Урок по геометрии в 8 классе

Урок по геометрии в 8 классе

По теме «Центральные и вписанные углы»

· Какой угол называют центральным углом окружности?

Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

· Какой угол называют вписанным?

Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

· Как измеряется вписанный угол?

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

· Что является угловой мерой дуги окружности?

Если дуга окружности меньше полуокружности или является полуокружностью, то угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Градусной мерой дуги ACB является градусная мера центрального угла AOB:

 

Градусной мерой дуги BED является градусная мера центрального угла BOD (на рисунке выше), в данном случае это 180⁰, т.е. развернутый угол.

Градусная мера большей дуги окружности ACB рассчитывается по формуле: 360 градусов минус величина угла AOB. Пример: пусть угол AOB равен 90⁰, тогда градусная мера дуги ACB равна 360⁰ - 90⁰ = 270⁰.

                                                                         

Решение задачи №654(б,в). Два ученика представляют свое решение.

Б) Так как угол вписанный, то дуга, на которую он опирается, равна 60°. В сумме с известной дугой получаем: 30°+125°=155°. Таким образом, искомая дуга: 360°-155°=205°.

Ответ: 205°.

В) Известны градусные меры двух дуг, их сумма: 112°+180°=292°. Найдем дугу, на которую опирается вписанный угол: 360°-292°=68°, тогда по теореме градусная мера искомого угла: 34°

 

Задание: Найти величину угла АВС, если угол АОС равен 140°.

 

 

               

М

 

Решение.

Искомый угол АВС – вписанный, опирается на дугу АМС.

 Угол АОС-центральный, следовательно, дуга АВС равна 140°. Найдем величину дуги АМС: 360°-140°=220°.

По теореме угол АВС измеряется половиной дуги АМC, то есть равен 110°.

Ответ: 110°.

Рассмотрим задачу из учебника №656.

 

Хорда АВ стягивает дугу, равную 115°, а хорда АС - дугу в 43°. Найти угол ВАС.

Решение:

Необходимо рассмотреть два случая решения.

Й случай.

 

 

Угол ВАС-вписанный, опирается на дугу ВLC. Найдем дугу ВLC: 360°-(115°+43°)=360°-158°=202°.

По теореме угол ВАС измеряется половиной дуги ВLC, то есть равен 101°.

2-й случай.

 

 

Угол ВАС-вписанный, опирается на дугу ВC. Найдем величину дуги ВС: 115°- 43°=72°.

По теореме угол ВАС измеряется половиной дуги ВC, то есть равен 36°.

Ответ: 101° или 36°.

 

Ребята, ответьте на ряд вопросов:

Почему задача имеет два решения?

(Не указана последовательность расположения точек А, В, С на окружности)

Чем являются отрезки ОВ, ОС?

(Радиусами) Дайте определение радиуса.

Чем являются отрезки АВ, ВС?

(Хордами) Дайте определение хорды.

Чем являются прямые АВ, ВС?

(Секущими).

Можно ли провести прямую, которая будет иметь одну общую точку с окружностью? Как называется эта прямая?

 (Касательной).

Что вы знаете о свойстве касательной к окружности? (Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания)

 

Решение.

 

Рассмотрим треугольник АОВ. Так как АВ-касательная, то

Рассмотрим треугольник ВОD. ОВ и ОD-радиусы, тогда треугольник ВОD-равнобедренный (по определению). По свойству равнобедренного треугольника:

.

 

Ответ.

Следствие 1.  Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность,- прямой.

Решение задачи № 660.

Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32 °. Большая дуга окружности, заключённая между сторонами этого угла, равна 100 °. Найдите меньшую дугу.

Решение.

1) Проведём ВЕ

2) Т.к. ÐАВЕ – вписанный,

то ÐАВЕ = ÈАЕ = ×100° = 50°.

3) Т.к. ÐАВЕ – внешний угол DВЕС,

то ÐАВЕ = ÐВЕС + ÐBCD,

откуда ÐВЕС = ÐАВЕ - ÐBCD,

ÐВЕС = 50° – 32° = 18°.

4) Т.к. ÐВЕD = 18° – вписанный,

то ÐВЕD = ÈBD,

значит ÈBD = 2 ×ÐВЕD = 2 × 18° = 36°.

Ответ: È BD = 36 °.

Урок по геометрии в 8 классе