Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2020-06-05 | 207 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА
Задача о площади криволинейной трапеции
Рассмотрим промежуток и заданную на нем непрерывную неотрицательную функцию . Фигура, ограниченная прямыми и кривой называется криволинейной трапецией (рис. 1).
Будем решать задачу о вычислении площади криволинейной трапеции.
Для этого разобьем отрезок на части точками :
.
Проведем прямые . Тогда наша криволинейная трапеция будет представлять собой сумму узких «криволинейных полосок» (каждая k -я полоска ограничена линиями ). Обозначим площадь криволинейной трапеции через , а площадь каждой k -ой полоски через . Получим
Площадь каждой полоски приближенно равна площади прямоугольника с основанием и высотой , где – произвольно выбранная точка из промежутка (рис. 2). Это приближенное равенство тем ближе к точному равенству, чем уже ширина полоски .
Таким образом
(1)
Введем понятие ранга дробления. Среди всех значений выберем наибольшее, обозначим его через и назовем рангом дробления, так что
.
Можно показать, что в силу непрерывности функции при приближенное равенство (1) переходит в точное равенство
(2)
Более того, величина в этом случае не зависит от выбора точек , , .
К необходимости изучать пределы вида (2) приводят многие задачи геометрии, механики, физики. Пределы вида (2) обобщены с помощью понятия определенного интеграла.
Свойства определенного интеграла, выражаемые неравенствами
Теорема 4. Пусть , функции и интегрируемы на промежутке и при всех справедливо неравенство
. (11)
|
Тогда
(12)
Доказательство. Рассмотрим разность интересующих нас интегралов как интеграл разности данных функций. В силу (9)
Последний интеграл запишем по формуле (4), т.е. следуя определению определённого интеграла. Тогда получим
Здесь все парные произведения интегральной суммы неотрицательны. Действительно, по условию (11) при всех , а при всех , поскольку .
Значит и сама интегральная сумма неотрицательна. Тогда по теореме о предельном переходе в неравенстве неотрицателен и ее предел. Таким образом, получаем:
Теорема доказана.
Следствие. Пусть , функция интегрируема на промежутке и при всех справедливо неравенство . Тогда .
Теорема 5. Если функция интегрируема на промежутке , то функция также интегрируема на промежутке и при справедливо неравенство
(13)
Доказательство. Проведем его только для непрерывных функций. Заметим, что
(14)
для всех . К цепочке неравенств (14) применим теорему 4. Получим
,
Что равносильно неравенству (13).
Теорема о среднем значении
Теорема 6. Пусть функции и непрерывны на промежутке и пусть функция не меняет знака на этом промежутке. Тогда найдется такая точка , что справедливо равенство
(15)
Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что , а при . Рассмотрим два случая.
1). Пусть при всех . Тогда равенство (15) выполнено очевидным образом.
2). Пусть не является тождественно равной нулю. Тогда в силу непрерывности функции можем утверждать, что
Поскольку функция непрерывна на замкнутом промежутке , то она достигает на этом промежутке своего наибольшего значения и своего наименьшего значения , т.е. при всех справедливы неравенства
. (16)
Домножим неравенства (16) на положительные значения функции и получим справедливые при всех неравенства
|
(17)
К цепочке неравенств (17) применим теорему 4 и получим справедливые неравенства
(18)
Разделим все части цепочки неравенств (18) на положительное число . Получим
Поскольку непрерывная функция принимает на промежутке все значения между своим наибольшим и наименьшим , существует такая точка , что
Отсюда следует, что
Таким образом, теорема 6 доказана.
Следствие. Если функция непрерывна на промежутке , то можно указать такое значение , что
(19)
Доказательство. Будем считать при . Тогда согласно теореме 6 найдется такая точка , что
В случае, когда при всех , формула (19) имеет простой геометрический смысл. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную линиями . Согласно равенству(19) площадь этой криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием и высотой (рис. 4).
Теорема Барроу
Рассмотрим определенный интеграл с переменным верхним пределом
(20)
Здесь – число, – переменная. Таким образом, является функцией верхнего предела .
В силу геометрического смысла определённого интеграла, если , , то величина является площадью криволинейной трапеции, ограниченной справа прямой . Т.к. – переменная, то и интеграл (20) изображает трапецию с переменной площадью (рис. 5).
Справедливо следующее важное утверждение.
Теорема Барроу. Если функция непрерывна, то
т.е. производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в точке дифференцирования.
