Графики тригонометрических функций

При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов.Тогда функция  представляется графиком (рис. 1.8). Эта кривая называется синусоидой.

Рис. 1.8

График функции  представлен на рис. 1.9; это кривая называется также синусоида, полученная в результате перемещения графика  вдоль оси  влево на /2.

 

                                                                                                       

Рис. 1.9

Характеристики и свойства тригонометрических функций:

– область определения: ;область значений: ;

– функции периодические, их период равен 2 ;

– функции ограниченные (), всюду непрерывные.

 

Векторы

Основные понятия. Многие физические величины характеризуются одним параметром – модулем. Например, известно расстояние, которое прошел студент (допустим, он прошел 17 км) – при этом все равно, в каком направлении он гулял, но известна температура воздуха в день его прогулки, например, . Такие величины, как расстояние между точками и температура, называют скалярными величинами. Бывают обстоятельства, когда необходимо знать и модуль, и направление физической величины. Например, если пункт А находится в 5 (км) к северо-востоку от пункта В, то недостаточно направить студента, указав расстояние в 5 (км) для того, чтобы он достиг пункт В. Необходимо задать направление движения. Комбинация модуля и направления физической величины называется векторной величиной, или просто вектором.

Важность понимания различий между векторными и скалярными величинами состоит в том, что для этих величин разные правила сложения, вычитания и умножения. Для скалярных величин эти правила прописаны в алгебре, для векторных величин – в векторной алгебре. Например, полное расстояние между пунктами А и В (по траектории движения )вычисляется алгебраическим сложением (рис. 1.10, а):

 

а полное перемещениевычисляется расстояниеммежду пунктами А и В, котороеравно

.

 

Вектор обозначается буквой с чертой (или стрелкой) над ней –  () и изображается направленным отрезком, длина которого в некотором масштабе равна модулю представляемой вектором физической величины (рис. 1.10, б). Вектор характеризуется точкой приложения (точка А), модулем  и линией действия – прямой, вдоль которой направлен вектор. Вектор, модуль которого , называется единичным вектором. Если направление единичного вектора совпадает с направлением вектора, единичный вектор называется ортом. Орты, направленные по осям ,  декартовой системы координат, обозначаются ,  – единичные орты (рис. 1.11).

Проекция вектора на ось. Изобразим вектор  (рис. 11). Опустим перпендикуляры из начала А и конца В вектора на оси  , ,   получим отрезки , ,  называемые проекциями вектора  на оси ,    .

Каждый вектор  может бытьединственным образом разложен на сумму векторов, параллельных единичным ортам  плоской системы:

.                                      (а)

Скаляры ,  называются координатами вектора в системе  и обозначается это так

.                                    (б)

 

Записи (а) и (б) равносильны.

Координаты вектора , ,  и модуль вычисляются по формулам:

 

,

 

Проекция вектора на ось есть скалярная величина, равная произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между положительным направлениями оси и направлением вектора (рис. 1.12):

Рис. 1.12

.

Линейные комбинации векторов. Сложение векторных величин производится по правилу параллелограмма: сумма двух векторов  и , приведенных к общему началу, есть третий вектор , длина которого равна длине параллелограмма, построенного на векторах  и , а направлен вектор  от точки A к точке B (рис. 1.13):

.

Рис. 1.13

Модуль вектора  вычисляется по формуле Силовой многоугольник. Суммируют несколько векторов построением векторного многоугольника. Слагаемые векторы путем параллельного переноса последовательно при-

страивают один за другим так, что начало последующего вектора совпадает с концом предыдущего, тогда вектор, замыкающий полученный многоугольник является суммой заданных слагаемых, причём его начало совпадает с началом первого из слагаемых векторов, а конец – с концом последнего (рис. 1.14, а). Разность двух векторов. Разностью векторов  называется векторов  (диагональ BD) такой, что сумма векторов  
(рис. 1.14, б):

.

 

а	б
в	г
Рис. 1.14

Скалярное умножение векторов. Скалярным умножением векторов  и (обозначается ) называется скаляр, определяемый равенством

,

где угол  – угол между векторами   и , приведенных к общему началу (рис. 14, в).

Если заданы векторы ,  то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле

.

Векторное умножение векторов. Векторным произведением векторов   и (обозначается ) называется вектор , длина которого равна  (т.е. площади параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах) и который направлен перпендикулярно плоскости расположения векторов     и  (рис. 1.14. г) Если векторы , ,  заданы декартовыми прямоугольными координатами: , , , то векторное произведение вычисляется по формуле

В механике разделяют три типа векторов: свободный, скользящий и связанный.

Свободными векторами представляются физические величины, не изменяющиеся при переходе от одной точки пространства к любой другой. Такие векторы характеризуют физические величины во всем исследуемом пространстве.

Скользящие векторы представляют собой векторные физические величины, остающиеся неизменными вдоль линии действия вектора. Они изменяются при переходе к другой точке пространства, не лежащей на линии действия.

Закрепленные векторы представляют собой векторные физические величины только в данной точке пространства. В других точках пространства они либо имеют другое значение, либо вообще теряют смысл.

§ 1.5. Радиус–вектор

Положение точки А на траектории в пространстве удобно характеризовать радиус–вектором. Для построения радиус-вектора выберем неподвижную точку  в евклидовом пространстве. Проведем через неподвижную точку  произвольно ось . Если каждому значению скалярного аргумента t поставить в соответствие вектор  (расстояние между точкой  на траектории и полюсом О фиксируется  модулем , направление прямой  фиксируется углом )  то функция  будет называться радиус–вектором скалярного аргумента (рис. 15, а). Если начало вектора  (ра диус-вектора) находится в точке О, то конец радиус-вектора  опишет пространственную кривую, которую называют годографом (записыватель пути) векторной функции (рис. 15, а). Если t означает время, то  фиксирует положение материальной точки в пространстве в любой момент времени, т.е. характеризует движение материальной точки, а годограф радиус-вектора соответствует траектории движения точки.

Пусть точка движется в плоскости . Совместим с точкой  начало плоской декартовой системы, а ось  с осью  (рис. 1.15, б). В плоской декартовой системе координат радиус–вектор  раскладывается по базисным векторам ,  так (рис. 1.15, б)

,

причем компоненты  являются координатами точки А в прямоугольной системе координат.

Рис. 1.16

Радиус–вектор  можно разложить по базисным векторам , ,  прямоугольной пространственной системы координат, то (рис.1.16) , причем компоненты  являются координатами точки А в прямоугольной системе координат.