Применение композиций движений пространства к решению задач

 

Аппарат движений пространства, а в частности композиции движений пространства, можно эффективно применять для решения геометрических задач.

 

Задача 11. Докажите, что биссектрисы двух плоских углов трехгранного угла DABC и биссектриса угла, смежного с третьим плоским углом, лежат в одной плоскости.

Решение. Пусть DE, DF – биссектрисы плоских углов   ADB и BDC, DH – биссектриса угла, смежного с углом ADC, т.е. Ð DAE = Ð EDC, Ð BDF = Ð FDC, Ð CDH = Ð HDK (рис.11).

 

			D		K				H
A
								C
E						F
			B

                                      Рис. 11

 

Рассмотрим композицию f трех осевых симметрий: f = S_DH ◦ S_DF ◦ S_DE. Движение f – это движение первого рода, как композиция движений первого рода. К тому же композиция S_DH ◦ S_DF ◦ S_DE отображает прямую AK на себя, точка D при этом неподвижна. Следовательно, рассматриваемая композиция есть осевая симметрия.

Воспользовавшись выводами, полученными в задаче 8 для случая с пересекающимися осями симметрий, можно сказать, что прямые DE, DF и DH лежат в одной плоскости.

 

Задача 12. Через вершину D прямого трехгранного угла DABC внутри его проведен луч DO. Доказать, что выполняется неравенство:

                Ð (DO, DA)+ Ð (DO, DB)+ Ð (DO, DC) < 180 °.

Решение. Обозначим через DE, DF и DH лучи, симметричные лучу DO относительно прямых DA, DB и DC соответственно (рис. 12). Поскольку трехгранный угол DABC – прямой, то прямые DB и DC перпендикулярны, и S_DC ◦ S_DB = S_DA (как композиция двух поворотов). Рассмотрим образ луча DF после применения симметрии S_DA:

S_DA (DF)=(S_DC ◦ S_DB)(DF)= S_DC (DO)= DH, кроме того S_DA (DO)= DE.

Следовательно, Ð (DO, DF)= Ð (DE, DH). Аналогично можно доказать, что Ð (DO, DE)= Ð (DF, DH)  и Ð (DO, DH)= Ð (DE, DF).

D

H

E

C

A

O

B

F

                                         Рис. 12

 

Оценим искомую сумму углов, учитывая полученные равенства:

              Ð (DO, DA)+ Ð (DO, DB)+ Ð (DO, DC) =

= Ð (DO,DE) + Ð (DO,DF) + Ð (DO,DH) = ( Ð (DF,DH) + Ð (DE,DH) +

+ Ð (DE,DF) ). Лучи DE, DF и DH являются ребрами трехгранного угла DEFH, а значит сумма   Ð (DF, DH)+ Ð (DE, DH)+ Ð (DE, DF) <360 °.

Таким образом, Ð (DO, DA)+ Ð (DO, DB)+ Ð (DO, DC) < 180 °.  

 

 

§ 2. Композиции подобий и аффинных преобразований пространства

Среди преобразований пространства выделяют также преобразования, не сохраняющие расстояния между точками, - это подобия, гомотетии как частный случай подобий, и аффинные преобразования.

 

Задача 13. Найти композицию гомотетии и переноса пространства: ◦ H_O^k.

Решение. Рассмотрим образ произвольной точки X после применения искомой композиции. Пусть X ₁ – образ X после применения H_O^k: H_O^k (X)= X ₁, а точка X ₂ – образ X ₁ после применения переноса: (X ₁)= X ₂. Через центр гомотетии O проведем прямую n параллельную прямой, содержащую вектор  (рис. 13).

 

n

S1

S

O

X

X1

X 2

                                           Рис. 13

 

 Найдем образ точки пересечения построенной прямой n и прямой XX ₂ при гомотетии H_O^k: H_O^k (S)= S ₁. Тогда = , поэтому точка S при заданной композиции неподвижна, кроме того, не зависит от выбора точки X. С учетом того, что = k , = k (т.к. треугольники SOX и X ₁ XX ₂ подобны), искомая композиция является гомотетией H_S^k.

Таким образом, ◦ H_O^k = H_S^k.                                                (4)

 

Задача 14. Найти композицию двух гомотетий пространства.

