Методические основы процесса изучения массы как одной из величин в начальной школе

 

В методике начального обучения математике понятие величины долгое время связывали с понятием «именованное число». Причем считали, что понятие величины уже известно из повседневной жизни, а его свойства очевидны. В курсе методики преподавания математики ограничивались указанием наиболее характерных упражнений для различных классов величин. Это приводило к смешению понятия величины с понятием меры (числа, выражающего величину после выбора некоторой единицы измерения).

В математике на вопрос «Что такое величина?» ответа в виде определения («величиной называется…») нет. Однако с помощью исходных свойств, характеризующих величины, строится вся теория величин.

Основными, базисными понятиями курса математики начальных классов являются понятия “число” и “величина”. Это подчеркивается и в программе по математике для начальных классов школы, и в методических пособиях. Тем не менее даже сам термин “величина” никак не приживается в практике работы учителя, а по-прежнему бытует термин “именованное число” или “составное именованное число”.

В нашу задачу входит анализ понятия “величина” с математической точки зрения. Речь пойдет об изучении величин в начальных классах только с точки зрения методической, в аспекте развития познавательной самостоятельности учащихся, активизации их деятельности в процессе изучения величин. Следует коснуться некоторых особенностей данного понятия, руководствуясь которыми учитель будет формировать у детей “интуитивное понятие” величины.

Во-первых, величина - это некоторое свойство предметов.

Во-вторых, величина - это такое свойство предметов, которое позволяет их сравнивать и устанавливать пары объектов, обладающих этим свойством в равной мере.

В-третьих, величина - это такое свойство, которое позволяет сравнивать предметы и устанавливать, какой из них обладает данным свойством в большей мере.

Усвоения названных особенностей данного понятия учитель достигает посредством использования в своей работе различных практических заданий познавательного характера, представляющих своего рода проблемные ситуации, решение которых учащиеся находят в процессе самостоятельных практических действий.

Длина, площадь, масса, скорость, стоимость - величины. Первоначальное знакомство с ними происходит в начальной школе, где величина наряду с числом является ведущим понятием. Величины - это особые свойства реальных объектов или явлений. Например, свойство предметов иметь протяженность называется длиной. Это же слово мы употребляем, когда говорим о протяженности конкретных объектов. Поэтому про длины конкретных объектов говорят, что это величины одного рода. Вообще однородные величины выражают одно и то же свойство объектов некоторого множества. Разнородные величины выражают различные свойства объектов. Так, длина и площадь - это разнородные величины.

Величины - длина, площадь, масса и другие обладают рядом свойств:

. Любые две величины одного рода сравнимы: они либо равны, либо одна меньше другой. Иными словами, для величины одного рода имеют место отношения «равно», «меньше» и «больше» и для любых величин а и в справедливо одно и только одно из отношений: а<в, а=в, а>в.

2.Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получиться величина того же рода. Другими словами, для любых двух величин a и b однозначно определяется величина a + b,ее называют суммой величин a и в.

.Величину умножают на действительное число, получая в результате величину того же рода. Другими словами, для любой величины а и любого не отрицательного действительного числа х существует единственная величина в=х∙а; величину в называют произведением величины а на число х.

. Величины одного рода вычитают, определяя разность величин через сумму: разность величин а и в называется такая величина с, что а=в+с.

. Величины одного рода делят, определяя частное через произведение величины на число: частным величина а и в называется такое неотрицательное действительное число х, что а=х∙в. Чаще это число х называют отношением величин а и в и записывают в таком виде: а:в=х (Стойлова А.П. 2001: 164).

Сравнивая величины непосредственно, мы можем установить их равенство или неравенство. Чтобы получить более точный результат сравнения, например, узнать, на сколько масса одного тела больше массы другого, необходимо величины измерить. Измерение заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. Процесс сравнения зависит от рода рассматриваемых величин: для длин он один, для площадей - другой, для масс третий и т.д. Но каким бы он ни был этот процесс, в результате измерения величина получает определенное численное значение при выбранной единице.

