Композиции осевых симметрий пространства

Задача 9. Композиция трех осевых симметрий пространства является осевой симметрией: S_c ◦ S_b ◦ S_a = S_l. Какое взаимное положение могут иметь прямые a, b, c? Построить ось l этой композиции в каждом из возможных случаев.

Решение. Равенству S_c ◦ S_b ◦ S_a = S_l эквивалентно равенство 

                            S_c◦S_b=S_l◦S_a .                                                (*)

Если прямые b и c параллельны, то S_c ◦ S_b = . Тогда и правая часть равенства (*) является переносом: S_l ◦ S_a = . А значит прямые a и l также будут параллельными.

Таким образом, получили, что, если прямые b, c параллельны, то все оси a, b, c и l попарно параллельны (рис. 9а).

Рис. 9а                                                     Рис. 9б 

Если прямые b и c пересекаются в точке O, то композиция S_c ◦ S_b является поворотом R_h ^j (см. [3], c. 15), где h – перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые b и c, при этом точка O принадлежит оси h, угол j = 2 Ð (b, c)(рис. 9б). Тогда и композиция S_l ◦ S_a является этим же поворотом R_h ^j, значит h – перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые a и l, точка пересечения A которых принадлежит оси h, и ориентированный угол между a и l равен углу поворота j.     

Таким образом, если оси b и c пересекаются, то прямая a параллельна плоскости, проходящей через b и c, пересекается с перпендикуляром h к этой плоскости, восстановленным в точке пересечения прямых b и c. Ось l удовлетворяет следующим условиям:точка пересечения A прямых a и h принадлежит l, l параллельна плоскости (b, c), ориентированные углы Ð (a, l) = Ð (b, c). Если точка A принадлежит прямой a, то точки A и O совпадают, т.е. ось l также походит через точку A.

Если прямые b и c скрещиваются, то композиция S_c ◦ S_b является винтовым движением R_h ^{2 j} ◦ , ось h которого есть общий перпендикуляр к прямым b и c, вектор  коллинеарен оси h, угол j равен ориентированному углу между прямыми b и c (рис. 9в). В силу равенства (*) композиция S_l ◦ S_a является этим же самым винтовым движением: S_l ◦ S_a = R_h ^{2 j} ◦ , то есть h – общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым a и l, и угол Ð (a, l) = j.

                                         Рис. 9в

Таким образом, если оси b и c - скрещивающиеся, то прямые a, b и c попарно скрещиваются и имеют общий перпендикуляр h. Ось l удовлетворяет следующим условиям: l и h - перпендикулярные прямые, расстояния между прямыми b, c и a, l равны, и углы между этими осями также равны.

Обобщая все рассмотренные случаи, получаем, что композиция трех осевых симметрий является осевой симметрией, если исходные оси либо попарно параллельны, либо попарно скрещиваются и имеют общий перпендикуляр, либо лежат в параллельных плоскостях по две, пересекаются, и прямая, проведенная через точки пересечения, является для осей общим перпендикуляром.   

Задача 10.  Композиция трех осевых симметрий есть перенос: S_c ◦ S_b ◦ S_a = . Каково взаимное положение их осей?

Решение. Если прямые b и c параллельны, то композиция S_c ◦ S_b является переносом . Тогда ◦ S_a = , полученное равенство эквивалентно равенству S_a = ◦   или S_a =  (этот факт легко доказывается по аналогии с композицией переносов в планиметрии, см. [2], с. 308). Это равенство противоречиво, а значит композиция S_c ◦ S_b ◦ S_a при параллельных b и c не может быть переносом.    

    Если прямые b и c пересекаются в точке O, то композиция S_c ◦ S_b является поворотом R_h ^j, где h – перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые b и c, при этом точка O принадлежит оси поворота h, и угол j =2 Ð (b, c). Тогда исходная композиция S_c ◦ S_b ◦ S_a =  будет эквивалентна следующей композиции R_h ^j ◦ S_a = . Такое возможно только, если поворот R_h ^j является осевой симметрией пространства, т.е. угол j = ± p, при чем оси симметрий a и h параллельны, и расстояние между ними равно . В силу этих рассуждений, получили, что ось a перпендикулярна плоскости (b, c), а прямые b и c перпендикулярны между собой.

Таким образом, при пересекающихся осях b и c для выполнения исходного равенства необходимо, чтобы прямые a, b и c были попарно перпендикулярными.

Если b и c скрещиваются, то композиция S_c ◦ S_b является винтовым движением R_h ^j ◦ , где h – общий перпендикуляр прямых b и c, угол j =2 Ð (b, c), = (рис. 10).

                                            Рис. 10                                                         

Следовательно, S_c ◦ S_b ◦ S_a =   эквивалентно равенству R_h ^j ◦ = ◦ S_a. А это возможно, если угол j = ± p, и прямые a и h параллельны, иначе говоря прямая a перпендикулярна b и c. Т.е. исходное равенство при скрещивающихся прямых b и c возможно, если все три оси взаимно перпендикулярны.

Таким образом, композиция трех осевых симметрий пространства есть перенос, если оси этих симметрий попарно перпендикулярны.