Применение знания таблицы умножения при решении задач.

Дата: 21.04.2020

Тема лекции: ПОРЯДОК ИЗУЧЕНИЯ ТАБЛИЦЫ УМНОЖЕНИЯ И ТАБЛИЧНОГО ДЕЛЕНИЯ. Деление с остатком.

При изучении таблицы умножения во II классе, как показывает опыт, целесообразно пользоваться следующими основными положениями. Таблица умножения изучается в порядке натурального ряда чисел: умножение числа 2, числа 3, числа 4 и т.д. Таблица умножения каждого числа располагается по постоянному множимому, это обеспечивает понимание умножения как сложения одинаковых слагаемых.

Наизусть и твердо усваивается только таблица умножения. Таблица деления специально не изучается и не заучивается. Результаты табличного деления ученик находит по таблице умножения. Например, 36 разделить на 4, будет 9, потому что, если 9 умножить на четыре, то получится 36.

С самого начала изучения таблицы умножения широко и последовательно используется переместительный закон умножения. Каждый пример из таблицы, допустим 3 x 8 = 24, может быть прочитан двояко: 3 умножить на 8, получится 24 и 8 умножить на 3, получится 24. Так ученики читают один и тот же пример на основании переместительного закона умножения. В каждом табличном примере первое число можно рассматривать как множимое и как множитель.

Таблица умножения каждого числа начинается с умножения этого числа на число, равное ему. Так, таблица умножения числа 4 начинается с умножения 4 х 4, потому что предыдущие случаи 4 х 2 и 4 х 3 уже усвоены, когда изучались таблицы умножения чисел 2 и 3

Табличное умножение и деление изучаются совместно: из каждого случая умножения вытекают два случая деления. Например:

а) 3 x 9 = 27.                            Отсюда 27: 3 = 9;                27: 9 = 3.

б) 4 x 8 = 32.                            Отсюда 32: 4 = 8;                32: 8 = 4.

Читая эти примеры, ученик рассуждает так: 3 раза взять по, 9, будет 27. Следовательно, если 27 разделить на 3, получится 9. Тот же пример можно прочитать так: 9 раз взять по 3, будет 27, Следовательно, 27 разделить на 9, получится 3.

Таким образом, результаты табличного деления всегда берутся из таблицы умножения.

Изучение таблицы умножения и табличного деления все время сопровождается решением задач, в которых эти действия находят практическое применение, что способствует твердому усвоению таблицы умножения и быстрому нахождению по этой таблице результатов, деления.

В примерах с отвлеченными числами виды деления не различают. Любой пример на деление вроде 56: 7 = 8 читают так: 56 разделить на 7, получим 8.

Но при решении задач в зависимости от их смысла, ученики должны различать виды деления, что находит свое выражение в рассуждениях, которыми сопровождается решение задачи.

Покажем практическое применение этих положений на примере, изучения таблицы умножения числа 4, которое может занять, примерно, 3—4 урока.

На первом уроке таблица умножения составляется, и проводятся первоначальные упражнения в ее усвоении. Примерный план этого урока.

1. Счет четверками в пределах 40. Этот счет идет сначала на наглядном пособии, например на классных счетах, а потом отвлеченно. Очень важно, чтобы ученики запомнили результаты этого счета, составляющие числовой ряд: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40 — и могли бы по памяти быстро и правильно воспроизвести числа этого ряда в прямом и обратном порядке.

Полезно поработать над этим числовым рядом, ставя перед учениками следующие вопросы:

1. Какое число составят 6 четверок? 7 четверок? 8 четверок? 9 четверок?

2. Сколько четверок надо взять, чтобы получить 20?  24?  28?  32?  36?   40?

3. Сколько раз надо взять по 4, чтобы получить 28?  36?   24?   32?

2. Запись счета четверками в виде таблицы умножения:

4x1=4 4x5=20 4x8=32
4x2=8 4x6=24 4x9=36
4x3=12 4x7=28 4x10=40
4 x 4= 16

Первая половина этой таблицы ученикам уже известна, и они записывают ее совершенно самостоятельно. К составлению и записи второй части таблицы можно подвести, учеников через сложение четверок:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24, или 4 х 6 = 24 и т. д.

3. Чтение таблицы, упражнения в ее запоминании. Составленная таблица читается хором и отдельными учениками, подряд и вразбивку, с открытыми результатами и закрытыми. Детям сразу дается установка на запоминание таблицы: «Таблицу нужно знать наизусть, твердо. Читая, старайтесь ее запомнить». При этом обращается внимание детей на способ набора четверок: четверки можно набирать по одной и группами. Например, чтобы набрать 6 четверок, можно взять 3 четверки и еще 3, или 5 четверок и еще одну четверку.

