Сложение и умножение понятий.

Из операций с двумя исходными понятиями (или боль­шим их числом) следует выделить логическое сложение и логическое умножение. Результат сложения понятий Р и Q будем называть их логической суммой и обозначать P + Q, а результат умножения тех же понятий назовем их логическим произведением и обозначим Р•Q. Вобъём понятия Р+ Q входят те объекты, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из исходных классов. Иными словами, х принадлежит классу Р+ Q, если истинно суждение х есть Р или Q (где союз «или» употребляется в неисключающем его значении). В объём понятия P • Q входят те объекты, каждый из которых принадлежит обоим исходным классам. Иначе говоря, х при­надлежит классу Р• Q если истинно суждение х есть P и Q, где союз «и» фиксирует одновременное вхождение х в дан­ные классы.

Различие между этими операциями иллюстрируют гра­фические схемы. На рисунках 12 - 15 показана логическая сумма, а на рисунках 16 - 19 - логическое произведение понятий Р и Q с учетом четырех известных нам видов отношений. Лишь для равнообъемных понятий итоги сложения и умножения со­впадают, в трех других случаях классы Р+ Q и Р• Q принци­пиально различны.

Это и понятно, поскольку операция сло­жения, в сущности, объединяет исходные множества, тогда как операция умножения образует класс, соответствующий области их пересечения. Уместно подчеркнуть, что результат умножения родового и видового понятий объёмно равен видовому, а результат сложения тех же понятий - родовому (см. рис.17 и 13). Если исходные понятия внеположенные, то их сложение образует класс, полностью включающий оба множества (см. рис.15); логическое произведение тех же понятий ведет к образованию нулевого класса (см. рис.19).

Рис.17. Умножение подчинённых понятий

Рис.16. Умножение равнообъёмных понятий

С теоретической точки зрения сопоставление классов P + Q и Р• Q представляет интерес для изучения двух суще­ственно разнящихся способов соединения некоторых произ­вольных множеств в новое (сложное) множество. Практи­ческий аспект проблемы имеет непосредственное отноше­ние к выбору союзов и других средств организации текста, при помощи которых несколько исходных смысловых еди­ниц объединяются друг с другом, образуя новое понятие. Пользуясь символическим языком, то есть, применяя ло­гические постоянные «+» и «•», мы легко улавливаем и точно фиксируем различие между сложением и умножением понятий. В естественном речевом общении (в нефор­мализованных текстах) объединение понятий не всегда дает достаточно ясную картину. Объясняется это следующими обстоятельствами. Во-первых, рассмотренные операции не исчерпывают всех возможных способов связи исходных по­нятий. Во-вторых, и это

главное, любые операции, включая сложение и умножение, могут выражаться различными средствами естественной речевой коммуникации. В логике договариваются читать выражение P + Q как Р или Q, а выражение Р• Q - как Р и Q, рассматривая союзы «или», «и» в качестве наиболее удачных словесных эквивалентов соответствующих операций. Однако в действительности не­редко используются и другие средства выражения этих опе­раций, в чем мы имели возможность убедиться на примере словосочетаний типа «студент-спортсмен», «журналист-международник» и т. п., где логическое умножение пред­ставлено дефисом. Что касается союзов «или» и «и», то нужно отметить их многозначность, способную в известных ситуациях созда­вать достаточно неопределенное представление о характере связи между некоторыми исходными понятиями. Удачна ли, например, следующая формулировка одного из правил поль­зования городским транспортом: «Безбилетный проезд и бес­платный провоз багажа наказываются штрафом»? Предста­вим себе два подмножества, которые могут быть выделены во множестве пассажиров-нарушителей. В одно из них вой­дут пассажиры, не взявшие билета, в другое - не оплатив­шие провоз багажа. Если союз «и» рассматривать, как пока­затель логического умножения, то придется признать, что штраф должен быть наложен только на тех пассажиров, ко­торые совершили сразу два проступка (но не какой-то один из них). Разумеется, житейский смысл ситуации, предусмот­ренной данным правилом, настолько ясен, что всякие раз­ночтения этой формулировки, вероятно, были бы признаны казуистикой, но все же использование союза «или» здесь следует признать предпочтительным. Аналогичный харак­тер носит следующая фраза: «Атеросклероз чаще всего по­ражает жителей больших городов и людей умственного труда». Исходные понятия «житель большого города» и «че­ловек умственного труда» находятся в отношении перекре­щивания. Вследствие недостаточной определенности их объединения в сложное понятие (оно выделено курсивом) воз­можны два варианта прочтения (истолкования, понимания) фразы: 1) атеросклероз чаще всего поражает жителей больших городов, занимающихся умственным трудом (логическое ум­ножение: см. рис.18); 2) атеросклероз чаще всего поражает вообще жителей больших городов или вообще людей умственного труда (ло­гическое сложение; см. рис.14). Поскольку второй вариант представляется более удач­ным для выражения данной мысли, и здесь также, вероятно, следовало бы отдать предпочтение союзу «или».

Умение находить правильные внешние формы для выра­жения логической суммы и логического произведения неко­торых исходных понятий определенным образом связано с продуктивностью смысловой и стилистической обработки текста. Обычно это умение проявляется в

 виде автоматизи­рованных навыков, позволяющих найти и применить опти­мальную текстовую структуру в каждом конкретном случае. Но иногда интуиция нас подводит. Тогда полезно воспроиз­вести механизмы соответствующих операций (и даже прове­рить их графическими схемами). Об этом свидетельствует анализ некоторых типичных ошибок. Рассмотрим следую­щий фрагмент текста: «Милиционер, сержант милиции Б. оправился от ран и приступил к службе». Выделенная курси­вом часть фразы образована из двух исходных понятий, при­чем одно из них («сержант милиции»)является видовым по отношению ко второму («милиционер»). Напрашивается вывод о словесной избыточности выражения и целесообраз­ности его упрощения за счет одного из исходных понятий. Но, какой элемент конструкции может быть устранен без ущерба для информативности текста? Обратим внимание на тот факт, что Б. одновременно включается в класс сержантов милиции и в класс милиционеров. Таким образом, здесь перед нами, безусловно, логическое умножение. Но, как уста­новлено ранее, логическое произведение видового и родово­го понятий объемно равно видовому (см. рис.17). Следова­тельно, родовое понятие является избыточным и может быть устранено из текста, который должен выглядеть так: «Сер­жант милиции Б. оправился от ран и приступил к службе». И в самом деле, если Б. является сержантом милиции, то нет никакой нужды называть его еще и милиционером. Читате­лю предлагается подумать, почему иной вариант правки текста (устранение понятия «сержант милиции» при сохра­нении понятия «милиционер») связан с информационными потерями.