Вообще, если дана а и выбрана единица величины е, то в результате измерения величины а находят такое действительное число х, что а=х ^. е. Это число х называют численным значением величины а при единице величины е. Последнее предложение можно записать в символической форме: х= т _е(а).

Согласно определению любую величину можно представить в виде произведения некоторого числа и единицы этой величины. Например, 7кг=7^.1кг, 12см=12^.1см, 3ч=3^.1ч.

Величины, которые вполне определяются одним численным значением, называются скалярными величинами. Такими, к примеру, являются длина, площадь, объём, масса.

Мы будем рассматривать только скалярные величины и причём такие, численные значения которых положительны, т.е. положительные скалярные величины.

Измерение величин позволяет свести сравнение их к сравнению чисел, операции над величинами к соответствующим операциям над числами.

. Если величины а и в измерены при помощи единицы величины е, то отношения между величинами а и в будут такими же, как и отношения между их численными значениями, и наоборот:

Например, если массы двух тел таковы, что а =5кг, в =3кг, то можно утверждать, что масса а больше массы в, поскольку 5>3.

. Если величины а и в измерены при помощи единицы величины е, то, чтобы найти численное значение суммы а + в, достаточно сложить численные значения величин а и в.

Например, если а= 15кг, b =12кг, то a + b =15кг + 12кг=(15 + 12) кг=27кг.

. Если величины a и b таковы, что b = x ^. a, где x - положительноедействительное число, и величина а измерена при помощи единицы величины е, то, чтобы найти численное значение величины b при единице е, достаточно число х умножить на численное значение отрезка a:

Например, если масса b в 3 раза больше массы а, т.е. b =3 a, и а= 2кг, то b = 3 a = 3 ^. (2кг)=(3^.2)кг=6кг.

Рассмотри изучение величин в традиционной и вариативных программах и определим, какое место занимает масса в данном аспекте.

Важным понятием в курсе математики по программе «Школа России» (автор Моро М.И.) является понятие величины. При формировании представлений о величинах (длине, массе, площади, времени и др.) учитель опирается на опыт ребенка, уточняет и расширяет его. Так, при ознакомлении с понятием длины сначала используют прием сравнения на глаз, затем - прием наложения, на следующем этапе вводятся различные мерки. В ходе практического выполнения таких заданий учащихся подводят к самостоятельному выводу о необходимости введения единых общепринятых единиц каждой величины. Дети знакомятся с измерительными инструментами.

Ознакомление с единицами величин и их соотношениями проводится в течение всех лет обучения в начальной школе. Одной из основных задач четвертого года обучения становится пополнение и обобщение этих знаний. Необходимо рассмотреть соотношения между единицами каждой величины. Эти соотношения усваиваются учащимися при выполнении различных заданий и заучивании соответствующих таблиц. Программой предусмотрено также изучение сложения и вычитания значений величин, выраженных в одних и тех же единицах (длины, массы, времени и др.), умножение и деление значений величины на однозначное число.

Величины рассматриваются в тесной связи с изучением натуральных чисел и дробей; обучение измерении связывается с изучением счёта; измерительные и графические действия над величинами являются наглядными средствами и используются при решении задач. При формировании представлений о каждой из названных величин целесообразно ориентироваться на определённые этапы, в которых нашли отражение: математическая трактовка понятия величина, взаимосвязь данного понятия с изучением других вопросов начального курса математики, а так же психологические особенности младших школьников.

В традиционной начальной школе изучение величин начинается с изучения такой величины как, длина. Затем изучается масса. Большее внимание по традиционной программе уделяется изучению натурального ряда чисел, а уже на втором месте идёт изучение величин. В традиционной программе не предусмотрены упражнения развивающего характера, направленные на формирование умений и навыков по данной теме.

В программах развивающего обучения предусмотрено рассмотрение основных величин, их свойств и отношений между ними с тем, чтобы показать, что числа, их свойства и действия, производимые над ними, выступают в качестве частных случаев уже известных общих закономерностей величин. Структура данного курса математики определяется рассмотрением последовательности понятий: величина -> число.