Ученики скорее и лучше запомнят таблицу, если усвоение ее будет опираться на различные восприятия и анализаторы: зрительные, слуховые, кинестезические (проговаривание), моторные.

Деление с остатком

Задачи изучения темы:

1) показать, что такой вид деления есть, т.е. раскрыть его смысл;

2) раскрыть способ деления, т.е. раскрыть вычислительный прием;

3) показать и подвести учащихся к выводу - остаток всегда меньше делителя.

Усвоению этого вида деления необходимо уделить серьезное внима­ние. Важность этого вида деления в том, что здесь происходит расшире­ние знаний о действии деления, а главное, идет подготовка детей к изу­чению деления многозначных чисел.

Прежде всего, необходимо показать детям, что такие случаи имеют место быть. Для этого подбирается жизненная ситуация, которую можно легко продемонстрировать, а затем описать ее математически.

Пример. Надо раздать 17 открыток трем ученикам поровну.

Для выполнения этой операции можно вызвать трех учеников и предложить одному из них раздать остальным 17 открыток поровну. Класс наблюдает за процессом деления: сначала всем раздается по одной открытке, затем еще по одной и т.д. В итоге учитель сообщает, что 1 некоторых случаях выполнить деление поровну нельзя. Этот вид деления называется делением с остатком. Записывается математически решение этой задачи так: 17: 3 = 5 (ост. 2).

Затем необходимо показать связь остатка и делителя, т.е. подвести детей к выводу, что остаток всегда меньше делителя. С этой целью можно и нужно рассмотреть различные упражнения. Хорошо при этом по­вторить с детьми ряды чисел, делящихся на 2, на 3, на 4 и т.д.

При раскрытии способа деления с остатком следует учесть, что здесь рассматриваются только такие случаи деления с остатком, которые сводятся к табличному делению. Как это сделать посмотрите в методике Бантовой М.А.

 

Домашнее задание:

Выполнить тест – 22 балла

Критерии оценивания:

Дата: 21.04.2020

Тема лекции: ПОРЯДОК ИЗУЧЕНИЯ ТАБЛИЦЫ УМНОЖЕНИЯ И ТАБЛИЧНОГО ДЕЛЕНИЯ. Деление с остатком.

При изучении таблицы умножения во II классе, как показывает опыт, целесообразно пользоваться следующими основными положениями. Таблица умножения изучается в порядке натурального ряда чисел: умножение числа 2, числа 3, числа 4 и т.д. Таблица умножения каждого числа располагается по постоянному множимому, это обеспечивает понимание умножения как сложения одинаковых слагаемых.

Наизусть и твердо усваивается только таблица умножения. Таблица деления специально не изучается и не заучивается. Результаты табличного деления ученик находит по таблице умножения. Например, 36 разделить на 4, будет 9, потому что, если 9 умножить на четыре, то получится 36.

С самого начала изучения таблицы умножения широко и последовательно используется переместительный закон умножения. Каждый пример из таблицы, допустим 3 x 8 = 24, может быть прочитан двояко: 3 умножить на 8, получится 24 и 8 умножить на 3, получится 24. Так ученики читают один и тот же пример на основании переместительного закона умножения. В каждом табличном примере первое число можно рассматривать как множимое и как множитель.

Таблица умножения каждого числа начинается с умножения этого числа на число, равное ему. Так, таблица умножения числа 4 начинается с умножения 4 х 4, потому что предыдущие случаи 4 х 2 и 4 х 3 уже усвоены, когда изучались таблицы умножения чисел 2 и 3

Табличное умножение и деление изучаются совместно: из каждого случая умножения вытекают два случая деления. Например:

а) 3 x 9 = 27.                            Отсюда 27: 3 = 9;                27: 9 = 3.

б) 4 x 8 = 32.                            Отсюда 32: 4 = 8;                32: 8 = 4.

Читая эти примеры, ученик рассуждает так: 3 раза взять по, 9, будет 27. Следовательно, если 27 разделить на 3, получится 9. Тот же пример можно прочитать так: 9 раз взять по 3, будет 27, Следовательно, 27 разделить на 9, получится 3.

Таким образом, результаты табличного деления всегда берутся из таблицы умножения.

Изучение таблицы умножения и табличного деления все время сопровождается решением задач, в которых эти действия находят практическое применение, что способствует твердому усвоению таблицы умножения и быстрому нахождению по этой таблице результатов, деления.

