Медианы треугольника и их свойства

Оглавление

Введение

1. Медианы треугольника и их свойства

2. Открытие немецкого математика Г. Лейбница

3. Применение медиан в математической статистике

4. Медианы тетраэдра

5. Шесть доказательств теоремы о медианах

Заключение

Список использованных источников и литературы

Приложение

Введение

Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два тысячелетия треугольник является как бы символом геометрии, но он не символ. Треугольник – атом геометрии.

Треугольник неисчерпаем – постоянно открываются его новые свойства. Чтобы рассказать о всех известных его свойствах, необходим том сравнимый по объему с томом Большой энциклопедии. Мы хотим рассказать о медиане треугольника и ее свойствах, а так же о применении медиан.

Сначала вспомним, что медиана треугольника – это отрезок соединяющий вершины треугольника с серединой противоположной стороны. Медианы имеют множество свойств. Но мы рассмотрим одно свойство и 6 различных его доказательств. Три медианы пересекаются в одной точке, которая называется центроидом (центром масс) и делятся в отношении 2:1.

Существует медианы не только треугольника, но и тетраэдра. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом (точкой пересечения медиан) противолежащей грани называется медианой тетраэдра. Мы так же рассмотрим свойство медиан тетраэдра.

Медианы используются в математической статистике. Например, для нахождения среднего значения некоторого набора чисел.

Медианы треугольника и их свойства

Как известно, медианами треугольника называются отрезки, соединяющие его вершины с серединами противоположных сторон. Все три медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 1:2.

Точка пересечения медиан является также центром тяжести треугольника. Если подвесить картонный треугольник в точке пересечения его медиан то он будет находиться в состоянии равновесия

Любопытно, что вcе шесть треугольников, на которые всякий треугольник разбивается своими медианами, имеют одинаковые площади.

Медианы треугольника через его стороны выражаются так:

 

,

,

.

 

Если две медианы перпендикулярны, то сумма квадратов сторон, на которые они опущены, в 5 раз больше квадрата третьей стороны.

Построим треугольник, стороны которого равны медианам данного треугольника, тогда медианы построенного треугольника будут равны 3/4 сторон первоначального треугольника.

Данный треугольник назовем первым, треугольник из его медиан - вторым, треугольник из медиан второго - третьим и т. д. Тогда треугольники с нечетными номерами (1,3, 5, 7,...) подобны между собой и треугольники с четными номерами (2, 4, 6, 8,...) также подобны между собой.

Сумма квадратов длин всех медиан треугольника равняется ¾ суммы квадратов длин его сторон.

Открытие немецкого математика Г. Лейбница

Знаменитый немецкий математик Г. Лейбниц обнаружил замечательный факт: сумма квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до вершин треугольника, лежащего в этой плоскости, равняется сумме квадратов расстояний от точки пересечения медиан до его вершин, сложенной с утроенным квадратом расстояния от точки пересечения медиан до выбранной точки.

Из этой теоремы следует, что точка на плоскости, для которой сумма квадратов расстояний до вершин данного треугольника является минимальной,- это точка пересечения медиан этого треугольника.

В то же время минимальная сумма расстояний до вершин треугольника (а не их квадратов) будет для точки, из которой каждая сторона треугольника видна под углом в 120°, если ни один из углов треугольника не больше 120° (точка Ферма), и для вершины тупого угла, если он больше 120°.

Из теоремы Лейбница и предыдущего утверждения легко найти расстояние d от точки пересечения медиан до центра описанной окружности. Действительно, это расстояние по теореме Лейбница равно корню квадратному из одной трети разности между суммой квадратов расстояний от центра описанной окружности до вершин треугольника и суммой

Квадратов расстояний от точки пересечения медиан до вершин треугольника. Получаем, что

 

.

 

Точка М пересечения медиан треугольника AВС является единственной точкой треугольника, для которой сумма векторов МА, MB и МС равна нулю. Координаты точки М (относительно произвольных осей) равны средним арифметическим соответствующих координат вершин треугольника. Из этих утверждений можно получить доказательство теоремы о медианах.

Медианы тетраэдра

 

Оказывается, можно говорить о медианах не только для треугольника, но и для тетраэдра. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом (точкой пересечения медиан) противолежащей грани, называется медианой тетраэдра. Как и медианы треугольника, медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, центре масс или центроиде тетраэдра, но отношение, в котором они делятся в этой точке, иное – 3:1, считая от вершин. Эта же точка лежит и на всех отрезках, соединяющих середины противоположных ребер тетраэдра, его бимедианах, и делит их пополам. Это можно доказать, например, из механических соображений, поместив в каждую из четырех вершин тетраэдра грузики единичной массы.

Заключение

Исходя из проделанной работы можно сделать следующие выводы:

1. Одну теорему можно доказать разными способами. Это гораздо полезнее. Ведь ее можно изучить с разных сторон, используя различные методы и темы курса 8-10 классов.

2. Медиана была изучена многими учеными, но особый вклад в ее развитие внес немецкий ученый Г. Лейбниц. Он обнаружил замечательный факт: сумма квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до вершин треугольника, лежащего в этой плоскости, равняется сумме квадратов расстояний от точки пересечения медиан до его вершин, сложенной с утроенным квадратом расстояния от точки пересечения медиан до выбранной точки.

