Разность фаз напряжения и тока.

Под разностью фаз напряжения и тока понимается (по определению) величина  и, следовательно,  Поэтому аргумент комплексной величины в квадратных скобках следует обозначать – j:

где

или

Таким образом, определены амплитуда и начальная фаза , тока на входе

схемы

 

25. Ток и напряжения при параллельном соединении r, L, С

Рассмотрим схему, к которой приложено напряжение  Схема состоит из параллельного соединения элементов r, L и С (рис. 5.7). При параллельном соединении элементов напряжение, приложенное к каждому элементу, имеет одно и то же значение. Определим токи во всех ветвях.

По первому закону Кирхгофа

Или

Вводя для заданного синусоидального напряжения изображающее его комплексное напряжение , применим для каждой ветви закон Ома в комплексной форме. Тогда получим

Из полученных выражений видно, что ток в сопротивлении совпадает по фазе с напряжением, ток в катушке индуктивности отстает по фазе от напряжения на угол p/2, а ток в емкости опережает напряжение по фазе на p/2. Векторная диаграмма напряжения и токов показана на рис. 5.8, где принято, что  Подставив выражения комплексных токов в уравнение первого закона Кирхгофа, найдем, что

или

3десь  – комплексная проводимость.

Под разностью фаз напряжения и тока понимается (по определению) величина j = y _u - y _i и, следовательно, y _i = y _u - j. Поэтому аргумент комплексной величины в квадратных скобках следует обозначать – j:

где

или

Таким образом, определены амплитуда  и начальная фаза y _i, тока на входе схемы

 

26. Проводимость в цепи переменного тока.

Комплексной проводимостью называется отношение комплексного тока к комплексному напряжению

где  – величина, обратная полному сопротивлению и называемая полной проводимостью.

Комплексная проводимость и комплексное сопротивление взаимно обратны. Комплексную проводимость можно представить в виде где   – вещественная часть комплексной проводимости, называется активной проводимостью.  – значение мнимой части комплексной проводимости, называется реактивной проводимостью. При этом

Для схемы, представленной на рис. 5.7, комплексная проводимость

Где и называются соответственно активной, индуктивной и емкостной проводимостями.

Реактивная проводимость b = b _L – b _C.

Индуктивная (b _L) и емкостная (b _C) проводимости – арифметические величины, а реактивная проводимость (b) - алгебраическая величина и может быть как больше, так и меньше нуля, или равна нулю. Реактивная проводимость в ветви, содержащей только индуктивность, равна индуктивной проводимости b _L, а реактивная проводимость в ветви, содержащей только емкость, равна емкостной проводимости с обратным знаком, т. е. – b _C. Единица проводимости – Сименс (См).

 

 

27. Пассивный двухполюсник

Пассивный двухполюсник (см. рис. 5.11 справа) может быть представлен двумя эквивалентными схемами.

 

Первая схема представляет собой последовательное соединение активного и индуктивного элементов (рис. 5.12); вторая – параллельное соединение элементов только с активной и реактивной проводимостями (рис. 5.13).

Если известны параметры первой схемы, то по ним можно определить параметры второй и наоборот.

Пусть известно

Тогда

итак

Пусть известна

Тогда

Откуда

Следует обратить внимание на то, что мнимая часть комплексной проводимости, имеющая индуктивный характер всегда отрицательна, а емкостная – положительна. И еще одно существенное замечание.

При переходе от последовательной схемы замещения к параллельной оказывается, что активная проводимость g зависит не только от активного сопротивления r, но и от реактивной составляющей полного сопротивления x = w × L, т. е. зависят от частоты; реактивная проводимость b зависит и от величины r. То же самое можно сказать и о переходе от параллельной схемы замещения к последовательной.

Переход от одной схемы замещения к другой не изменяет величину напряжения и тока на входе пассивного двухполюсника. Реактивное сопротивление пассивного двухполюсника (рис. 5.11) может быть или индуктивное, или емкостное. Поэтому на эквивалентной схеме (рис. 5.12) сопротивление х показано условно прямоугольником.

Напряжение  можно разложить на составляющие

где  – составляющая, совпадающая по фазе с током, называется активной составляющей напряжения;

 – составляющая, сдвинутая по фазе относительно тока на угол p/2, называется реактивной составляющей напряжения.

Составляющие  и  можно рассматривать как напряжения на элементах r и х эквивалентной схемы. На рис. 5.14 а представлена векторная диаграмма двухполюсника (pиc. 5.11) для случая, когда j > 0, т. е. х – индуктивное сопротивление.

Треугольник, образованный векторами ,  , , со сторонами, пропорциональными z, r и | x |, называется треугольником напряжений. Подобный ему треугольник, стороны которого в произвольно выбранном масштабе равны сопротивлениям z, r и | x | (рис. 5.14 б), называется треугольником сопротивлений.

