Построение кинетической кривой

 

Кинетические закономерности массообменных процессов записываются уравнением массопередачи в дифференциальной форме

G*dy = K_y*(y^* - y)*F,                                                      (45)

где K_y - коэффициент массопередачи, отнесенный к движущей силе;

  F - поверхность фазового контакта;

у* - концентрация в паровой фазе, равновесная с концентрацией в жидкой фазе.

Для интегрирования этого уравнения необходимо знать характер поля концентраций в аппарате. Большинство тарельчатых аппаратов по характеру поля концентраций может быть отнесено к аппаратам полного смешения по жидкости и полного вытеснения по пару.

Из уравнения (45) с учетом поля концентраций, существующих на тарелке, легко получить

 

ln (y^* - y_к)/ (y^* - y_н) = - К_у*F/G или (y^* - y_к)/ (y^* - y_н) = е^{- Ку*F/G}.

Тогда (y^* - y_к) = (y^* - y_н)* е^{- Ку*F/G}.                              (46)

Совокупность всех точек с координатами (у_к; х_к) в пределах изменения концентрации от x_W до x_P дает кривую линию, называемую кинетической кривой.

Построение кинетической кривой производят в следующей последовательности:

а) на диаграмму x - y наносят равновесную и рабочую (при оптимальном флегмовом числе) линии;

б) в пределах x_W - x_P.выбирают ряд значений х (обычно 7-8 значений);

в) для каждого выбранного значения х по уравнению (46) вычисляется величина (y^* - y_к). Необходимая для этого вычисления величина (y^* - y_н) определяется по диаграмме х - у как разность между равновесной и рабочей концентрациями для каждого выбранного значения х;

г) полученные отрезки откладываются от равновесной линии вниз;

д) полученные в результате проведенного построения точки соединяются плавной кривой, которая является кинетической кривой.

Коэффициент массопередачи К_у определяется по известному закону аддитивности фазовых сопротивлений

1/ К_у = 1/β_у + m/ β_х,                                                   (47)

где β_у - коэффициент массоотдачи в паровой фазе, отнесенный к рабочей площади тарелки;

β_х - коэффициент массоотдачи в жидкой фазе, отнесенный к рабочей площади тарелки;

m - угловой коэффициент равновесия.

Угловой коэффициент зависит от концентрации и является переменной величиной, которую необходимо вычислять для каждого выбранного значения х.

Коэффициенты массоотдачи β_у и β_х рассчитываются по критериальным уравнениям.

В качестве расчетных уравнений можно рекомендовать для паровой фазы

Nu^/_y = 0,79*Re_у + 11000.                                              (48)

Критерий Нуссельта диффузионный для паровой фазы определяют по уравнению

Nu^/_y = 22,4* β_у*l /D_y,                                                     (49)

где l – характерный линейный размер, м;

D_y – коэффициент диффузии в паровой фазе, м²/ч.

Критерий Рейнольдса для паровой фазы определяют по уравнению

Re_у = w*l*ρ_п /μ_п,                                                           (50)

где w – скорость пара в свободном сечении аппарата, м/с;

  ρ_п – плотность пара в колонне, кг/м³;

μ_п – вязкость пара в колонне, Па*с.

Для жидкой фазы можно применить зависимость:

Nu^/_х = 38000*(Pr^/_x)^0,62.                                                 (51)

Критерий Нуссельта диффузионный для жидкой фазы определяют по уравнению:

Nu^/_х = β_х*l*М_х /(D_х* ρ_ж),                                                (52)

где М_х – молекулярный вес жидкости, кг/кмоль;

  ρ_ж – плотность жидкости в колонне, кг/м³;

  D_х – коэффициент диффузии в жидкой фазе, м²/с.

Критерий Прандтля диффузионный для жидкой фазы определяется зависимостью:

Pr^/_x = 3600* μ_ж / (D_х* ρ_ж),                                             (53)

где μ_ж – динамическая вязкость жидкости в колонне, Па*с.

