Интегрирование путем замены переменной

Интегральное исчисление.

В дифференциальном исчислении определено понятие производной в точке. Можно сказать, что это предел некоей взвешенной разности:

Если производную взять в каждой точке, то возникнет новая функция y ´(x). Итак, имеется некий алгоритм перехода y y ´. Естественным образом возникает вопрос о нахождении функции по её производной: y ´ y. Возникает идея: если производная является как бы разностью, то обратный переход должен осуществляться с помощью суммирования.

Рассмотрим эту идею более подробно. Пусть на отрезке [a; b] задана функция y ´(x). Требуется восстановить функцию y (x) такую, что её производная даёт y ´(x). Сразу отметим, что y (x) определяется неоднозначно. По свойству производной y (x) + c имеет ту же производную, что и y (x). По этой причине можем считать, что y (a) = y ₀. Разобьём отрезок [a; x] на n частей длины . Обозначим , тогда

             

Далее . Итак, .

Чтобы получить точное выражение y (x) нужно устремить x к нулю. Тогда сумма ∑  превратится в сумму бесконечного ряда. Она обозначается через (интеграл). Рассмотрим, каков геометрический смысл интеграла. У нас задана функция y ´(x), то произведение  приблизительно равно площади полоски шириной x.

Тогда сумма равна площади криволинейной трапеции на отрезке [a; x]. Итак, задача нахождения функции по её производной связана с вычислением предела некоторой суммы (с увеличением числа членов), т. е. интеграла. Геометрический смысл интеграла состоит в том, что он выражает площадь криволинейной трапеции. Таким образом, задача о проведении касательной и задача о вычислении площадей являются обратными друг к другу.

Мы установим, что . Фактически в этом и состоит основной результат интегрального исчисления. Полученная формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Перейдем к более точным определениям.

Пусть  – некоторая функция, тогда функция F(x) такая, что  называется неопределенным интегралом или первообразной для f(x) и обозначается .

Задачу нахождения первообразной можно в ряде случаев решить с помощью таблицы производных. Например, из формулы дифференцирования функции  вытекает, что .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14. Если , то

Интегрирование путем замены переменной

Теорема. Если , то .

Пример 1.

. Положим , тогда .

Пример 2.

Пример 3.

. Положим , тогда . Далее . . Далее , . В итоге .

Одним из важных признаков применения замены переменной является наличие производной и функции. Например,  содержит  логарифм. , следовательно, .

Особое значение играют методы интегрирования рациональных функций вида , где P(x) и Q(x) – многочлены. Общая схема интегрирования такова:

1. Если дробь  не является правильной, то можно выполнить деление и разбить дробь на сумму многочлена и правильной дроби, т.е. дроби, у которой степень числителя меньше степени знаменателя.

2. Если дробь  является правильной, то ее можно разложить на сумму простых дробей, т.е. дробей вида , , , . Чтобы выполнить это разложение, необходимо разложить на множители знаменатель Q(x), что само по себе является сложной задачей. Затем применяется метод неопределенных коэффициентов.

3. Интегралы от простых дробей выражаются с помощью логарифмов и арктангенсов.

Пример.

Дробь  представляют в виде . Далее складывают простые дроби и приравнивают друг другу коэффициенты многочленов. В результате возникает система линейных уравнений относительно A, B, C, D, E. Результат .

Интегралы вида  и  вычисляются следующим образом:  выделением полного квадрата представляют в виде . Далее полагают  и делают подстановку , , , .

Интегрирование по частям

Поскольку , . Интегрируя обе части, получим .

Пример.

. Положим , , . Тогда . Следовательно, .

В отличие от дифференцирования, интегрирование требует значительных творческих усилий. При этом оказывается, что не все функции, выражаемые через элементарные, имеют интеграл, выражаемый через элементарные функции. Так, например,  называется эллиптическим интегралом 1-го рода и взять его невозможно.

Благодаря этому в математическом анализе появляются новые функции. Их изучение затруднено, но возможно разложение этих функций в ряды и т. д.

Определенный интеграл

Для вычисления площадей криволинейных трапеций вводится понятие определенного интеграла. Интуитивно он является пределом суммы площадей малых прямоугольников при стремлении максимальной ширины прямоугольника к нулю. Согласно обозначениям Лейбница интеграл записывается следующим образом: .

Смысл этого обозначения прост: знак ∫ – стилизованная буква S символизирует сумму. Буквы a и b указывают отрезок, на котором проводится суммирование. Они называются пределами интегрирования. Произведение  выражает площадь бесконечно узкого прямоугольника. Таким образом, речь идет о сумме площадей таких прямоугольников.

Интегрального исчисления.

Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [ a, b ]. Рассмотрим функцию . Придадим аргументу x приращение x. Тогда . Второй интеграл при стремлении x к нулю приближённо равен площади f (x) x, таким образом, . Итак, Ф(x) – первообразная функции f (x). Пусть F (x) – любая другая первообразная той же функции. Тогда Ф (x)= F (x)+ c. Определим с. Ф (a)=0, значит, 0= Ф (а)= F (a)+ c, т.е. c =- F (a). Окончательно Ф (x)= F (x)- F (a). При x = b получаем формулу Ньютона-Лейбница:

Пример. Найти площадь одной арки синусоиды (  на отрезке [0, π].)

