Постановка задачи интерполяции

Введение

В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций, оказывается, эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений.

В нашем случае для более полного раскрытия данной темы подробно рассмотрим для начала само понятие интерполяции, далее интерполирование непосредственно гладкой функции и интерполирование гладкой функции в точке.

Цель работы: изучение интерполирования гладких функций и практическое применение интерполирования функций.

 

Постановка задачи интерполяции

интерполяция погрешность полином

Определение термина интерполяции

 

Пусть для функции f(x), определенной на какой - либо части R, известны её значения на некотором конечном множестве точек x₁, x₂, …, x_n Î [a,b], и в этих точках функция f(x) определена как:

 

 ,

 

Требуется вычислить, хотя бы приближенно, значения при всех x.

Такая задача может возникнуть при проведении различных экспериментов, когда значения искомой функции определяются в дискретные моменты времени, либо в теории приближения, когда сложная функция сравнительно просто вычисляется при некоторых значениях аргумента, для функций заданных таблицей или графически и т.п.

Обычно функцию g(x_i), x_i Î [a,b], , с помощью которой осуществляется приближение, находят так, чтобы:

 

(1)  ()

 

Такой способ приближения называют интерполяцией или интерполированием. Точки x₁, x₂, …, x_n называют узлами интерполяции, если точка x, в которой вычисляется f(x), лежит вне отрезка [a,b], то употребляют термин экстраполяции. Функцию g(x_i), , называют интерполянтом.

При этом следует ответить на следующий вопрос.

 

Как выбрать интерполянт

 

Такие функции строятся на основе комбинаций из элементарных функций.

 

(2) ,

 

– фиксированная линейно- независимая система, а  () - пока неизвестные параметры.

Математическая постановка задачи интерполирования заключается в следующем. Пусть R - пространство действительных функций, определенных на отрезке [a,b], и  - заданная конечная или счетная система функций из R, такая, что их любая конечная подсистема является линейно-независимой. Для данной конечной совокупности точек x₁, x₂, …, x_n (x_i ≠ x_j при i≠j), принадлежащих отрезку [a,b], и данной функции f(x) из R найти функцию φ, являющуюся линейной комбинацией функций  так, чтобы в заданных точках значения f и φ совпадали. Другими словами, определить константы a₁, a₂, …, a_n так, чтобы

 

(3)  ()

 

Совершенно ясно, почему число коэффициентов  должно совпадать с числом узлов интерполяции x_i. Это нужно для того, чтобы матрица системы была квадратной (т.е. число неизвестных совпадало бы с числом условий, из которых находятся эти неизвестные). Кроме того, для однозначной разрешимости данной системы (при произвольной правой части) необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля, т.е.:

 

:

 

Естественно, интерполянт необходимо построить в виде более легкой учетной функции, поэтому за часто берут такие системы как:

 

{1, х, х², …, хⁿ}, {1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, …, sin(nx), cos(nx)},

{1, e ^xb1, e ^xb2, …, e ^xbn} (bi ÎR, bi≠bj (i≠j), nÎN).

 

Задача 1.

Пусть задана интерполяционная таблица:

 

i	0	1	2	3
	0	2	3	5
	1	3	2	5

 

Построить интерполяционный полином Лагранжа.

Решение. Из (8) следует:

 

Задача 2.

Пользуясь интерполяционной формулой Лагранжа, составить уравнение прямой, проходящей через точки Р₀(х₀, у₀) и Р₁(х₁, у₁), если х₀=-1, у₀=-3, х₁=2, у₁=4.

Решение. В данном случае многочлен Лагранжа примет вид

 

.

 

Уравнение искомой прямой есть .

Про погрешность полинома

 

По строению  (). Но, в общем, это не так и  (, ), так как интерполирование предполагает приближенное нахождение:

 

 ()

 

И в связи с этим необходимо говорить о погрешности интерполирования. Заранее сказав,  разность этого выражения нужно найти.

Замечание 1.

 

 ()

 

чем постоянно записывать равенство, слагаемое  называют остаточным членом (или погрешность интерполяции).

Теорема 1.

Если  [a,b] [2]

 

(9)  (, ), где

 [a,b] в промежутке беспрерывно n+1 раз объясняет совокупность дифференцируемых функций.

 

 [a,b] ó [a,b];

 

Берем любую точку и зафиксируем ее (, ), рассмотрим вспомогательную функцию:

 

(10) , ().

 

 - свободный параметр, который открыто объясняет  ().

Значение  берем проходящим через равенство . В это время концы , будучи точками промежутка, можно использовать теорему Ролля.

Существует :  ()

Сейчас для этой теоремы берем точки :

Существует :  ()

Когда закончим этот процесс, то получим следующее:

 

$ :

 

Итак, при t = x из (10) вытекает (9). Что и требовалось доказать.

Следствие 1:

Пусть .

В то время  (); над ними: .

Задача 3:

С помощью узлов  построить полином для этой функции, при:

1) . Оценить погрешность полинома;

2) в [a,b] найти максимальную погрешность полинома.

Решение:

1) На основании Следствия 1 в непрерывном виде находим:

 2) Использовав второе равенство из Следствия 1 получаем:

.

Замечание 2:

Полученные с помощью этой формулы множества полиномов называются полиномами Чебышева. В отдельных случаях:

В теории приближения функции хорошо известен следующий факт: если в качестве узлов интерполяции взять корни полинома , то  ()

В этом случае из Следствия 1 следует, что

. Если свободная интерполяция находится в отрезке [a,b], то с помощью замены  этот отрезок можно заменить на [-1;1]. В это время точки

 

(11)  (, )

 

будут однородными с корнями , а остаточный член записывается следующим образом:

 

.

 

Последнее неравенство полностью дает оптимальную оценку на отрезке [a,b], т.е. мы оцениваем погрешность интерполяции на отрезке [a,b], чтобы узлы (11) были оптимальными.

 

Обобщенная интерполяция

 

Рассмотрим пример интерполяции для элементов множества . Для простоты и краткости возьмем [a,b]=[-1;1], .

Пусть точки  и  будут разными между собой. Поставим такую задачу:

 

(12)

 

построить многочлен , удовлетворяющий данным условиям. Здесь  «собственный» оператор класса :

 

 

Теорема 2.

Если взять в произвольной форме fÎC{m;0}, удовлетворяющее условию (12), то существует «обобщенный» интерполяционный полином и он единственен.

Доказательство:

Найдем интерполяционный полином в стандартном виде:

 

(13)

 

Затем, учитывая (13) для того, чтобы найти коэффициенты  (), приходим к следующей алгебраической системе:

 

(14)

 

Эту систему упорядочим в матрицу S, являющуюся прямой суммой двух квадратных матриц размерностью m и n+1.

 

 

Здесь

 

 

Значит, основываясь на фактах линейной алгебры, определяем

 

 

Что и требовалось доказать.

Сейчас поставим перед собой цель записать многочлен G(x) в явном виде. Будет полезно рассмотреть стандартный вид многочлена Лагранжа. Из (13) видно, что

 

 

Поэтому имеет место следующее:

 

(14)

 

Возьмем параметры из (13):

 

(15)

 

Таким образом, из (13), (14), (15) следует, что

 

(16)

Замечание 3:

Если m=0, C{0;0} C[-1;1],  (). Значит, рассмотрев функцию  в задаче (11) приводится к обычной интерполяционной задаче, а многочлен Лагранжа (16) превращается в обычный интерполяционный многочлен. Таким образом, задача (11), действительно, в значении одного определения становится обобщенной задачей интерполирования.

Сейчас поговорим о погрешности обобщенной интерполяции.

В этом случае  нужно дать оценку побольше. Выше приведены размышления и следствия, полученные в целях определения одной системы функций.

.

Теорема 3.

Если

 

 

Здесь

Доказательство:

Приняв во внимание (16) получаем

 

(17)

 

Следующие приведения к формуле теоремы легко доказываются из (17) и теоремы 1.

Следствие 2.

Пусть

В это время:

Теорема 4.

Верна следующая связь:

 

(18)

 

Вдобавок

 

(19)

 

Доказательство:

Пусть . По (19) получим  в последовательной форме используем метод интегрирования по частям, и изменяем его:

 

 

Отсюда выходит следующее неравенство:

 

(20)

 

называют формулой Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

Возьмем некоторую функцию , чтобы равенство (18) было правильным . При рассмотрении второго слагаемого полинома, достаточно показать что Î С^(m).

При изучении производной  полезно использовать дифференцирование интеграла, зависящего от параметра. Эта формула в математическом анализе очень известна и определяет следующее:

 

(21)

 

здесь  вдобавок

Таким образом, находим в нашем случае необходимый вид:

 

 

Значит .

Замечание 6.

Рассмотрев, оператор  из последнего размышления вытекает полезное рассуждение:

 

(22)

 

Заключение

 

Мы убедились, что в вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек.

В данной курсовой работе рассматривается интерполирование функции полиномами, непосредственно непрерывных функций на отрезке и в точке, определили понятие погрешности интерполяции.

У нас возникла задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, поэтому в данной работе были приведены конкретные примеры по построению интерполяционного полинома Лагранжа, по оцениванию погрешности интерполяционного полинома.

В нашем случае для более полного раскрытия данной темы подробно проиллюстрировано само понятие интерполяции, далее интерполирование непосредственно гладкой функции и интерполирование гладкой функции в точке.

 

Список использованной литературы

 

1. Н.С.Габбасов. Некоторые применения производной. Наб.Челны, 1998г.

2. Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: «Наука», 1984г.

3. С.М.Никольский. Курс математического анализа. М.: «Наука», 1990г.

4. Л.Д.Кудрявцев. Краткий курс математического анализа. М.: «Наука», 1989г.

5. И.А.Марон. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: «Наука», 1970г.

6. А.А.Самарский. Введение в численные методы. М.: «Наука», 1987.

 

[1] Здесь H_n – это множество всех алгебраических многочленов степени n.

[2] На непрерывном отрезке и в точке  обозначили множество функции, имеющей производную по Тейлору m-го порядка.

 (естественно,

Верно следующее соответствие:

здесь

Введение

В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций, оказывается, эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений.

В нашем случае для более полного раскрытия данной темы подробно рассмотрим для начала само понятие интерполяции, далее интерполирование непосредственно гладкой функции и интерполирование гладкой функции в точке.

Цель работы: изучение интерполирования гладких функций и практическое применение интерполирования функций.

 

Постановка задачи интерполяции

интерполяция погрешность полином