Из этой теоремы следует, что точка на плоскости для которой сумма квадратов расстояний до вершин данного треугольника является минимальной, - это точка пересечения медиан этого треугольника.

3. Медианы используются не только в геометрии, но и в физике, и в статической математике. Для вычисления среднего арифметического и др.

Приложение

1. Докажите, что точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений ее боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой. Вывести отсюда теорему о медианах.

2. Дан треугольник ABC. Укажите все такие точки P, что S_PAB = S_PBC = S_PCA.

3. Каждая из вершин пятиугольника соединена с серединой противолежащей стороны. Докажите, что если четыре из полученных прямых пересекаются в одной точке, то и пятая прямая проходит через эту точку.

4. Через каждое из ребер трехгранного угла и биссектрису противоположного плоского угла проведена плоскость. Докажите, что три полученные плоскости имеют общую прямую.

5. Точки A ₁, B ₁, C ₁ лежат соответственно на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC. Известно, что отрезки AA ₁, BB ₁, CC ₁ пересекаются в точке P, причем

 

 

Докажите, что P - центроид треугольника ABC.

Оглавление

Введение

1. Медианы треугольника и их свойства

2. Открытие немецкого математика Г. Лейбница

3. Применение медиан в математической статистике

4. Медианы тетраэдра

5. Шесть доказательств теоремы о медианах

Заключение

Список использованных источников и литературы

Приложение

Введение

Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два тысячелетия треугольник является как бы символом геометрии, но он не символ. Треугольник – атом геометрии.

Треугольник неисчерпаем – постоянно открываются его новые свойства. Чтобы рассказать о всех известных его свойствах, необходим том сравнимый по объему с томом Большой энциклопедии. Мы хотим рассказать о медиане треугольника и ее свойствах, а так же о применении медиан.

Сначала вспомним, что медиана треугольника – это отрезок соединяющий вершины треугольника с серединой противоположной стороны. Медианы имеют множество свойств. Но мы рассмотрим одно свойство и 6 различных его доказательств. Три медианы пересекаются в одной точке, которая называется центроидом (центром масс) и делятся в отношении 2:1.

Существует медианы не только треугольника, но и тетраэдра. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом (точкой пересечения медиан) противолежащей грани называется медианой тетраэдра. Мы так же рассмотрим свойство медиан тетраэдра.

Медианы используются в математической статистике. Например, для нахождения среднего значения некоторого набора чисел.

Медианы треугольника и их свойства

Как известно, медианами треугольника называются отрезки, соединяющие его вершины с серединами противоположных сторон. Все три медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 1:2.

Точка пересечения медиан является также центром тяжести треугольника. Если подвесить картонный треугольник в точке пересечения его медиан то он будет находиться в состоянии равновесия

Любопытно, что вcе шесть треугольников, на которые всякий треугольник разбивается своими медианами, имеют одинаковые площади.

Медианы треугольника через его стороны выражаются так:

 

,

,

.

 

Если две медианы перпендикулярны, то сумма квадратов сторон, на которые они опущены, в 5 раз больше квадрата третьей стороны.

Построим треугольник, стороны которого равны медианам данного треугольника, тогда медианы построенного треугольника будут равны 3/4 сторон первоначального треугольника.

Данный треугольник назовем первым, треугольник из его медиан - вторым, треугольник из медиан второго - третьим и т. д. Тогда треугольники с нечетными номерами (1,3, 5, 7,...) подобны между собой и треугольники с четными номерами (2, 4, 6, 8,...) также подобны между собой.

Сумма квадратов длин всех медиан треугольника равняется ¾ суммы квадратов длин его сторон.

Открытие немецкого математика Г. Лейбница

Знаменитый немецкий математик Г. Лейбниц обнаружил замечательный факт: сумма квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до вершин треугольника, лежащего в этой плоскости, равняется сумме квадратов расстояний от точки пересечения медиан до его вершин, сложенной с утроенным квадратом расстояния от точки пересечения медиан до выбранной точки.

Из этой теоремы следует, что точка на плоскости, для которой сумма квадратов расстояний до вершин данного треугольника является минимальной,- это точка пересечения медиан этого треугольника.

В то же время минимальная сумма расстояний до вершин треугольника (а не их квадратов) будет для точки, из которой каждая сторона треугольника видна под углом в 120°, если ни один из углов треугольника не больше 120° (точка Ферма), и для вершины тупого угла, если он больше 120°.

Из теоремы Лейбница и предыдущего утверждения легко найти расстояние d от точки пересечения медиан до центра описанной окружности. Действительно, это расстояние по теореме Лейбница равно корню квадратному из одной трети разности между суммой квадратов расстояний от центра описанной окружности до вершин треугольника и суммой

Квадратов расстояний от точки пересечения медиан до вершин треугольника. Получаем, что

 

.

 

Точка М пересечения медиан треугольника AВС является единственной точкой треугольника, для которой сумма векторов МА, MB и МС равна нулю. Координаты точки М (относительно произвольных осей) равны средним арифметическим соответствующих координат вершин треугольника. Из этих утверждений можно получить доказательство теоремы о медианах.