В примерах с отвлеченными числами виды деления не различают. Любой пример на деление вроде 56: 7 = 8 читают так: 56 разделить на 7, получим 8.

Но при решении задач в зависимости от их смысла, ученики должны различать виды деления, что находит свое выражение в рассуждениях, которыми сопровождается решение задачи.

Покажем практическое применение этих положений на примере, изучения таблицы умножения числа 4, которое может занять, примерно, 3—4 урока.

На первом уроке таблица умножения составляется, и проводятся первоначальные упражнения в ее усвоении. Примерный план этого урока.

1. Счет четверками в пределах 40. Этот счет идет сначала на наглядном пособии, например на классных счетах, а потом отвлеченно. Очень важно, чтобы ученики запомнили результаты этого счета, составляющие числовой ряд: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40 — и могли бы по памяти быстро и правильно воспроизвести числа этого ряда в прямом и обратном порядке.

Полезно поработать над этим числовым рядом, ставя перед учениками следующие вопросы:

1. Какое число составят 6 четверок? 7 четверок? 8 четверок? 9 четверок?

2. Сколько четверок надо взять, чтобы получить 20?  24?  28?  32?  36?   40?

3. Сколько раз надо взять по 4, чтобы получить 28?  36?   24?   32?

2. Запись счета четверками в виде таблицы умножения:

4x1=4 4x5=20 4x8=32
4x2=8 4x6=24 4x9=36
4x3=12 4x7=28 4x10=40
4 x 4= 16

Первая половина этой таблицы ученикам уже известна, и они записывают ее совершенно самостоятельно. К составлению и записи второй части таблицы можно подвести, учеников через сложение четверок:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24, или 4 х 6 = 24 и т. д.

3. Чтение таблицы, упражнения в ее запоминании. Составленная таблица читается хором и отдельными учениками, подряд и вразбивку, с открытыми результатами и закрытыми. Детям сразу дается установка на запоминание таблицы: «Таблицу нужно знать наизусть, твердо. Читая, старайтесь ее запомнить». При этом обращается внимание детей на способ набора четверок: четверки можно набирать по одной и группами. Например, чтобы набрать 6 четверок, можно взять 3 четверки и еще 3, или 5 четверок и еще одну четверку.

Ученики скорее и лучше запомнят таблицу, если усвоение ее будет опираться на различные восприятия и анализаторы: зрительные, слуховые, кинестезические (проговаривание), моторные.

Применение знания таблицы умножения при решении задач.

Детям предлагают преимущественно простые задачи на умножение:

1. В одном литре 4 стакана молока. Сколько стаканов молока в 6, 7, 8, 9, 10 литрах?

2. Для одной автомашины требуется 4 колеса. Сколько колес требуется для 5, 6, 7, 8, 9, 10 автомашин?

На втором уроке продолжаются упражнения в закреплении знания таблицы умножения числа 4 путем решения примеров и.задач на умножение. Кроме того, на этом уроке учитель знакомит детей с табличным делением, показывая им, как можно получить результат деления на 4, зная таблицу умножения четырех.

Для этого рассматривают каждый случай таблицы умножения и вытекающие из него два случая деления, например:

4х6=24 24:4=6 24:6=4
4 х 7 = 28                                                          28: 4 = 7                                                  28: 7=4

Каждый случай деления обосновывается следующим образом.

Возьмем пример: 4 х 7 = 28. Читаем этот пример так: по 7 взять 4 раза, получится 28. Значит, если 28 разделить на 4, получится 7.

Читаем этот же пример так, как он записан: по 4 взять 7 раз, получится 28. Значит, если 28 разделить на 7, получится 4.

Таким образом, из таблицы умножения числа 4 получаются две таблицы деления. Ни, одна из них не заучивается. Читая каждый пример этих таблиц, ученик поясняет, почему получается тот или иной результат. Например, 32 разделить на 4, будет 8, потому что 8 раз по 4 будет 32.

Полезны такие вопросы:

1. На какое число нужно умножить 4, чтобы получить 36, 28, 20, 24?

2. Сколько раз надо взять по 4, чтобы получить 36, 24, 16, 28, 40?

3. Какое число надо разделить на 4, чтобы получить 6, 8, 5, 7?

4. Какие числа надо перемножить, чтобы получить 24, 28, 32, 36?

На третьем уроке решаются задачи на умножение и обратные им задачи на деление. К каждой простой задаче на умножение составляются две обратные, задачи на деление:

1) задача, в которой по данному произведению двух чисел и множителю находится множимое (деление на равные части): 2) задача, в которой по данному произведению двух чисел и множимому находится множитель (деление по содержанию).