Несобственные интегралы

1. Несобственные интегралы с бесконечными приделами. Пусть функция y = f(x) определена на [a, + ) и имеет смысл  для любого A > a. Тогда по определению . Аналогично определяется , а .

Пример. , откуда  и .

Важнейшую роль эти интегралы играют в теории вероятностей.

2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Пусть , но при любом η > 0 существует , тогда .

Пример. , откуда следует, что .

Интегральное исчисление.

В дифференциальном исчислении определено понятие производной в точке. Можно сказать, что это предел некоей взвешенной разности:

Если производную взять в каждой точке, то возникнет новая функция y ´(x). Итак, имеется некий алгоритм перехода y y ´. Естественным образом возникает вопрос о нахождении функции по её производной: y ´ y. Возникает идея: если производная является как бы разностью, то обратный переход должен осуществляться с помощью суммирования.

Рассмотрим эту идею более подробно. Пусть на отрезке [a; b] задана функция y ´(x). Требуется восстановить функцию y (x) такую, что её производная даёт y ´(x). Сразу отметим, что y (x) определяется неоднозначно. По свойству производной y (x) + c имеет ту же производную, что и y (x). По этой причине можем считать, что y (a) = y ₀. Разобьём отрезок [a; x] на n частей длины . Обозначим , тогда

             

Далее . Итак, .

Чтобы получить точное выражение y (x) нужно устремить x к нулю. Тогда сумма ∑  превратится в сумму бесконечного ряда. Она обозначается через (интеграл). Рассмотрим, каков геометрический смысл интеграла. У нас задана функция y ´(x), то произведение  приблизительно равно площади полоски шириной x.

Тогда сумма равна площади криволинейной трапеции на отрезке [a; x]. Итак, задача нахождения функции по её производной связана с вычислением предела некоторой суммы (с увеличением числа членов), т. е. интеграла. Геометрический смысл интеграла состоит в том, что он выражает площадь криволинейной трапеции. Таким образом, задача о проведении касательной и задача о вычислении площадей являются обратными друг к другу.

Мы установим, что . Фактически в этом и состоит основной результат интегрального исчисления. Полученная формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Перейдем к более точным определениям.

Пусть  – некоторая функция, тогда функция F(x) такая, что  называется неопределенным интегралом или первообразной для f(x) и обозначается .

Задачу нахождения первообразной можно в ряде случаев решить с помощью таблицы производных. Например, из формулы дифференцирования функции  вытекает, что .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14. Если , то

Интегрирование путем замены переменной

Теорема. Если , то .

Пример 1.

. Положим , тогда .

Пример 2.

Пример 3.

. Положим , тогда . Далее . . Далее , . В итоге .

Одним из важных признаков применения замены переменной является наличие производной и функции. Например,  содержит  логарифм. , следовательно, .

Особое значение играют методы интегрирования рациональных функций вида , где P(x) и Q(x) – многочлены. Общая схема интегрирования такова:

1. Если дробь  не является правильной, то можно выполнить деление и разбить дробь на сумму многочлена и правильной дроби, т.е. дроби, у которой степень числителя меньше степени знаменателя.

2. Если дробь  является правильной, то ее можно разложить на сумму простых дробей, т.е. дробей вида , , , . Чтобы выполнить это разложение, необходимо разложить на множители знаменатель Q(x), что само по себе является сложной задачей. Затем применяется метод неопределенных коэффициентов.

3. Интегралы от простых дробей выражаются с помощью логарифмов и арктангенсов.

Пример.

Дробь  представляют в виде . Далее складывают простые дроби и приравнивают друг другу коэффициенты многочленов. В результате возникает система линейных уравнений относительно A, B, C, D, E. Результат .

Интегралы вида  и  вычисляются следующим образом:  выделением полного квадрата представляют в виде . Далее полагают  и делают подстановку , , , .

Интегрирование по частям

Поскольку , . Интегрируя обе части, получим .

Пример.

. Положим , , . Тогда . Следовательно, .

В отличие от дифференцирования, интегрирование требует значительных творческих усилий. При этом оказывается, что не все функции, выражаемые через элементарные, имеют интеграл, выражаемый через элементарные функции. Так, например,  называется эллиптическим интегралом 1-го рода и взять его невозможно.

Благодаря этому в математическом анализе появляются новые функции. Их изучение затруднено, но возможно разложение этих функций в ряды и т. д.

Определенный интеграл

Для вычисления площадей криволинейных трапеций вводится понятие определенного интеграла. Интуитивно он является пределом суммы площадей малых прямоугольников при стремлении максимальной ширины прямоугольника к нулю. Согласно обозначениям Лейбница интеграл записывается следующим образом: .

Смысл этого обозначения прост: знак ∫ – стилизованная буква S символизирует сумму. Буквы a и b указывают отрезок, на котором проводится суммирование. Они называются пределами интегрирования. Произведение  выражает площадь бесконечно узкого прямоугольника. Таким образом, речь идет о сумме площадей таких прямоугольников.