Полиноминальная интерполяция

Если  являются степенями {1, х, х², …, хⁿ}, то говорят об алгебраической интерполяции, а функцию называют интерполяционным полиномом и обозначим как:

 

 (4)

 

Если

 

 () (5),

 

то можно построить интерполяционный полином степени n и притом только один.

Найдем интерполяционный полином из вида (4). В это время, на основе (5), для нахождения неопределённых коэффициентов используем систему линейных уравнений:

 

a₀x₀ + a₁x₀ + a₂x₀² + …+ a_nx₀ⁿ= f_0,

a₀x₀ + a₁x₁ + a₂x₁² + …+ a_nx₁ⁿ= f_1, (6)

_{………………………………………………………….}

a₀x₀ + a₁x_n + a₂x_n² + …+ a_nx_nⁿ= f_n,

 

В этом случае определитель системы линейных алгебраических уравнений выглядит так:

 

.

 

Этот определитель является определителем Вандермонда и отличен от нуля в случае, когда все узлы x_i различны. Поскольку матрица системы невырождена, то решение системы существует и единственно.

Единственность интерполяционного полинома можно доказать следующим способом. Предположим, что есть два интерполяционных полинома

 

L_n и P_n ÎH_n [1] : L_n ≠ P_n.

Из (5): L_n(x_i) - P_n(x_i) º0 и L_n(x_i) º P_n(x_i) ().

 

 

так, выходит противоречие. Единственность установлена. А так как полином единственный, то у соответствующей системы линейных алгебраических уравнений есть только одно решение.

Интерполяционный полином Лагранжа

 

Сейчас перед нами задача, которая состоит из нахождения такого многочлена, степени n, который совпадает с заданной f(x) в точках x₁, x₂, …, x_n Î [a,b], т.е. чтобы выполнялось равенство

 

(6) f(x_j)=L_n(x_j) ().

 

Чтобы решить эту задачу, введем многочлены степени n, которые в точках при i≠j равны нулю, а в точке при i=j равны единице. Очевидно, что:

 

(7) f_jÎH_n, f_j(x)=A_j(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_j-1)(x-x_j+1)…(x-x_n)= ,

 

где постоянная А находится из условия f_j(x_j)=1, тогда

 

 

Таким образом, получаем, что

 

f_j(x)

 

Получаем, что поставленную задачу решает многочлен

(8)

 

Многочлен (8) называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Задача 1.

Пусть задана интерполяционная таблица:

 

i	0	1	2	3
	0	2	3	5
	1	3	2	5

 

Построить интерполяционный полином Лагранжа.

Решение. Из (8) следует:

 

Задача 2.

Пользуясь интерполяционной формулой Лагранжа, составить уравнение прямой, проходящей через точки Р₀(х₀, у₀) и Р₁(х₁, у₁), если х₀=-1, у₀=-3, х₁=2, у₁=4.

Решение. В данном случае многочлен Лагранжа примет вид

 

.

 

Уравнение искомой прямой есть .

Про погрешность полинома

 

По строению  (). Но, в общем, это не так и  (, ), так как интерполирование предполагает приближенное нахождение:

 

 ()

 

И в связи с этим необходимо говорить о погрешности интерполирования. Заранее сказав,  разность этого выражения нужно найти.

Замечание 1.

 

 ()

 

чем постоянно записывать равенство, слагаемое  называют остаточным членом (или погрешность интерполяции).

Теорема 1.

Если  [a,b] [2]

 

(9)  (, ), где

 [a,b] в промежутке беспрерывно n+1 раз объясняет совокупность дифференцируемых функций.

 

 [a,b] ó [a,b];

 

Берем любую точку и зафиксируем ее (, ), рассмотрим вспомогательную функцию:

 

(10) , ().

 

 - свободный параметр, который открыто объясняет  ().

Значение  берем проходящим через равенство . В это время концы , будучи точками промежутка, можно использовать теорему Ролля.

Существует :  ()

Сейчас для этой теоремы берем точки :

Существует :  ()

Когда закончим этот процесс, то получим следующее:

 

$ :

 

Итак, при t = x из (10) вытекает (9). Что и требовалось доказать.

Следствие 1:

Пусть .

В то время  (); над ними: .

Задача 3:

С помощью узлов  построить полином для этой функции, при:

1) . Оценить погрешность полинома;

2) в [a,b] найти максимальную погрешность полинома.

Решение:

1) На основании Следствия 1 в непрерывном виде находим:

 2) Использовав второе равенство из Следствия 1 получаем:

.

Замечание 2:

Полученные с помощью этой формулы множества полиномов называются полиномами Чебышева. В отдельных случаях:

В теории приближения функции хорошо известен следующий факт: если в качестве узлов интерполяции взять корни полинома , то  ()

В этом случае из Следствия 1 следует, что

. Если свободная интерполяция находится в отрезке [a,b], то с помощью замены  этот отрезок можно заменить на [-1;1]. В это время точки

 

(11)  (, )

 

будут однородными с корнями , а остаточный член записывается следующим образом:

 

.

 

Последнее неравенство полностью дает оптимальную оценку на отрезке [a,b], т.е. мы оцениваем погрешность интерполяции на отрезке [a,b], чтобы узлы (11) были оптимальными.