Понятие величины в начальном курсе математики не определяется, то есть даётся без определения. Понятие величина раскрывается на конкретных примерах и основывается на опыте ребёнка. Величины в начальном курсе математики рассматривают как свойство предметов или явлений, проявляющееся в результате сравнения. Особенно явно это проявляется в альтернативных программах Д.Б.Эльконина - В.В.Давыдова, Л.Г.Петерсон.

Программой традиционной школы не предусмотрено на этом этапе обучения введение буквенной символики. Однако по программе Д.Б.Эльконина - В.В.Давыдова введение буквенной символики на ранних этапах обучения позволяет осуществить необходимую связь "большой" теории с начальным курсом математики. Запись отношений между величинами с помощью букв позволяет видеть те свойства, которые присущи рассмотренным выше отношениям между величинами, причем учащиеся самостоятельно, на основе практических действий приходит к обнаружению этих свойств. Каким же образом происходит его осознание?

Выяснив, например, что взвешенные предметы А и Д находятся в отношении А = Д, учитель, чтобы еще раз зафиксировать равенство сосудов, предлагает проверить сначала предмет Д, затем предмет А, в результате чего выясняется, что Д = А. Выполнив несколько подобных действий с рядом предметов, некоторые учащиеся сообразят, что при установлении отношения между предметами (величинами) А и Д, зная, что А = Д, можно не производить новых измерений. Равенство Д.= А будет следовать из отношения А = Д. Этот момент играет важную роль в процессе познания. Теперь ученики уже могут использовать ранее приобретенные знания (А = Д) для получения нового знания (Д = А).

"Таким образом, - отмечает В. В. Давыдов, - первоклассники впервые "прямо" сталкиваются с правилами построения вывода, знакомятся с такой формой познания, как рассуждение".

По программе Аргинской И.И. (система Д.Б.Эльконина - В.В.Давыдова) изучение величин в каждом конкретном случае базируется на сравнении объектов. В связи с этим в изучении каждой величины можно выделить следующие этапы: сравнение объектов непосредственными действиями (на глаз, приложением, наложением и т.д.) и установление границ возможности использования таких приемов; поиск опосредованного способа сравнения при выходе за эти границы (т.е. при невозможности или значительной затрудненности непосредственных способов сравнения); выделение среди найденных опосредованных способов того, который связан с использованием произвольных мерок; осознание основного правила использования мерок - необходимость использования одной и той же мерки при измерении сравниваемых объектов; осознание удобства использования общепринятых мерок и знакомство с ними; знакомство с инструментами, предназначенными для измерения изучаемой величины общепринятыми мерками, и (или) со способами косвенного определения величины

По мере продвижения в изучении величин и приобретения опыта такого изучения, а также в связи с особенностями каждой величины, отдельные из перечисленных этапов свертываются или не возникают совсем, но должны находиться в поле зрения учителя.

Изучение этой линии программного материала завершается в четвертом классе составлением таблиц мер изученных величин и соотношений между ними, а также сравнением этих таблиц между собой и с десятичной системой счисления (Программы 2000: 47).

Программа Л.Г.Петерсон обеспечивает высокий уровень научности и связи математики с жизнью, то есть введение любой величины опирается на жизненный опыт детей. Предложенная программа направлена не только на нормирование математических знаний, умений и навыков, но и на общее развитие детей. Примером этого являются исторические справки о величинах, единицах их измерения, справки из истории возникновения величин и необходимости их измерения. В данной программе масса изучается с первого класса, сразу после длины.

Величина также является одним из основных понятий начального курса математики. В процессе изучения математики у детей необходимо сформировать представление о каждой из изучаемых величин (длина, масса, время, площадь, объем и др.) как о некотором свойстве предметов и явлений окружающей нас жизни, а также умение выполнять измерение величин.

