Стратегия развития франчайзинговой системы

После определения оптимальных параметров функционирования отдельных франчайзинговых предприятий можно перейти к рассмотрению франчайзинговой системы в целом.

Предположим, что весь рынок разбит на N территориальных участков, на каждом из которых может работать не более одного предприятия (собственного или франчайзингового) данной системы. I^c_n(t) — индикаторная функция, которая равна единице, если в момент времени t на n-ом участке функционирует собственное предприятие франчайзера, в других случаях эта функция равна нулю; I^Ф_n(t) — индикаторная функция, которая равна единице, если в момент t на n-ом участке работает франчайзинговое предприятие этой системы, иначе она равна нулю.

Пусть p^С_n(t) и p^Ф_n(t) — оптимальные размеры прибыли, которую может получить на n-ом участке в момент t собственное предприятие, и дохода франчайзингового предприятия соответственно, а r — оптимальное роялти. Эти величины определяются способами, описанными в предыдущих разделах.

Функции a(t) и w(t) определяют расходы на рекламу и исследования.

L(t) — долг франчайзера, r₁ — процент по нему; D(t) — ликвидные средства франчайзера, а g — их доходность.

Пусть r(t) и q(t) — вероятности проверок и обмана соответственно, H₁ и H₂ — средние величины обмана и штрафа за вскрытый факт обмана; M — средняя стоимость мониторинга одной точки.

Параметры r₁, g, H₁, H₂ и M определяются вне модели.

Тогда, считая время дискретным, прибыль франчайзера в период t

 

(1)

 

где , функция Q(A_t,W_t) отражает влияние рекламы и исследований на размер прибыли элементов сети, а p_Tr — прибыль от изменения структуры франчайзинговой системы

 

(2)

 

где Z_n и E_n — невозвращаемые затраты при создании собственного и франчайзингового (с учетом вступительного взноса) предприятия, определяемые вне модели, P^s_n(t), P^B_n(t) — прибыль от продажи, покупки предприятия, а S_n, B_n, N^c_n, N^ф_n, L^c_n, L^ф_n — индикаторные функции, равные либо нулю, либо единице, отражающие продажу собственной точки во франчайзинг, выкуп франчайзы, создание новой собственной и франчайзинговой точек, ликвидацию собственной и франчайзинговой точек на n-ом участке. Так как цена предприятия равна сумме прибыли, которую может получить франчайзи за оставшееся время, и ликвидационной стоимости, то прибыль франчайзера от сделок (T — горизонт планирования)

(3)

 

Индикаторные функции выражаются из системы

 

(4)

 

Частота проверок, проводимых франчайзером, определяется из условия

 

u_p = r (qH₂ – M) – (1 –r) qH₁ ® max,r

 

а вероятность обмана франчайзи из условия

 

u_{a = –} rqH₂ + (1 – r) qH₁ ® max. q

 

Равновесие в этой игре достигается при

 

 

Интересно, что вероятность проверки r зависит только от отношения штрафа к величине обнаруженного проверкой обмана, которое определяется во франчайзинговом договоре, и не зависит от средней величины обманов. Предположим, что в договоре это отношение равно единице, тогда в (1) выражение в скобках во второй сумме равно u_p = –M/2. Тогда выражение (1) примет вид

 

(5)

 

Если D(t) – разность между получаемыми кредитами и возвратом долга, то задолженность изменяется по закону:

 

(6) L(t) = (1 + r₁) L(t-1) + D(t).

 

Считая, что франчайзер не дает деньги в долг, добавляем условие

 

(7) L ³ 0.

 

Баланс денежных потоков имеет следующий вид:

 

(8)

 

где X^C_n(t) и C_n(t) — доход и затраты собственного предприятия франчайзера, вычисляемые из приведенной в предыдущем разделе задачи оптимизации для конкретной собственной точки, а P^L_n — ликвидационная стоимость предприятия в конечный момент времени T.

Собственный капитал франчайзера

(9) K(t)=K(0)+ .

 

Возможные планы франчайзера ограничиваются требованиями ликвидности и достаточности собственного капитала

 

(10) ,

 

где k_l» 0,2 — нормативный коэффициент ликвидности, а k_a » 0,6 — нормативный коэффициент автономии.

Франчайзер решает задачу максимизации своей прибыли, то есть, фактически, задачу:

 

(11) K(Y, T) ® max,Y

 

где Y — набор переменных задачи (2) – (11), определяющий возможную стратегию развития франчайзинговой системы. Y*(T) = arg max K(Y, T) — оптимальная стратегия.

Из условий (2) – (9) все переменные, определяющие собственный капитал франчайзера в конечный момент времени, выражаются через I^c_n(t), I^ф_n(t), L(t), D(t), a(t) и w(t), где t = 1,...,T, и задача (11) решается при условиях (7), (10) и

 

(12) I^c_n(t) I^ф_n(t) = 0,

 

то есть невозможно существование на одном участке в один момент времени и собственного и франчайзингового предприятий.

В предположении, что франчайзер берет максимально возможный кредит и держит допустимый минимум ликвидных средств, так как у них низкая доходность, неравенства (10) заменяются на равенства, из которых находятся L(t) и D(t), и условие (7) неотрицательности L(t) опускается. При этом набор переменных, определяющих стратегию, уменьшается до Y‘ = { I^c_n(t), I^ф_n(t), a(t), w(t)}.

Но даже в этом случае из-за большой размерности задачи и сложности выражения некоторых переменных через основные задача остается слишком сложной, и такая модель позволяет только проиллюстрировать механизм функционирования франчайзинговой системы, поэтому ниже для конкретных расчетов производятся дальнейшие упрощения.