Вместо уравнений (48) и (51) возможно использование других формул, приводимых в литературе.

По таблице равновесия (см. таблицу 2) на диаграмме х - у строится линия равновесия и по уравнениям (25) и (33) наносятся рабочие линии при оптимальном флегмовом числе R = 0,6 (рисунок 6).

Определяются средние концентрации по жидкости и пару в колонне

х_ср = (х₁ + х₂)/2 = (0,738 + 0,274)/2 = 0,506;

у_ср = (у₁ + у₂)/2 = (0,87 + 0,406)/2 = 0,638.

На диаграмме t – х, у (см. рисунок 3) находятся температуры жидкости и пара.

Для жидкости при х_ср = 0,506, t_х = 99,5 ⁰С.

Для пара при у_ср = 0,638, t_у = 119 ⁰С.

Молекулярный вес смеси пара определим по формуле (37):

M_у = М₁*у_ср + М₂*(1 – у_ср) = 78*0,638 + 106*(1 – 0,638) = 88,136 кг/кмоль.

Молекулярный вес смеси жидкости определим по формуле (37):

M_х = М₁*х_ср + М₂*(1 – х_ср) = 78*0,506 + 106*(1 – 0,506) = 91,832 кг/кмоль.

Плотность пара определим по уравнению (36)

ρ_п = M_у*Р_к*Т₀/(22,4*Р₀*Т) = 88,136*1,1*273/(22,4*392) = 3,014 кг/м³.

Плотность жидкости определим по уравнению (42):

ρ_ж = ρ₁*х_ср + ρ₂*(1 – х_ср) = 790*0,506 + 812*(1 - 0,506) = 800,87 кг/м³,

где 790 кг/м³ – плотность бензола при t_х = 99,5 ⁰С;

812 кг/м³ – плотность о-ксилола при t_х = 99,5 ⁰С.

Динамическая вязкость пара при у_ср = 0,638, t_у = 119 ⁰С определяется по уравнению:

lg μ_п = y_ср*lg μ₁ + (1 - y_ср)* lg μ₂,                                (54)

где μ₁ и μ₂ – динамическая вязкость паров компонентов, Па*с.

Динамическая вязкость паров компонентов находится по формуле Сазерленда:

 μ = 4,23*10^-4*М^0,5*Р_кр^0,66*Т_кр^{- 0,167}*f₁,                          (55)

где М – молекулярная масса компонента, кг/кмоль;

Р_кр – критическое давление компонента, ат;

Т_кр – критическая температура компонента, К.

f₁ – температурная функция вязкости газа (см. таблицу 7).

 

Рисунок 6 – Кинетическая кривая и число действительных тарелок

 

Значения для расчета по формуле (55) представлены в таблице 6.

 

Таблица 6 - Значения для расчета по формуле (55)

Параметр	Бензол	О-ксилол
Ткр, К	562,4	632
Ркр, ат	48,6	36
М, кг/кмоль	78	106

 

Для нахождения константы f₁ используется методика Сазерленда:

Т ^* = 1,33*Т_пр.

Приведённое значение температуры для бензола

Т_пр = (Т₀ + t_у)/ Т_кр = (273 + 119)/562,4 = 0,697.

Т ^* = 1,33*Т_пр = 1,33*0,697 = 0,927.