Приведем примеры таких задач:

1. На одно платье идет 4 м материи. Сколько метров материи пойдет на 6 таких платьев?
Решение: 4 м х 6 = 24 м.

2. Первая обратная задача: На 6 платьев пошло 24 м материи. Сколько метров материи пошло на одно платье?
Решение: 24 м: 6 = 4 м.

3. Вторая обратная задача: Из 24 м материи сшили несколько платьев, причем на каждое израсходовали по 4 м. Сколько сшили платьев?
Решение: 2 4 м: 4 м = 6. Ответ: 6 платьев.

На таких задачах углубляется понимание взаимосвязи умножения и деления, а также закрепляется знание табличного умножения и деления на 4.

Наряду с этим необходимо решать и составные задачи, требующие использования двух видов деления. Например:

1. Доярка подоила трех коров и от каждой надоила по 8 литров молока. Все это молоко она разлила в 4 одинаковых кувшина. Сколько литров молока вошло в каждый кувшин?

2. Ученик записал примеры в 2 столбика, по 6 примеров в каждый. Сколько получилось бы столбиков, если бы он записал по 4 примера в столбик?

В первой задаче применяется деление на равные части, во второй — деление по содержанию.

Когда все случаи табличного умножения и деления будут пройдены, полезно в целях повторения выписать все табличные результаты, большие 20, и поупражнять детей в подборе к каждому из них сомножителей и делителей:

21; 24; 25; 27; 28; 30;
32; 35; 36; 40; 42; 45; 48; 49; 50;
54; 56; 60; 64; 70; 72; 80; 81; 90.

При такой системе изучения табличного умножения и деления сокращаются сроки изучения этого раздела и устраняются многие трудности.

При изучении табличного умножения в пределах ста используются переместительный и распределительный законы умножения. Применение переместительного закона проиллюстрировано выше. Использование же распределительного закона поясним на примере умножения числа 6 (рис, 45).

рис. 40

Из рассмотрения этого рисунка видно, как происходит набор шестерок:

Затем включается 5-й ряд:

6 х 2 + 6 х 2 + 6 = 6 х 5 = 30

Полученное произведение (6 х 5 = 30) является опорным для последующих случаев таблицы:

6 х 5 + 6 = 6 х 6 = 36; 6 х 5 + 6 х 2 = 6 х 7 = 42
6 х 5 + 6 х 3 = 6 х 8 = 48; 6 х 5 + 6 х 4 = 6 х 9 = 54
6 х 5 + 6 х 5 = 6 х 10 = 60

При нахождении произведений 3 х 8, 7 х 8 и 9 х 8 множитель 8 можно разложить на 4 + 4; тогда 7 х 8 = 7 х 4 + 7 х 4 = 28 + 28 = 56,

Умножение любого однозначного числа на 9 можно свести к умножению на разность чисел 10 — 1. Равным образом умножение числа 9 на любое однозначное число сводится к умножению разности чисел 10 — 1 на данное число. Этот прием легко показать на классных счетах.

Табличное деление в пределах ста опирается, как было выше показано, на соответствующие случаи умножения.

При изучении табличного деления нет необходимости раскрывать свойства этого действия. Дело ограничивается установлением взаимосвязи между делением и умножением, различением двух видов деления и обобщением их в одно действие деления.

Внетабличное умножение и деление в пределах ста

 