Например, при определении оптимальных рекламных затрат можно решать следующую задачу. Пусть x(t) — прибыль без учета расходов на рекламу, u(t) — затраты на рекламу (u(t) ³ 0 — управление в рассматриваемой задаче). Тогда прибыль p(t) = x(t) – u(t). Так как x(t) — это прибыль получаемая в момент t в отсутствие рекламы, то, зная поток прибыли в начальный момент без использования рекламы p₀, можно получить начальное значение x(0) = p₀.

В качестве критерия разумно взять дисконтированную прибыль за весь период планирования T, то есть

 

(13) ,

 

где n — коэффициент дисконтирования.

Предположим, что без рекламы поток прибыли экспоненциально уменьшается с коэффициентом затухания k. Так как предельный эффект от рекламы падает при увеличении затрат на нее, то эту зависимость можно аппроксимировать, например, степенной функцией bu^a (0 < a < 1). Коэффициенты b и a определяются по методу наименьших квадратов для имеющихся эмпирических данных или оцениваются экспертами. Следовательно, получаем соотношение

 

(14) .

 

Гамильтониан задачи (13), (14)

H(x,u,p,t) = (x-u)e^–nt + p(bu^a – kx).

Из уравнений Гамильтона получаем:

 

.

 

Решая это уравнение с учетом условия p(T) = 0, находим

 

(15) p(t) = [e^–nt – e^–k(T-t)+kt] / (k + n).

 

По принципу максимума Понтрягина u(t) должна в каждой точке оптимальной траектории доставлять максимум функции Гамильтона, поэтому оптимальное управление находится из условия

 

– e ^–nt + apbu^a–1 = 0,

 

то есть

 

.

Используя формулу (15), получаем, что оптимальные затраты на рекламу равны

 

.

 

Видно, что затраты на рекламу со временем уменьшаются, обращаясь в нуль в конце периода планирования.

На рекламные расходы разумно наложить условие u(t) £ u_max(t), связанное с ограниченностью финансовых ресурсов. Тогда реальные затраты на рекламу будут определяться по правилу

 

u_опт(t) = min{u*(t), u_max(t)}.

 

В предельном случае, если планирование осуществляется на очень длительный период (при этом можно считать

 

T = ¥), u_опт(t) º .

 

В этом случае

 

x_опт(t) º .

 

На бесконечности доля рекламных затрат в чистом доходе

 

.

Аналогичный подход применим при планировании затрат франчайзера на исследования.

Далее, определившись с расходами на рекламу и исследования, франчайзер вырабатывает стратегию расширения сети.

Предположим, что рынок может быть разделен между собственными и франчайзинговыми предприятиями рассматриваемой системы в любой пропорции, а время t непрерывно.

Пусть P_c(t) ³ 0 и P_Ф(t) ³ 0 — доля рынка, охваченная собственными и франчайзинговыми предприятиями, причем выполняется условие P_C(t) + P_Ф(t) £ 1.

Здесь под охватом рынка подразумеваем территориальный охват.

Франчайзер максимизирует свою прибыль:

 

,

 

где Y(t) — поток его прибыли. Будем считать здесь, что прибыль от собственной и доход франчайзинговой единицы не зависят от времени и равны p_с и p_ф соответственно.

Для простоты положим, что ликвидные средства франчайзера D(t) не приносят дохода.

Поток инвестиций франчайзера в развитие сети

 

(16) ,

 

где Z и E определяются вне модели, а в E учитывается оптимальный вступительный взнос, рассчитанный для случая одного франчайзингового предприятия. Будем считать, что франчайзер может, в принципе, ликвидировать предприятия сети, вернув без потерь свои инвестиции, поэтому при расчете прибыли не будет вычитать инвестиции на развитие сети из дохода.

Прибыль франчайзера

 

(17) Y(t) = p_сP_c(t) + rp_ф P_ф(t) – r₁L(t).

 

Прибыль, полученная от деятельности собственных и франчайзинговых предприятий системы, и новые кредиты идут на инвестиции и изменение объема ликвидных средств

 

(18) +D(t).

 

Задолженность изменяется по закону

 

(19) .

 

Предположим, что доходность собственных и франчайзинговых точек больше, чем процент по кредиту, то есть p_с/Z > r₁ и rp_ф/E > r₁, поэтому на этапе экстенсивного развития системы франчайзер берет максимальный для имеющихся собственных средств кредит и выбирает минимальный D(t), необходимый для поддержания ликвидности, то есть

 

(20) D(t) = k_l L(t),

K(t) = k_aL(t)/(1 – k_a),

, то

(21) .

 

Обозначив

 

 a = 1 – k_l + k_a /(1 – k_a) и b = k_a /(1 – k_a),

 

 из условий (16) – (21) получаем, что рассматриваемая задача с учетом начальных условий имеет вид (9) – (12):

 

(22) ,

(23)

(24) P_c(t) ³ 0, P_Ф(t) ³ 0, P_C(t) + P_Ф(t) £ 1, L ³ 0,

(25) P_c (0) = P_c⁰, P_ф(0) = P_ф⁰, L(0) = K⁰ / b.

 

Из второго уравнения системы (23) с учетом начальных условий получаем имеем следующее выражение для величины задолженности:

 

(26) .

 

Используя эту формулу и первое уравнение системы (10) получаем:

 

(27) p_T = b[L(T) – L(0)] = b{Z[P_c(T) – P_c⁰] + E[P_ф(T) – P_ф⁰]}/ a.

 

Таким образом, задача преобразовывается к виду (28) – (31):

 

(30)

P_c(t) ³ 0, P_Ф(t) ³ 0, P_C(t) + P_Ф(t) £ 1,

(31) P_c (0) = P_c⁰, P_ф(0) = P_ф⁰.

 

Эволюция франчайзинговой системы состоит из следующих основных этапов: