Термическое уравнение состояния и термические коэффициенты идеального газа

Графики изопроцессов в идеальном газе постоянной массы

Изотермы идеального газа нa p — V — T диаграмме

Термические свойства классического и квазиклассического идеального газа описываются уравнением Клапейрона^[68][69][58]:

p V = m M R T, {\displaystyle pV={\frac {m}{M}}RT,}

где R — универсальная газовая постоянная (8.3144598 ^Дж⁄_{(моль∙К)}), m — масса газа, M — его молярная масса, или

p V = ν R T, {\displaystyle pV=\nu RT,}

где ν — количество газа в молях.

В формулах статистической физики принято использовать постоянную Больцмана k (1.3806·10^{−23 Дж}⁄_К), массу частицы m ´ {\displaystyle {\acute {m}}} и число частиц N. Статистические и термодинамически величины связаны соотношениями:

m = m ´ N, ν = N N A, R = k N A, k N = ν R, {\displaystyle m={\acute {m}}N,~~~\nu ={\frac {N}{N_{A}}},~~~R=kN_{A},~~~kN=\nu R,}

где N_А — число Авогадро (6.02214·10^{23 1}⁄_моль). С использованием обозначений статистической физики уравнение Клапейрона принимает вид

p V = N k T, {\displaystyle pV=NkT,}

или

p = n k T, {\displaystyle p=nkT,}

где n — концентрация частиц.

Материал, касающийся термических коэффициентов идеального газа, изложен в статье Уравнение состояния.

Смесь идеальных газов

Смесь идеальных газов тоже идеальный газ. Каждой компоненте газа соответствует своё парциальное давление и общее давление смеси есть сумма парциальных давлений компонент смеси p = p 1 + p 2 + p 3 {\displaystyle p=p_{1}+p_{2}+p_{3}} … Также можно получить общее количество молей в смеси газов как сумму ν = ν 1 + ν 2 + ν 3 {\displaystyle \nu =\nu _{1}+\nu _{2}+\nu _{3}} … Тогда уравнение состояния для смеси идеальных газов^[70]

p V = ν R T. {\displaystyle pV=\nu RT.}

Совершенный газ (гидроаэромеханика)

В отличие от термодинамики в гидроаэромеханике газ, подчиняющийся уравнению Клапейрона, называют совершенным. У совершенного газа молярные изохорная C V {\displaystyle C_{V}} и изобарная C P {\displaystyle C_{P}} теплоёмкости постоянны. В то же время идеальным в гидроаэромеханике называют газ, у которого отсутствуют вязкость и теплопроводность. Модель совершенного газа широко применяют при исследовании течения газов^[71].

Теплоёмкость

Определим теплоёмкость при постоянном объёме для идеального газа как

c ^ V = 1 ν R T (∂ S ∂ T) V = 1 ν R (∂ U ∂ T) V, {\displaystyle {\hat {c}}_{V}={\frac {1}{\nu R}}T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}={\frac {1}{\nu R}}\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V},}

где S — энтропия. Это безразмерная теплоёмкость при постоянном объёме, которая обычно зависит от температуры из-за межмолекулярных сил. При умеренных температурах это константа: для одноатомного газа ĉ_V = 3/2, для двухатомного газа и многоатомных газов с линейными молекулами это ĉ_V = 5/2, а для многоатомного газа с нелинейными молекулами ĉ_V = 5/2. Видно, что макроскопические измерения теплоемкости могут дать информацию о микроскопической структуре молекул. В отечественной учебной литературе, где понятие безразмерной теплоёмкости не получило распространения, для классического идеального газа его теплоёмкость при постоянном объёме C_V полагают не зависящей от температуры и, согласно теореме о равнораспределении, равной^[72]: 3Rν/2 для всех одноатомных газов, 5Rν/2 для всех двухатомных газов и многоатомных газов с линейными молекулами, 3Rν для всех многоатомных газов с нелинейными молекулами. Отличие квазиклассического идеального газа от классического состоит в ином виде зависимости внутренней энергии газа от его температуры^[73]. Для классического идеального газа его теплоёмкость при постоянном объёме C_V не зависит от температуры (она составляет), то есть внутренняя энергия газа всегда пропорциональна его температуре; для квазиклассического идеального газа его теплоёмкость C V {\displaystyle C_{V}} зависит от химического состава газа и температуры, то есть имеет место нелинейная зависимость внутренней энергии газа от температуры^[74].

Теплоёмкость при постоянном давлении 1/R моль идеального газа:

c ^ P = 1 ν R T (∂ S ∂ T) P = 1 ν R (∂ H ∂ T) P = c ^ V + 1, {\displaystyle {\hat {c}}_{P}={\frac {1}{\nu R}}T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{P}={\frac {1}{\nu R}}\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{P}={\hat {c}}_{V}+1,}

где H = U + PV — энтальпия газа.

Иногда проводится различие между классическим идеальным газом, где ĉ_V и ĉ_P могут меняться с температурой и квазиклассическим идеальным газом, для которого это не так.

Для любого классического и квазиклассического идеального газа справедливо соотношение Майера^[75]:

C P − C V = R, {\displaystyle C_{P}-C_{V}=R,}

где C P {\displaystyle C_{P}} — молярная теплоёмкость при постоянном давлении.

Соотношение теплоёмкостей при постоянном объёме и постоянном давлении

γ = c P c V {\displaystyle \gamma ={\frac {c_{P}}{c_{V}}}}

называется показателем адиабаты. Для воздуха, представляющего собой смесь газов, это соотношение составляет 1,4. Для показателя адиабаты справедлива теорема Реша ^[76]:

C P C V = (∂ P ∂ V) S (∂ P ∂ V) T. {\displaystyle {\frac {C_{P}}{C_{V}}}={\frac {\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{S}}{\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T}}}.}

(Теорема Реша)