Из треугольника напряжений следует, что

Другая эквивалентная схема того же двухполюсника, состоящая из параллельного соединения проводимостей g и b, показана на рис. 5.13. Поскольку в общем проводимость b может быть или индуктивной, или емкостной, на эквивалентной схеме она изображается условно прямоугольником (рис. 5.13). Ток на входе двухполюсника (рис. 5.13) можно разложить на составляющие

где  – составляющая, совпадающая то фазе с напряжением, называется активной составляющей тока;

 – составляющая, сдвинутая по фазе относительно напряжения на угол p/2, называется реактивной составляющей тока; напомним: в нашем случае для пассивного двухполюсника (рис. 5.11) принято, что х – индуктивное сопротивление. Составляющие  и  можно рассматривать как токи в элементах g и b эквивалентной схемы.

Треугольник, образованный векторами ,  и  (рис. 5.15 а) со сторонами, пропорциональными у, g, | b |, называется треугольником токов. Подобный ему треугольник, стороны которого в произвольно выбранном масштабе равны проводимостям у, g b, называется треугольником проводимостей (рис. 5.15 б).

Из треугольника токов имеем

 

28. Мощность в цепи синусоидального тока

Мгновенная мощность в цепи синусоидального тока является функцией времени и определяется выражением

где и и i – мгновенные значения тока и напряжения. Если напряжение и и ток i изменяются по синусоидальному закону

то средняя за период мощность (ее называют активной мощностью) определяется выражением

Подставляя значения и и i, получим

Окончательно

Так как , то . Если j = 0, то cos j = 1 и P = U × I. Если , то cos j = 0 и Р = 0. По этой причине множитель cos j называют коэффициентом мощности.

Различные электротехнические устройства рассчитываются по номинальным действующим значениям тока и напряжения, исходя из условий нагрева проводников и прочности изоляции этих устройств.

Наибольшая отдача в работе устройства получается, если оно работает при номинальных значениях напряжения и тока и cos j = 1. В этом случае активная мощность равна U × I.

Эту мощность называют полной мощностью

Вопросам улучшения коэффициента мощности cos j уделяется большое внимание. Повышение cos j достигается за счет рационального проектирования и эксплуатации оборудования.

Любое электротехническое устройство может быть представлено либо последовательной схемой замещения (рис. 5.12), либо параллельной схемой (рис. 5.13). В зависимости от этого можно получить различные выражения для активной мощности.

 

Для последовательной схемы (рис. 5.14 а)

Для параллельной схемы (рис. 5.15 а):

Таким образом

И полная мощность

Размерность активной мощности а ваттах (Вт), а полной мощности в вольт-амперах (ВА).

Для того чтобы оценить с каким коэффициентом мощности работает какое-либо устройство или предприятие, вводят в рассмотрение по аналогии с активной мощностью понятие реактивной мощности

Этим понятием широко пользуются также при расчете электрических сетей.

Отметим, что понятие реактивной мощности справедливо лишь при синусоидальном процессе. Размерность реактивной, мощности в вольт-амперах реактивных (ВАр).

Так же, как и для активной мощности для Q могут быть получены различные выражения.

Из рис. 5.14 а U _p = x × I и Q = U _p×/ = x × I ².

Из рис. 5.15а I _p = b × U и Q = U ×/_p = b × U ².

Таким образом,

Если все стороны треугольника сопротивлений умножить на квадрат тока /², то получим треугольник мощностей (рис. 5,18).

Откуда

 т. е.

Рассмотрим подробнее мгновенную мощность и колебания энергии в цепи синусоидального тока. Ограничимся только последовательным соединением r, L, С (рис. 5.3).

Пусть напряжение и ток изменяются по синусоидальному закону

Очевидно

Мгновенные значения напряжений на отдельных элементах цепи определяются так

Мгновенные мощности на отдельных участках цепи равны

Суммарная мощность на конденсаторе и катушке

Мощность на зажимах всей цепи

Из полученных выражений можно сделать вывод, что средняя за период мощность всей цепи равна активной мощности цепи неравна активной мощности за сопротивлении r,

Средняя за период мощность на катушке и на конденсаторе равна нулю

Мгновенные мощности на катушке и на конденсаторе имеют, противоположные знаки, так как напряжения u _l и U _cпротивоположны по фазе. При возрастании напряжения u _lот нуля до максимума энергия запасается в магнитном поле катушки, энергия электрического поля конденсатора полностью или частично переходит в энергию магнитного поля катушки. С течением времени процесс начинается в противоположном направлении: энергия запасается в электрическом поле конденсатора, энергия магнитного поля катушки переходит в энергию электрического поля конденсатора. Колебание мгновенной реактивной мощности происходит с удвоенной частотой 2 w t

 Расчет мощности в цепи переменного тока. Баланс мощности

Из предыдущих параграфов нам уже известно, что активная мощность цепи переменного тока определяется выражением.

где j = y _u - y _i - угол сдвига, разность фаз между напряжением и током.

Поэтому, если известны комплексы действующих значений напряжения и тока на зажимах пассивного двухполюсника (рис. 5.11)

 и , то для определения активной и реактивной мощностей, потребляемых пассивным четырехполюсником, нужно умножить комплекс напряжения на сопряженный комплекс тока

Если взять просто произведение  на /, то мы не получим нужного результата.

Из закона сохранения энергии следует, что вся мгновенная мощность, генерируемая в электрической цепи в любой момент времени, равна мгновенной мощности, поглощаемой элементами цепи. Такому же балансу удовлетворяет комплексная мощность.

Баланс мощности для цепи переменного тока записывается так