Глава II . Решение задач с использованием свойств функции

Использование понятия области определения функции

 Решение некоторых видов уравнений и неравенств целесообразно начинать с нахождения области определения входящих в них выражений. Если область допустимых значений состоит из конечного числа значений, достаточно подставить каждое значение в уравнение, чтобы проверить, является ли это значение корнем.

Рассмотрим решение уравнений и неравенств, основанных на использовании ограниченности области определения.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Способ 1 (использование уравнения – следствия).

Данное уравнение не имеет решения, так как .

Ответ: не имеет корней.

Способ 2 (использование свойств функции)

Область определения данного уравнения совпадает со множеством решений системы неравенств:

Поскольку система не имеет решений, то область определения не содержит ни одного числа, значит, данное уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

 

Данный пример наглядно показывает рациональность функционального метода при решении уравнения.

 

 

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Область допустимых значений:

Ответ: нет корней.

 

 

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Область допустимых значений уравнения:

Ответ: нет корней.

 

 

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Область определения данного уравнения совпадает со множеством решений системы неравенств:

Ответ: не имеет корней.

 

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Область определения данного уравнения:

Т.к. система не имеет решений, то данное уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

 

 

Пример 6. Решите уравнение

Решение. Область определения уравнения:

Решаем эту систему, получаем равносильную ей систему:

 отсюда имеем

Решением этой системы является значения x=1 и x=2.

Значит, область определения уравнения состоит их двух чисел.

Осталось проверить, являются ли эти числа корнями данного уравнения.

Подставим x=1 в исходное уравнение, получим:

,

То есть 1=0 - неверное числовое равенство, значит, 2 не является корнем данного уравнения.

При x=1 получим

,

0=0 – верное числовое равенство, значит, число 1 – корень уравнения.

Ответ: 1.

 

 

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Область определения совпадает со множеством решений системы неравенств:

Решение этой системы является только значение x=3. Значит, область определения уравнения состоит из единственного числа 3, то есть

Проверка: x=3 удовлетворяет исходному уравнению, значит, число 3 – корень уравнения.

Ответ: 3.                                                                                                

 

 

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Эта функция определена для значений x, удовлетворяющих неравенству .

. Эта функция определена для значений x, удовлетворяющих неравенству .

Таким образом, область определения данного уравнения совпадает со множеством решений системы неравенств:

Значит, область определения уравнения .

Подставив  в исходное уравнение, получим:

,

То есть 12=12 – верное числовое равенство, значит, число 4 является корнем данного уравнения.

Ответ: 4.

 

 

Пример 9. Решить уравнение

Решение.

Так как левая часть уравнения неотрицательная, то и правая часть
. Значение , тогда .

.

С учётом того, что , корнем уравнения является .

Ответ: 2.

 

 

Пример 10. Решить неравенство

Решение. Так как ,

то , то есть

По определению корня чётной степени значения выражения  отрицательными быть не могут,

Потому имеем:

.

С учётом того, что , то кортями уравнения являются числа .

Ответ: -3; -2.

 

 

Пример 11. Решить неравенство

Решение. Область определения левой части .Для любого  из области определения выполняется неравенство:

.Значит, .

Ответ: .

 

 

Пример 12. Решить неравенство

Решение. Найдём область определения левой части неравенства:

.

Для любого выполняется неравенство .

Ответ:

 

 

Пример 13. Решить неравенство

Решение. Область определения левой часть совпадает со множеством решений системы неравенств:

Для всех  их области определения выполняется неравенство то представляет собой решение данного неравенства.

Ответ: