Матричные и поэлементные операции над векторами и матрицами

Матричным действиям с матрицами относятся такие операции, которые используются в матричном исчислении в математике:

- при сложении или вычитании матриц они должны иметь одинаковые размеры;

- при умножении матриц число столбцов первого множителя должно совпадать с числом строк второго множителя.

Невыполнение этих условий приводит к появлению сообщения об ошибке.

Пусть даны два вектора

>> a = [1 2 3 4 5] % вектор-строка
>> b = [1; 1; 1; 1; 1] % вектор-столбец

тогда умножение этих двух векторов можно записать так

c = a*b % c=1+2+3+4+5=16
d = b*a % d – матрица 5х5 элементов

В соответствии с операциями над векторами, умножение вектор-строки на вектор-столбец дает число, а умножение вектор-столбца на вектор-строку дает двумерную матрицу, что и является результатом вычислений в приведенном примере, т.е.

Сложение и вычитание двух векторов записывается так:

>> a1 = [1 2 3 4 5]
>> a2 = [5 4 3 2 1]
>> c = a1+a2 % c = [1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1];
>> с = a2-a1  % c = [5-1, 4-2, 3-3, 2-4, 1-5];

Аналогичным образом выполняются операции умножения и сложения между матрицами:

>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
>> B = ones(3)
>> C = A+B % сложение двух матриц одинакового размера
>> D = A+5 % сложение матрицы и числа
>> E = A*B % умножение матрицы А на В
>> F = B*A % умножение матрицы В на А
>> G = 5*A % умножение матрицы на число

Операции вычисления обратной матрицы, транспонирования матриц и векторов, записываются следующим образом:

>> a = [1 1 1]            % вектор-строка
>> b = a'          % вектор-столбец, образованный
                                        % транспонированием вектора-строки а.
>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]  % матрица 3х3
>> B = a*A           % B = [12 15 18] – вектор-строка
>> C = A*b               % C = [6; 15; 24] – вектор-столбец
>> D = a*A*a'              % D = 45 – число, сумма элементов матрицы А
>> E = A'                 % E – транспонированная матрица А
>> F = inv(A)               % F – обратная матрица А
>> G = A^-1         % G – обратная матрица А

Если в процессе вычислений требуется поэлементно умножить, разделить или возвести в степень элементы вектора или матрицы, то для этого используются операторы:

.* – поэлементное умножение;

./ и .\ – поэлементные деления;

.^ – поэлементное возведение в степень.

Рассмотрим работу данных операторов на следующем примере.

>> a = [1 2 3]         % вектор-строка
>> b = [3 2 1]       % вектор-строка
>> c = a.*b;            % c = [3 4 3]
>> A = ones(3)     % матрица 3х3, состоящая из единиц
>> B = [1 2 3;4 5 6; 7 8 9] % матрица 3х3
>> C = A.*B % матрица 3х3, состоящая из
>> D = A./B % матрица 3х3, состоящая из
>> E = A.\B % матрица 3х3, состоящая из
>> F = A.^2 % возведение элементов матрицы А в квадрат

>> A=[0 -2 4;3 2 1]

>> D=[-5 4 2;1 3 1]

>> B=[-1 -2 -3;1 3 1;0 2 2]

Пример сложения и вычитания

>> A+D

-5 2 6

4 5 2

>> D-A

-5 6 -2

-2 1 0

Пример умножения на число

>> 3*D

-15 12 6

3 9 3

Пример транспонирования матрицы, при котором ее строки становятся столбцами, а столбцы – строками, осуществляется с помощью оператора <'> (одинарная кавычка):

>> A'

0    3

-2   2

4    1

 

>> C=A*B

C =

-2   2    6

-1   2    -5

Умножение двух векторов определено в математике только для векторов одинакового размера и лишь тогда, когда один из векторов сомножителей является строкой, а второй – столбцом.

>> x=[1 2 3], y=[4 5 6]

>> v=x*y'

v =

>> v=x'*y

v =

4    5    6

8    10 12

12 15 18

 

Поэлементное умножение

>> A=[1 2 3 4 5;-2 3 1 4 0], B=[-1 3 5 -2 1;1 8 -3 -1 2]

>> A.*B

-1 6 15 -8 5

-2 24 -3 -4 0

Оригинальной в MATLAB является операция прибавления к матрице числа. Она записывается таким образом: A+x или x+A (где A – матрица, а x – число). Такая операция также не относится к операциям линейной алгебры. Например:

>> A+2

3    4    5    6    7

0    5   3    6    2

>> 4-B

5    1   -1   6    3

3    -4   7    5    2

Порядок выполнения работы

 

Выполнить в командной строке все примеры, приведенные в данном пособии. Достичь понимания получаемых результатов.

Выполнить задания для самостоятельной работы. Номер варианта выдаётся преподавателем.

Задания для самостоятельной работы