Таблица 7 – Температурная функция вязкости газа

Т *	f1	Т *	f1	Т *	f1
0,3	0,1969	1,65	1,0174	4,0	2,0719
0,35	0,2252	1,7	1,0453	4,1	2,109
0,4	0,254	1,75	1,0729	4,2	2,1457
0,45	0,2834	1,8	1,0999	4,3	2,182
0,5	0,3134	1,85	1,1264	4,4	2,218
0,55	0,344	1,9	1,1529	4,5	2,2536
0,6	0,3751	1,95	1,179	4,6	2,2888
0,65	0,4066	2,0	1,2048	4,7	2,3237
0,7	0,4384	2,1	1,2558	4,8	2,3583
0,75	0,4704	2,2	1,3057	4,9	2,3926
0,8	0,502	2,3	1,3547	5,0	2,4264
0,85	0,5346	2,4	1,4028	6,0	2,751
0,9	0,5666	2,5	1,4501	7,0	3,053
0,95	0,5985	2,6	1,4962	8,0	3,337
1,0	0,6302	2,7	1,5417	9,0	3,607
1,05	0,6616	2,8	1,5861	10,0	3,866
1,1	0,6928	2,9	1,6298	20,0	6,063
1,15	0,7237	3,0	1,6728	30,0	7,88
1,2	0,7544	3,1	1,7154	40,0	9,48
1,25	0,7849	3,2	1,7573	50,0	10,958
1,3	0,8151	3,3	1,7983	60,0	12,324
1,35	0,8449	3,4	1,8388	70,0	13,615
1,4	0,8744	3,5	1,8789	80,0	14,839
1,45	0,9036	3,6	1,9186	90,0	16,01
1,5	0,9325	3,7	1,9576	100	17,137
1,55	0,9611	3,8	1,9962	200	26,8
1,6	0,9894	3,9	2,0343	400	41,9

 

Этому значению соответствует константа f₁ = 0,5838.

Тогда вязкость бензола при t_у = 119 ⁰С:

 μ _б = 4,23*10^-4*М^0,5*Р_кр^0,66*Т_кр^{- 0,167}*f₁ = 4,23*10^-4*78^0,5*48,6^0,66* 562,4^-0,167*0,5838 = 9,83*10^-3 мПа*с = 9,83*10^-6 Па*с

Для о-ксилола приведённое значение температуры

Т_пр = (Т₀ + t_у)/ Т_кр = (273 + 119)/632 = 0,62.

Т ^* = 1,33*Т_пр = 1,33*0,62 = 0,825.

Для этого значения константа f₁ = 0,5183.

Тогда вязкость о-ксилола при t_у = 119 ⁰С:

μ _ок = 4,23*10^-4*М^0,5*Р_кр^0,66*Т_кр^{- 0,167}*f₁ = 4,23*10^-4*106^0,5*36^0,66*  632^-0,167*0,5183 = 0,00834 мПа*с = 8,34*10^-6 Па*с.

Вязкость смеси паров в колонне по формуле (54):

lg μ_п = y_ср*lg μ₁ + (1 - y_ср)* lg μ₂ = 0,638*lg(9,83*10^-6) + (1 - 0,638)*lg(8,34*10^-6); μ_п = 9,26*10^-6 Па*с.

Динамическая вязкость смеси жидкости в колонне при х_ср = 0,506, t_х = 99,5 ⁰С по формуле (54):

lg μ_ж = х_ср*lg μ₁ + (1 - х_ср)* lg μ₂ = 0,506*lg(2,62*10^-4) + (1 – 0,506)*lg(3,45*10^-4); μ_ж = 3*10^-4 Па*с,

где 2,62*10^-4 – вязкость бензола при t_х = 99,5 ⁰С, Па*с;

3,45*10^-4 – вязкость о-ксилола при t_х = 99,5 ⁰С, Па*с.

Значение критерия Рейнольда для паровой фазы по формуле (50):

Re_у = w_ср*l*ρ_п /μ_п = 0,566*1,2*3,014/ 9,26*10^-6 = 221070.