Решение. Рассмотрим образ произвольной точки X после применения композиции гомотетий f = H_B^m ◦ H_A^k. Пусть H_A^k(X)= X ₁, т.е. по определению гомотетии = k ,   H_B^m (X ₁)= X ₂, т.е. = m  (рис.14). Найдем образ точки A после применения гомотетии H_B^m: H_B^m (A)= A ₁, т.е. = m . Таким образом, отрезок A ₁ X ₂ – это образ отрезка AX после применения данной композиции, при этом прямые, содержащие эти отрезки параллельны (это следует из подобия треугольников ABX ₁ и A ₁ BX ₂). Если прямые AA ₁ и XX ₂ пересекаются (обозначим точку их пересечения C), тогда, рассматривая подобные треугольники ACX и A ₁ CX ₂ , выразим вектор :

= = , при этом = m = km .

				X2
							A1
			C
					B
A
	X
				X1

                                        Рис. 14

 

Следовательно, = km . Точка C не зависит от выбора точки X, значит композиция f является гомотетией с центром в C:

                                    H_B^m ◦ H_A^k = H_C^km.                               (5) 

 Если прямые AA ₁ и XX ₂ не пересекаются, т.е. = , то km =1, следовательно, композиция f есть перенос пространства:

                                  H_B^m ◦ H_A^k = .                                  (6)

Все эти рассуждения верны и для совпадающих центров исходных гомотетий.

 

Задача 15. Найти композицию двух подобий пространства.

Решение. Так как любое подобие пространства можно представить в виде композиции поворота и гомотетии, центр которой лежит на оси поворота, то, учитывая ассоциативность этого представления, будем находить требующуюся композицию в следующем виде: f = H_B^m ◦ R_h ^b ◦ R_l ^a ◦ H_A^k.

Рассмотрим несколько случаев.

1)Если оси поворотов h и l параллельны, и при этом сумма углов не равна 2 p, то композиция поворотов является поворотом R_n ^{a + b}, где ось n параллельна исходным осям h, l. Тогда f = H_B^m ◦ R_n ^{a + b} ◦ H_A^k, при этом композиция R_n ^{a + b} ◦ H_A^k является по определению подобием, а значит, эта композиция может быть представлена в виде H_D^k ◦ R_p ^{a + b}. И равенство f = H_B^m ◦ R_n ^{a + b} ◦ H_A^k эквивалентно равенству f = H_B^m ◦ H_D^k ◦ R_p ^{a + b}. По формуле (5) H_B^m ◦ H_D^k = H_C^km (при km ¹ 1), значит f = H_C^km ◦ R_p ^{a + b}, а это по определению подобие. При km = 1 по формуле (6) H_B^m ◦ H_D^k = , и f = ◦ R_p ^{a + b}, а это, в общем случае, винтовое движение.

 2)Если же при параллельных осях данных поворотов h и l сумма углов равна 2 p, то композиция поворотов R_h ^b ◦ R_l ^a является переносом пространства , и в этом случае f = H_B^m ◦ ◦ H_A^k. Композиция ◦ H_A^k согласно выводу (4)есть гомотетия с центром в некоторой точке C с коэффициентом k: ◦ H_A^k = H _С ^k. Следовательно, f = H_B^m ◦ H _С ^k, а это гомотетия пространства (согласно формуле (5)) или параллельный перенос пространства (по (6)).

3)Если прямые h и l пересекаются, то композиция поворотов R_h ^b ◦ R_l ^a является поворотом R_n ^w. И нахождение композиции f сводится к случаю 1.

4)Если оси h и l скрещиваются, то композиция поворотов R_h ^b ◦ R_l ^a является винтовым движением, следовательно, композиция R_h ^b ◦ R_l ^a ◦ H_A^k является подобием пространства, которое можно представить композицией поворота и гомотетии: R_h ^b ◦ R_l ^a ◦ H_A^k = R_n ^w ◦ H _С ⁿ. Тогда нахождение f сводится к случаю 1.

Таким образом, композиция двух подобий пространства, произведение коэффициентов которых не равно 1, есть подобие пространства или гомотетия (в случае параллельных осей поворотов и сумме их углов 2 p), в тривиальном случае, когда произведение коэффициентов исходных подобий равно 1, эта композиция может вырождаться в винтовое движение пространства или перенос.

 

Аналогичная ситуация обстоит и с композицией аффинных преобразований пространства, т.е. в общем случае композиция двух аффинных преобразований пространства также является аффинным преобразованием.

 

Литература

1. Гусев В. А., Тхамафокова С. Т. Преобразования пространства. Москва: «Просвещение», 1979.

2. Понарин Я. П. Геометрия: Учебное пособие. Ростов-на-Дону: «Феникс», 1997.

3.  Понарин Я. П. Преобразования пространства. Киров: 2000.  

4. Скопец З. А. Геометрические миниатюры. Москва: «Просвещение», 1990.