Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2019-11-28 | 133 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Раздел 3. Дифференциальное исчисление.
Тема3.1 Производная функции
Определение производной
Для решения многих задач требуется найти разность значений функции в двух точках. Так, средняя скорость материальной точки за промежуток времени Δt равна:
.
Если рассматриваемое движение не является равномерным, то чем меньше выбран промежуток времени Δt, тем лучше указанная формула будет характеризовать движение точки. В идеале мы получаем понятие мгновенной скорости v: это предел, к которому стремится средняя скорость, когда Δt → 0, то есть:
.
Рассмотрим поведение графика функции y=sinx в окрестности точки x=0. Если увеличивать масштаб графика, то кривизна графика становится все меньше и меньше, а сам график приближается к графику прямой y=x.
Эти и другие задачи приводят к понятию производной.
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и существует конечный предел отношения при Δ x→0. Тогда этот предел называется производной функции в точке х0 : Производная функции y=f(x) может также обозначаться одним из следующих способов: |
В физике производную по времени t часто обозначают точкой:
Если приращение функции f(x0+Δx)–f(x0) обозначить как Δ y, то определение можно записать так:
Из определения производной и предела функции следует, что , где α (Δ x) – бесконечно малая функция при Δ x →0.
Операция вычисления производной называется дифференцированием. Функция называется дифференцируемой в данной точке, если в этой точке существует ее производная.
Правила дифференцирования
Если C — постоянное число и — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
|
Производная сложной функции
Сложная функция (композиция функций) записывается в виде
где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом (если функций больше, то промежуточным аргументом) для внешней функции f. Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна
Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)! Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга.
Производные элементарных функций
Функция | Производная | Функция | Производная | |
Постоянная | Тригонометрические | |||
Степенная | ||||
Логарифмическая В частности | Обратные тригонометрические | |||
Показательная В частности | ||||
Таблица производных функций, аргументом которой является функция.
Функция | Производная | Функция | Производная | |
Производные высшего порядка
Пусть y = f (x) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f, которая обозначается в виде
Аналогично, если f '' существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f:
Производные более высокого порядка (если они существуют), определяются как
Примеры.
а) Найти производную сложной функции .
Решение.
Здесь мы имеем дело с композицией трех функций, из которых внешней является тангенс. Производная тангенса равна
Тогда
|
б) Продифференцировать функцию
Решение.
Сначала найдем производную произведения:
Далее, по формуле производной сложной функции
в) Определить производную функции .
Решение.
Применим формулы производной сложной функции и производной частного.
г) Найти y'', если .
Решение.
Возьмем первую производную дифференцируя функцию как произведение.
Теперь найдем производную второго порядка
д) Вычислить производную степенно-показательной функции
Решение.
Прологарифмируем заданную функцию:
Вычислим производную, воспользовавшись формулой производной произведения и производной сложной функции:
Выразим производную заданной функции:
.
е) Вычислить производную функции с помощью логарифмического дифференцирования
.
Решение.
Прологарифмируем функцию:
Преобразуем выражение с помощью свойств логарифмов:
;
Продифференцируем полученное равенство
.
Выразим производную заданной функции:
.
Раздел 3. Дифференциальное исчисление.
Тема3.1 Производная функции
Определение производной
Для решения многих задач требуется найти разность значений функции в двух точках. Так, средняя скорость материальной точки за промежуток времени Δt равна:
.
Если рассматриваемое движение не является равномерным, то чем меньше выбран промежуток времени Δt, тем лучше указанная формула будет характеризовать движение точки. В идеале мы получаем понятие мгновенной скорости v: это предел, к которому стремится средняя скорость, когда Δt → 0, то есть:
.
Рассмотрим поведение графика функции y=sinx в окрестности точки x=0. Если увеличивать масштаб графика, то кривизна графика становится все меньше и меньше, а сам график приближается к графику прямой y=x.
Эти и другие задачи приводят к понятию производной.
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и существует конечный предел отношения при Δ x→0. Тогда этот предел называется производной функции в точке х0 : Производная функции y=f(x) может также обозначаться одним из следующих способов: |
В физике производную по времени t часто обозначают точкой:
Если приращение функции f(x0+Δx)–f(x0) обозначить как Δ y, то определение можно записать так:
Из определения производной и предела функции следует, что , где α (Δ x) – бесконечно малая функция при Δ x →0.
|
Операция вычисления производной называется дифференцированием. Функция называется дифференцируемой в данной точке, если в этой точке существует ее производная.
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!