 

Таблица 8 - Атомные объёмы при температуре кипения

Атом, связи, вещества	Атомный объём, см3/(г*атом)
Азот в первичных аминах	10,5
Азот во вторичных аминах	12,0
Бром	27,0
Водород	3,7
Йод	37,0
Кислород (двойные связи)	7,4
Кислород в простых и сложных метиловых эфирах	9,1
Кислород в простых и сложных этиловых эфирах	9,9
Кислород в простых и сложных высших эфирах	11,0
Кислород в кислотах	12,0
Кислород в соединениях с S, P, N	8,3
Кольцо трёхчленное	- 6,0
Кольцо четырёхчленное	- 8,5
Кольцо пятичленное	- 11,5
Кольцо шестичленное	- 15,0
Кольцо нафталиновое	- 30,0
Кольцо антраценовое	- 47,5
Кремний	32,0
Сера	25,6
Углерод	14,8
Фосфор	27,0
Фтор	8,7
Хлор в конечном положении	21,6
Хлор в среднем положении	24,6

 

Коэффициент диффузии для паровой фазы определяется по формуле:

D_y = 0,00155*Т_у^1,5*(1/М_нкк + 1/М_вкк)^0,5/(Р_к*(V^0,333_нкк + V^0,333_вкк)²), (56)

где М_нкк – молекулярный вес низкокипящего компонента, кг/кмоль;

М_вкк – молекулярный вес высококипящего компонента, кг/кмоль;

Р_к – давление в колонне, ат;

V_нкк – молекулярный объём низкокипящего компонента, см³/г;

V_вкк – молекулярный объём высококипящего компонента, см³/г.

Молекулярный объём низкокипящего компонента определяется по формуле:

V_нкк = (6* V_с + 6*V_н) – V_кол,                                              (57)

где V_с – атомный объём углерода, см³/(г*атом);

  V_н – атомный объём водорода, см³/(г*атом);

  V_кол – атомный объём кольца, см³/(г*атом).

Атомные объёмы при температуре кипения даны в таблице 8.

V_нкк = (6*14,8 + 6*3,7) – 15,0 = 96 см³/г.

Молекулярный объём высококипящего компонента определяется по формуле:

V_вкк = (6* V_с + 4*V_н) – V_кол + (2* V_с + 6* V_н).                       (58)

V_вкк = (6*14,8 + 4*3,7) – 15,0 + (2*14,8 + 6*3,7) = 140,4 см³/г.

Тогда коэффициент диффузии для паровой фазы:

D_y = 0,00155*(119 + 273)^1,5*(1/78 + 1/106)^0,5/(1,1*(96^0,333 + 140,4^0,333)² = 0,0171 м²/с.

Коэффициент массоотдачи для паровой фазы может быть вычислен при совместном решении уравнений (48) и (49):

β_у = D_y*(0,79*Re_y + 11000)/(22,4*l) = 0,0171*(0,79*221070 + 11000)/(22,4*1,2) = 118,1 кмоль/(м²*ч).

Коэффициент диффузии для жидкой фазы определяется по формуле:

D_х = 0,00278*(1/М_нкк + 1/М_вкк)^0,5/(В*(μ_ж)^0,5*(V^0,333_нкк + V^0,333_вкк)²), (59)

где В – эмпирический коэффициент (для не ассоциированных жидкостей В = 1);

μ_ж – вязкость жидкости, мПа*с.

D_х = 0,00278*(1/78 + 1/106)^0,5/(1*(0,3)^0,5*(96^0,333 + 140,4^0,333)²) = 7,95*10^-6 м²/с = 2,86*10^-2 м²/ч.

Тогда значение критерия Прандтля диффузионного для жидкости по формуле (53):

Pr^/_x = 3600* μ_ж / (D_х* ρ_ж) = 3600*3*10^-4/(7,95*10^-6*800,87) = 169,63.

Коэффициент массоотдачи в жидкой фазе определим при совместном решении уравнений (51) и (52):

β_х = 38000* ρ_ж* D_х*(Pr^/_x)^0,62/(l*М_х) = 38000*800,87*7,95*10^-6 *(169,63)^0,62/(1,2*91,832) = 52,95 кмоль/(м²*ч).

Для расчёта коэффициента распределения (равновесия) или углового коэффициента равновесия m применяется уравнение:

m = (y^* - y)/(x – x^*)                                                          (60)

Используя диаграмму х – у (см. рисунок 2) находим равновесные и рабочие концентрации в жидкости (х) и парах (у). По уравнению (60) находим коэффициент распределения m, а по уравнению (47) находим коэффициент массопередачи К_у. Полученные значения сведём в таблицу 9.

 

Таблица 9 – Изменение значений m и К_у в зависимости от концентраций

х	х*	у	у*	m	1/ Ку	Ку
0,1	0,035	0,125	0,37	3,77	0,0796	12,555
0,2	0,075	0,3	0,6	2,4	0,0538	18,59
0,3	0,126	0,45	0,725	1,58	0,0383	26,1
0,4	0,2	0,6	0,81	1,05	0,0283	35,34
0,5	0,326	0,76	0,87	0,632	0,0204	49,0
0,6	0,427	0,826	0,91	0,486	0,0176	56,7
0,7	0,515	0,865	0,945	0,432	0,0166	60,12
0,8	0,6	0,91	0,975	0,325	0,0146	68,47
0,9	0,71	0,94	0,98	0,211	0,0124	80,36

 

Находим число единиц переноса из уравнения:

n_OY = 22,4*Т_к*Р₀* К_у*φ/(3600*w_cр*Т₀*Р_к),                      (61)

где φ = f_т/f_к = 0,896/1,13 = 0,793.

Тогда при х = 0,1:

n_OY = 22,4*392*1*12,555*0,793/(3600*0,566*273*1,1) = 0,1429.

Находим величину 1 – Е = С_у = е^nOY                           (62)

С_у = е^0,1429 = 1,154.

Учитывая то, что точки А_i принадлежат рабочей линии, а точки С_i принадлежат равновесной линии, измеряют отрезок [А₁С₁] = 43 мм (при х = 0,1). Отрезок [В₁С₁] = [А₁С₁]/ С_у = 43/1,154 = 37 мм. Откладываем от точки С₁ вертикально вниз 37 мм и получаем точку В₁, принадлежащую кинетической кривой. Далее переходят к следующему значению х. Сведём полученные значения в таблицу 10.

 

Таблица 10 – Нахождение точек кинетической кривой

х	nOY	Су	[АiСi], мм	[ВiСi], мм
0,1	0,1429	1,154	43	37
0,2	0,2115	1,236	60	49
0,3	0,297	1,346	55	41
0,4	0,4021	1,495	41	27
0,5	0,5576	1,747	22	13
0,6	0,6452	1,906	16	8
0,7	0,6841	1,982	16	8
0,8	0,7792	2,18	14	6
0,9	0,9145	2,496	8	3

 

Соединим точки В_i и получим кинетическую кривую. Крайними точками кинетической кривой являются точки с координатами (х_W, y_W) и (x_P, y_P). Между рабочими линиями укрепляющей и исчерпывающей частей колонны и кинетической кривой строят действительные ступени изменения концентрации или действительные тарелки.

В укрепляющей части колонны 5 тарелок, а в исчерпывающей – 19 тарелок.

Итого рассчитанная ректификационная колонна содержит 24 действительных тарелок.

 

Расчет высоты колонны

 

Общая высота тарельчатой колонны включает три составляющих:

Н_общ = Н_т + Н_с + Н_к,                                                      (63)

где Н_т – высота тарельчатой части, м;

Н_с – высота сепарационной части, м;

Н_к – высота кубовой части, м.

Высоту тарельчатой части найдём по уравнению:

Н_т = N*(h_т  + δ_т),                                                            (64)

где N – число действительных тарелок;

h_т – расстояние между тарелками, м;

δ_т – толщина тарелки, м.

Примем δ_т = 0,006 м, а h_т = 0,4 м, тогда

Н_т = 24*(0,4 + 0,006) = 9,74 м.

Общая высота колонны с учетом того, что сепарационная и кубовая часть принимаются по 2 м:

Н_общ = 9,74 + 2 + 2 = 13,74 м.