Формирование представления о каждой из включенных в программу величин и способах ее измерения имеет свои особенности. Однако можно выделить общие положения, общие этапы, которые имеют место при изучении каждой из величин в начальных классах:

) выясняются и уточняются представления детей о данной величине (жизненный опыт ребенка);

) проводится сравнение однородных величин (визуально, с помощью ощущений, непосредственным сравнением с использованием различных условных мерок и без них);

) проводится знакомство с единицей измерения данной величины и с измерительным прибором;

) формирование представления о функциональной зависимости делается на раскрытие закономерностей того, как изменение одной величины влияет на изменение другой, связанной с ней величины. Эта взаимосвязь может быть представлена в различных видах: формируются измерительные умения и навыки;

) выполняется сложение и вычитание значений однородных величин, выраженных в единицах одного наименования (в ходе решения задач);

) проводится знакомство с новыми единицами измерения величины;

) выполняется сложение и вычитание значений величины, выраженных в единицах двух наименований;

) выполняется умножение и деление величины на отвлеченное число.

При изучении величин имеются особенности и в организации деятельности учащихся.

Важное место занимают средства наглядности как демонстрационные, так и индивидуальные, сочетание различных форм обучения на уроке (коллективных, групповых и индивидуальных).

Немаловажное значение имеют удачно выбранные методы обучения, среди которых группа практических методов и практических работ занимает особое место. Широкие возможности создаются здесь и для использования проблемных ситуаций.

В ходе формирования у учащихся представления о величинах создаются возможности для пропедевтики понятия функциональной зависимости. Основной упор при рисунком, графиком, схемой, таблицей, диаграммой, формулой, правилом.

Мы видим, что в каждой программе по математике изучаются величины, в том числе и масса, и единицы ее измерения.

Н. Б. Истомина, преподаватель математики и автор одной из альтернативных программ, выделила 8 этапов изучения величин:

-й этап: выяснение и уточнение представлений школьников о данной величине (обращение к опыту ребёнка).                                           

-й этап: сравнение однородных величин (визуально, с помощью ощущений, наложением, приложением, путём использования различных мерок).

-й этап: знакомство с единицей данной величины и с измерительным прибором.

-й этап: формирование измерительных умений и навыков.

-й этап: сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования.

-й этап: знакомство с новыми единицами величин в тесной связи с изучением нумерации и сложения чисел. Перевод однородных величин, выраженных в единицах одного наименования, в величины, выраженные в единицах двух наименований, и наоборот.

-й этап: сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований.

-й этап: умножение и деление величин на число (Программы 2001: 269).

В традиционном курсе математики последовательность изучения понятий есть: Число--> Величина.

Несмотря на то, что существует многообразие программ, точки зрения на изучение массы и единиц ее измерения, все младшие школьники к концу четвертого класса должны знать все единицы массы, сравнивать их, выполнять над ними различные действия. Только от спланированной и разнообразной деятельности учителя у детей будут сформированы необходимые знания и умения по этой теме.

В обязательный минимум содержания основных образовательных программ входит следующее по теме «Масса»:

Сравнение и упорядочение объектов по разной массе

Единицы массы (грамм, килограмм, центнер, тонна).      

Учащиеся получают следующие знания:

· Понятие «масса».

·   Сравнение массы без ее измерения.

·   Использование произвольных мерок для определения массы.

·   Общепринятая мера массы - килограмм.

·   Весы как прибор для измерения массы. Их разнообразие.

·   Единицы измерения массы - грамм (г), центнер (ц), тонна (т).

·   Соотношения между единицами измерения массы: 1 кг = 1000г, 1ц =100 кг, 1т =10ц = 1000 кг.

Можно заметить, что с понятием «масса» дети знакомятся со второго класса, кроме программы (Школа 2100» (автор Л.Г.Петерсон), где знакомство происходит уже в первом классе.

Итак, в начальных классах рассматривается величина масса. Учащиеся должны получить конкретные представления об этой величине, ознакомиться с единицами ее измерения, овладеть умениями измерять величину, научиться выражать результаты измерений в различных единицах, выполнять различные действия над ними.