Доказательство. По определению производной
,
где
. (21)
Во втором слагаемом правой части (21) поменяем пределы интегрирования по формуле (6) и на основании теоремы 3 получим:
Величина является площадью заштрихованной криволинейной трапеции (рис. 5). Поскольку функция непрерывна, по теореме 6 о среднем значении найдется такая точка , для которой справедливо
Тогда
Теорема доказана.
Приведем примеры применения теоремы Барроу.
Пример 6.1.
Следствие. Любая непрерывная на промежутке функция имеет на этом промежутке первообразную.
Действительно, если – непрерывна, то существует . Но по теореме Барроу , т.е. – первообразная для . Таким образом, – первообразная для .
|
Замечание. Первообразная непрерывной функции не всегда может быть выражена в терминах элементарных функций.
Замечания.
1. При решении задач обычно пользуются компактной формой (28), а не развернутой формой (27).
2. Типы функций, которые следует интегрировать по частям, такие же, как и в случае вычисления неопределенного интеграла.
3. Форма записи решения такая же, как и в случае неопределенного интеграла.
Приведем примеры.
Пример 8.1. Вычислить .
Положим . Получим . Тогда
.
Пример 8.2. Вычислить .
Положим . Получим . Тогда
Несобственные интегралы
Расширим понятие определенного интеграла.
1.10.1. Несобственный интеграл по бесконечному промежутку
Пусть функция определена при всех и интегрируема на каждом конечном промежутке . Рассмотрим предел
(31)
Его называют интегралом функции в пределах от до или несобственным интегралом II рода и обозначают символом
. (32)
Таким образом,
Если предел (31) существует и конечен, то говорят, что интеграл (32) существует или сходится. Функцию при этом называют интегрируемой на промежутке . Если же рассматриваемый предел (31) не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл (32) не существует или расходится.
Пример 10.1.
.
Пример 10.2.
.
Пример 10.3.
.
Таким образом, несобственный интеграл расходится.
Пусть теперь функция определена на промежутке и интегрируема на любом конечном промежутке . Несобственным интегралом II рода или интегралом функции в пределах от до называется
. (33)
Этот интеграл обозначается следующим образом
. (34)
Таким образом,
Если предел (33) существует и конечен, то говорят, что интеграл (34) существует или сходится. Функцию при этом называют интегрируемой на промежутке . В противном случае говорят, что несобственный интеграл (34) не существует или расходится.
Пусть функция определена на всей числовой оси и интегрируема на каждом промежутке .
Тогда будем говорить, что функция интегрируема на всей числовой оси и
|
, (35)
где – любое число, если оба интеграла в правой части (35) сходятся.
1.10.2. Несобственный интеграл от неограниченной функции
Рассмотрим теперь конечный промежуток , на котором функция не ограничена.
Пусть функция задана, ограничена и интегрируема на любом отрезке , но в точке функция является бесконечно большой, т.е. .
Рассмотрим предел
. (36)
Этот предел называется несобственным интегралом функции от до , или несобственным интегралом I рода, и обозначается как обычно:
. (37)
Если предел (36) существует и конечен, то говорят, что интеграл (37) существует, или сходится, а функция интегрируема на промежутке . Если предел (36) бесконечен или не существует, то говорят, что интеграл (37) не существует, или расходится.
Пример 10.5.
.
Пример 10.6.
.
Пусть теперь функция задана, ограничена и интегрируема на любом отрезке , но в точке функция является бесконечно большой, т.е. . Тогда несобственный интеграл функции в пределах от до определяется равенством
(38)
Если предел, стоящий в правой части (38) существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл существует или сходится, а функция интегрируема на промежутке . Если же предел бесконечен или не существует, то говорят, что интеграл не существует или расходится.
Пример 10.7.
Таким образом, рассматриваемый интеграл расходится.
Теперь рассмотрим случай, когда функция определена, ограничена и интегрируема в промежутках и , и является бесконечно большой в точке , т.е. . Тогда несобственный интеграл функции в пределах от до определяется равенством
(39)
Если оба предела в правой части (39) существуют и конечны при стремлении к нулю и произвольно и независимо друг от друга, то несобственный интеграл сходится. В противном случае он расходится. Сравнивая (36), (38) и (39), видим, что справедливо равенство
. (40)
Несобственный интеграл в левой части (40) сходится, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части. Если хотя бы один из интегралов справа расходится, то расходится и исходный интеграл слева.
Пример 10.11. Вычислить несобственный интеграл
или доказать его расходимость.
Решение. Подынтегральная функция стремится к при стремлении переменной к нулю справа. Согласно определению
.
Применим метод интегрирования по частям, выбрав , и вычислим
Вычисляя предел полученного выражения, воспользуемся правилом Лопиталя. Тогда
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА
|
|
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!