С помощью формул Френеля можно определить интенсивности отраженного и преломленного света. Для малых углов падения в результате получается

                        ,    .

Поляризация при двойном лучепреломлении. При прохождении света через все прозрачные кристаллы, за исключением кристаллов, принадлежащих к кубической системе, наблюдается явление, получившее название двойного лучепреломления. Это явление заключается в том, что упавший на кристалл луч разделяется внутри кристалла на два луча, распространяющиеся, вообще говоря, с разными скоростями и в разных направлениях.

Кристаллы, обладающие двойным лучепреломлением, подразделяются на одноосные и двуосные. У одноосных кристаллов имеется одно направление, вдоль которого лучи распространяются, не разделяясь, с одинаковой скоростью. Это направление называются оптической осью кристалла. У двухосных кристаллов имеются два таких направления (две оптические оси).

У одноосных кристаллов (исландский шпат, кварц, турмалин) один из преломленных лучей подчиняется обычному закону преломления. Этот луч называется обыкновенным и обозначается буквой o. Другой луч называется необыкновенным и обозначается буквой e. Преломление необыкновенного луча происходит по другому закону. Даже при нормальном падении света на кристалл необыкновенный луч, вообще говоря, отклоняется от нормали. Кроме того, необыкновенный луч не лежит, как правило, в одной плоскости с падающим лучом и нормалью к преломляющей поверхности. У двухосных кристаллов (слюда, гипс) оба луча необыкновенные. В дальнейшем речь будет идти только об одноосных кристаллах.

Исследования показывают, что вышедшие из кристалла лучи плоско поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях. Плоскость, проходящая через луч света и оптическую ось кристалла, называется главной плоскостью (или главным сечением) кристалла. Колебания светового вектора в обыкновенном луче происходят перпендикулярно главной плоскости, в необыкновенном – в главной плоскости (рис.).

Двойное лучепреломление объясняется анизотропией кристаллов. В кристаллах некубической системы диэлектрическая проницаемость e зависит от направления. В одноосных кристаллах e в направлении оптической оси и в направлениях, перпендикулярных к ней, имеет различные значения  и . В других направлениях e имеет промежуточное значение. Показатель преломления . Для большинства прозрачных веществ практически m = 1, поэтому можно считать .

В обыкновенном луче световой вектор перпендикулярен оптической оси кристалла и, следовательно, скорость распространения луча для всех направлений будет одна и та же . Расстояние от точечного источника света до волновой поверхности пропорциональна лучевой скорости в соответствующем направлении. Поэтому, если в кристалле находится такой источник, то волновая поверхность для обыкновенных лучей является сферой.

В необыкновенном луче световой вектор лежит в главной плоскости. Для луча, распространяющегося вдоль оптической оси, световой вектор перпендикулярен оптической оси. Скорость распространения луча в этом направлении такая же как для обыкновенного . Для луча, распространяющегося перпендикулярно оси, . Для других лучей скорость имеет промежуточное значение. Можно показать, что волновая поверхность необыкновенных лучей представляет собой эллипсоид вращения. В местах пересечения с оптической осью волновой эллипсоид необыкновенного луча и волновая сфера обыкновенного соприкасаются.

Одноосные кристаллы характеризуются показателем преломления обыкновенного луча  и показателем преломления необыкновенного луча . В зависимости от того, какая из скоростей,  или , больше, различают положительные и отрицательные одноосные кристаллы (рис.). У положительных кристаллов  (или ). У отрицательных кристаллов  (или ).

Ход обыкновенного и необыкновенного лучей в кристалле можно определить с помощью принципа Гюйгенса. При построении, нужно учитывать, что лучами являются линии, вдоль которых распространяется энергия световой волны. Как будет видно ниже, нормаль к волновой поверхности не обязательно совпадает с направлением луча.

На рис. изображены три случая нормального падения света на поверхность кристалла, отличающиеся направлением оптической оси. В случае а лучи o и e распространяются вдоль оптической оси не разделяясь. В случае б оптическая ось кристалла параллельна преломляющей поверхности. При нормальном падении света обыкновенный и необыкновенный лучи идут в одном направлении, но с разной скоростью. В случае в обыкновенный луч o после преломления распространяется вдоль нормали к поверхности кристалла. Необыкновенный же луч e заметно отклоняется от нормали.

Анализ поляризованного света. Пусть на кристаллическую пластинку, вырезанную параллельно оптической оси, нормально падает плоско поляризованный свет (рис.). Внутри пластинки он делится на обыкновенный и необыкновенный лучи, которые в кристалле движутся в одном направлении с разными скоростями. На входе в пластинку разность фаз d этих лучей равна нулю, на выходе из пластинки

                                          .
Вырезанная параллельно оптической оси пластинка, для которой

                  ,
называется пластинкой в четверть волны. При прохождении через такую пластинку обыкновенный и необыкновенный лучи приобретают разность фаз ± p/2.

Плоско поляризованный свет, можно представить как суперпозицию двух волн, поляризованных вдоль оптической оси кристалла и перпендикулярного ей направления (т.е. обыкновенного и необыкновенного луча) с разностью фаз, равной нулю. Пластинка, при прохождении этих лучей, внесет разность фаз ± p/2. Следовательно, плоско поляризованный свет превращается в эллиптически поляризованный (в частном случае в циркулярно поляризованный). Параметры поляризации определяются разностью фаз d и углом между плоскостью поляризации исходной волны и оптической осью кристалла.

Эллиптически поляризованный свет можно представить как суперпозицию двух волн, поляризованных вдоль главных полуосей эллипса, с разностью фаз ± p/2 (в случае циркулярно поляризованного света в виде волн, поляризованных вдоль любых двух взаимно перпендикулярных направлений). Если на пути эллиптически поляризованного света поместить пластинку в четверть волны, оптическая ось которой ориентирована параллельно одной из осей эллипса (в случае циркулярно поляризованного ориентация пластинки произвольна), то она внесет дополнительную разность фаз ± p/2. Результирующая разность фаз станет равной нулю или p.

Циркулярно поляризованный свет, пройдя пластинку, становится плоско поляризованным. Если на пути луча поставить поляризатор, то можно добиться полного его гашения. Если же падающий свет естественный, то он при прохождении пластинки таковым и останется (при любом положении пластинки и поляризатора интенсивность прошедшего поляризатор луча не меняется).

Эллиптически поляризованный свет, пройдя соответствующим образом ориентированную пластинку (ее оптическая ось совпадает по направлению с одной из осей эллипса), превращается в плоско поляризованный. Прошедший свет можно погасить поворотом поляризатора. При произвольной ориентации пластинки на выходе получится эллиптическая поляризация, но с другими параметрами.