К табличному умножению относятся все произведения двух однозначных сомножителей. Все остальные случаи умножения в пределах ста и все соответствующие случаи деления называются внетабличными. Изучение внетабличного умножения делят на три этапа: 1.умножение на однозначное число; 2.умножение на круглые десятки 3.умножение на двузначное число Такое расчленение учебного материала обусловлено применяемыми на каждом этапе вычислительными приемами. Порядок расположения различных случаев умножения на однозначное число, а также умножения на круглые десятки не имеет существенного значения. То же можно сказать и относительно умножения однозначного числа на двузначное, поскольку дело сводится в этом случае к умению умножать однозначное число на круглые числа и однозначное на однозначное, то есть к тому, что уже пройдено. Внетабличное деление на однозначное число целесообразно изучать совместно с внетабличным умножением. Например: 1) 23 х 3 = 69;                         69: 3 = 23; 2) 19 х 4 = 76;                         76: 4 = 19; 3) 16 х 5 = 80;                         80: 5 = 16. Первые примеры на каждый случай умножения и соответствующий случай делен ия полезно пояснить подробной записью вычислений, имеющих симметричный характер: 16 х 5 =?      80: 5 =? 10 х 5 = 50     50: 5 = 10 6 х 5 = 30   30: 5 = 6 50 + 30 = 80    10 + 6= 16 16 х 5 = 80   80: 5 = 16 Особо рассматриваются случаи умножения на круглые десятки (2 -40) и на двузначное число. При умножении на круглые десятки можно использовать либо распределительный, либо сочетательный закон умножения. Например: 1) 4 х 20 = 4 х (10 + 10) = 4 х 10 + 4 х 10 = 40 + 40 = 80. 2) 4 х 20 = 4 х (2 х 10) = (4 х 2) х 10 = 8 х 10 = 80. Второй прием, как показывают наблюдения, труден для учеников второго класса. Поэтому, применив вначале распределительный закон, в. дальнейшем лучше пользоваться перестановкой сомножителей (4 х 20 = 20 х 4), поскольку с умножением круглых десятков на однозначное число дети давно знакомы. При умножении на двузначное число сначала используется распределительный закон умножения, а в дальнейшем опять переместительный: 1) 3 х 26 = 3 х (20 + 6) = 3 х 20 + 3 х 6 = 60 + 18 = 78; 2) 3 х 26 = 26 х 3 = 20 х 3 + 6 х 3 = 60 + 18 = 78. В особую группу выносится деление на двузначное число. В этих случаях деление выгодно рассматривать как деление по содержанию. Например, при решении примера 81: 27 ставится вопрос: сколько раз нужно взять по 27, чтобы получить 81? Рассматривать случаи деления на двузначное число в сопоставлении с умножением нецелесообразно, во избежание незакономерного переноса распределительного закона на этот случай деления. При внетабличном делении на однозначное число следует давать задачи, к которым применимо деление не только на равные части, но и деление по содержанию. Например: 1. Сколько двухрублевых тетрадей можно купить на 50 оуб.? 2. Сколько парт должно стоять в классе, если в нем всего 38 учеников, а за каждой партой сидят по 2 ученика? Устно ради удобства вычислений числа 50 и 38 можно делить не по 2, а на 2 равные части. Однако решение задачи записывается по общему правилу — с наименованиями у делимого и делителя: 50 руб.: 2 руб. = 25. В другом случае, чтобы узнать, сколько стоит 1 м материи, если за 24 м заплатили 72 руб., удобнее мысленно делить не на равные части, а по содержанию, то есть делить 72 по 24, хотя запись решения отразит деление на равные части: 72 руб.: 24 = 3 руб. В обоих случаях надо напомнить детям то обобщение, к которому они пришли при изучении табличных действий: При одинаковых числах, будем ли мы делить на равные части или по содержанию, в ответе получится одно и то же число. Изучая второй десяток и сотню, дети постепенно, в связи с решением задач и усвоением вычислительных приемов, накапливают тот материал, который необходим для правильного понимания роли скобок, И знания, в каком порядке принято выполнять арифметические действия в сложном примере или числовой формуле. Обобщения по этим вопросам целесообразно сделать при изучении последующих концентров.

Деление с остатком

Задачи изучения темы:

1) показать, что такой вид деления есть, т.е. раскрыть его смысл;

2) раскрыть способ деления, т.е. раскрыть вычислительный прием;

3) показать и подвести учащихся к выводу - остаток всегда меньше делителя.

Усвоению этого вида деления необходимо уделить серьезное внима­ние. Важность этого вида деления в том, что здесь происходит расшире­ние знаний о действии деления, а главное, идет подготовка детей к изу­чению деления многозначных чисел.

Прежде всего, необходимо показать детям, что такие случаи имеют место быть. Для этого подбирается жизненная ситуация, которую можно легко продемонстрировать, а затем описать ее математически.

Пример. Надо раздать 17 открыток трем ученикам поровну.

Для выполнения этой операции можно вызвать трех учеников и предложить одному из них раздать остальным 17 открыток поровну. Класс наблюдает за процессом деления: сначала всем раздается по одной открытке, затем еще по одной и т.д. В итоге учитель сообщает, что 1 некоторых случаях выполнить деление поровну нельзя. Этот вид деления называется делением с остатком. Записывается математически решение этой задачи так: 17: 3 = 5 (ост. 2).

Затем необходимо показать связь остатка и делителя, т.е. подвести детей к выводу, что остаток всегда меньше делителя. С этой целью можно и нужно рассмотреть различные упражнения. Хорошо при этом по­вторить с детьми ряды чисел, делящихся на 2, на 3, на 4 и т.д.

При раскрытии способа деления с остатком следует учесть, что здесь рассматриваются только такие случаи деления с остатком, которые сводятся к табличному делению. Как это сделать посмотрите в методике Бантовой М.А.

 

Домашнее задание: