решите уравнение 9х+6х=2×4х.
Решение. Разделим обе части уравнения на 4х≠0, получим + =2, + ‑2=0. Обозначим = у, у >0, получим у 2+ у ‑2=0; y 1= ‑2; у 2=1. ‑2 не удовлетворяет условию у >0. Имеем =1. х =0.
Ответ: 0
Задание 16. Решите уравнение…
1) | 2) |
3) | 4) |
5) | 6) |
7) | 8) |
Логарифмирование
Уравнения вида a f(x)= b g(x) (a >0, a ≠1, b >0, b ≠1), где f (x) и g (x) – элементарные функции, решаются логарифмированием обеих частей.
Уравнения вида , где a >0, a ¹1 имеет решение, если b > 0. Его решают логарифмированием по основанию a: . Тогда .
Пример 29. Решить уравнение .
Решение. Прологарифмируем уравнение по основанию 3.
Получаем: ; ; ; .
Ответ:
Задание 17. Решите уравнение…
1) | 2) | 3) | 4) |
5) | 6) | 7) | 8) |
9) | 10) |
Пример 30. Решите уравнение ; Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .
Решение. Умножим обе части уравнения на положительное выражение , получим: , откуда и .
, , значит, указанному промежутку принадлежит только корень .
Ответ: 0,5; 2 и 2; 0,5
Пример 31. Решите уравнение .
Решение. Поскольку и при любых значениях х, то можно прологарифмировать обе части данного уравнения, например, по основанию 2:
; .
Далее раскроем скобки и выразим х: х +1=(2 – х) , откуда х + х =2 – 1, x = .
Ответ:
Задание 18. Решите уравнение…
1) | 2) | 3) | 4) |
5) | 6) | 7) | 8) |
9) | 10) |
Уравнения с параметром
Пример 33. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение.
Решение. Сделаем замену . Тогда исходное уравнение примет вид . Для того чтобы оно имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы квадратный трехчлен имел хотя бы один положительный корень, значит дискриминант должен быть больше нуля.
Поскольку , то условие D ³0 выполняется при а ³2 или а £ ‑ 6.
По теореме Виета, корни уравнения удовлетворяют системе уравнений .
При а £ ‑ 6 имеем , а , поэтому оба корня отрицательны, и, следовательно, исходное уравнение решений не имеет.
При а ³2 имеем , следовательно, хотя бы один из корней больше нуля.
Таким образом, уравнение имеет хотя бы одно решение при а ³2.
Ответ: [2; +∞)
Пример 34. Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет хотя бы одно решение.
|
Решение. Сделаем замену . Тогда исходное уравнение примет вид . Для того чтобы оно имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы квадратный трехчлен имел хотя бы один положительный корень, значит дискриминант должен быть больше нуля.
Поскольку , то условие выполняется при или .
По теореме Виета, корни уравнения удовлетворяют системе уравнений .
При имеем , а , поэтому оба корня отрицательны, и, следовательно, исходное уравнение решений не имеет.
При имеем , следовательно, хотя бы один из корней больше нуля. Таким образом, уравнение имеет хотя бы одно решение при .
Ответ:
Пример 35. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.
Решение. Пусть . ; ; ; ; .
Так как , получаем если , то ; если , то . Поскольку при решением являются все положительные значения , уравнение имеет единственное решение, если
Ответ:
Задание 20. При каких значениях а уравнение…
1) 25х+5х×(2 ‑ 3 а)+2 а 2 ‑ 5 а ‑ 3=0 имеет одно решение |
2) 9х ‑ 3х×(5 а +3)+6 а 2 +11 а ‑ 10=0 имеет одно решение |
3) 4х ‑ 2х×(6 а ‑ 4)+5 а 2 – 4 а =0 имеет два различных решения |
4) 36х+6х×(а ‑ 1) ‑ 2 а 2 + а =0 имеет два различных решения |
5) имеет два различных решения |
6) имеет единственное решение |
7) имеет единственное решение |
8) имеет два различных решения |
9) имеет два различных решения |
10) не имеет решений |
Показательные уравнения
Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным. Простейшим примером показательного уравнения служит уравнение ах = b (a >0, а ¹1).
Решение показательного уравнения вида af (x)= ag (x) (a >0, а ¹1) основано на том, что это уравнение равносильно уравнению f (x)= g (x).
Следствие. Пусть a >0, а ¹1. Если степени с основанием а равны, то их показатели равны, т.е. если as = at, то s = t.
Приведение обеих частей уравнения к одному основанию
Этот способ основан на свойстве степеней: если две степени равны и их основания равны, то равны и их показатели.
Пример 1. Решите уравнение .
Решение. ; ; х =4.
Ответ: 4
Пример 2. Найдите корень уравнения .
Решение. Перейдем к одному основанию степени: .
|
Ответ:
Задание 1. Решите уравнение…
1) =125 | 2) = | 3) 27 х = | 4) = ‑2 | 5) =625 |
6) = | 7) 6 х =1296 | 8) =8 | 9) = | 10) = ‑2,5 |
Пример 3. Решите уравнение .
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению или .
Решая квадратное уравнение, находим х 1=2, х 2=4. Эти числа являются корнями исходного показательного уравнения.
Ответ: 2; 4
Задание 2. Решите уравнение…
1) | 2) | 3) |
4) | 5) | 6) |
7) | 8) | 9) |
10) |
Пример 4. Решите уравнение 102 х ‑ 5=100.
Решение. 102 х ‑ 5=100; 102 х ‑ 5=102; 2 х ‑ 5=2; отсюда х =3,5.
Ответ: 3,5
Пример 5. Найдите корень уравнения .
Решение. Перейдем к одному основанию степени: .
Ответ: 2
Задание 3. Решите уравнение…
1) 35 – 2 х =81 | 2) 48+5 х =1 | 3) 32 – х =27 | 4) 4 х 2+ х =16 | 5) 2 х +2=128 |
6) 2 х +1=16 | 7) 2 х – 1=32 | 8) 3 х 2 – х =1 | 9) 9 – х =27 | 10) 4 – х =16 |
Пример 6. Решите уравнение .
Решение. Уравнение решается приведением левой и правой частей к степеням с равными основаниями. 16 =24×21/2=24,5.
Из уравнения 2 х 2‑6 х ‑2,5=24,5 получаем х 2‑6 х ‑2,5=4,5, откуда х = ‑1 и х =7.
Ответ: ‑ 1; 7
Пример 7. Найдите корень уравнения .
Решение. Перейдем к одному основанию степени: .
Ответ:
Пример 8. Найдите корень уравнения .
Решение. Приведем обе части уравнения к основанию 3: .
Ответ:
Задание 4. Решите уравнение…
1) | 2) | 3) | 4) |
5) | 6) | 7) | 8) |
9) | 10) |
Пример 9. Решите уравнение .
Решение. Приведем обе части уравнения к одному основанию:
; ; ;
; ; x = ‑ 2.
Ответ: ‑ 2
Пример 10. Найдите корень уравнения .
Решение. Перейдем к одному основанию степени: .
Ответ: 2
Пример 11. Найдите корень уравнения .
Решение. Приведем обе части уравнения к основанию 3: .
Ответ: 1
Задание 5. Решите уравнение…
1) | 2) | 3) = | 4) |
5) | 6) | 7) | 8) |
9) | 10) = |
Пример 12. Решите уравнение .
Решение. Воспользуемся свойством степени:
; ; . Отсюда х =2.
Ответ: 2
Задание 6. Решите уравнение…
1) | 2) | 3) | 4) |
5) | 6) | 7) | 8) |
9) | 10) |
Пример 13. Решите уравнение .
Решение. ; ; ; 2 x =3; x = .
Ответ:
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!