Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2019-12-21 | 142 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Если об обстановке опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез)
H 1, H 2, …, Hn
и если событие A может появиться только при одной из этих гипотез, то вероятность события A вычисляется по формуле полной вероятности:
Р(A) = Р(H 1)Р (А | H 1) + Р(H 2)Р (А | H 2) + … + Р(Hn)Р (А | Hn)
или
,
где Р(Hi) –вероятность гипотезы Hi,Р(А | Hi) –условная вероятность события A при этой гипотезе.
Гипотезы H 1, H 2, …, Hn составляют полную группу попарно несовместных событий, т. е.
.
Если до опыта вероятности гипотез были Р(H 1), Р(H 2),..., Р(Hn), а в результате опыта появилось событие A, то с учетом этого события «новые», т.е. условные, вероятности гипотез вычисляются по формуле Бейеса:
.
Формула Бейеса дает возможность «пересмотреть» вероятности гипотез с учетом наблюденного результата опыта.
Если после опыта, закончившегося появлением события A, производится еще один опыт, в котором может появиться или не появиться событие В, то вероятность (условная) этого последнего события вычисляется по формуле полной вероятности, в которую подставлены не прежние вероятности гипотез Р(Hi), а новые Р(Hi | А):
.
Формула Бейеса позволяет на основе знания априорных (до опыта) вероятностей гипотез P(Hi) и условных вероятностей наступления события A при этих гипотезах – P(A | Hi) вычислить апостериорные (после опыта, A наступило) вероятности гипотез P(Hi | A).
Задачи
4.1. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная, равна 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.
Решение. Обозначим через A событие «извлеченная деталь стандартная». Деталь может быть извлечена либо из первого набора (гипотеза H 1), либо из второго (гипотеза H 2). Вероятность того, что деталь вынута из первого набора P(H 1) = 1/2. Вероятность того, что деталь вынута из второго набора P(H 2) = 1/2. Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, P(A | H 1) = 0,8. Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь, P(A | H 2) = 0,9.
Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь – стандартная, по формуле полной вероятности равна
.
4.2. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке – 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.
Решение. Обозначим через A событие «из первой коробки извлечена стандартная лампа». Из второй коробки могла быть извлечена либо стандартная лампа (гипотеза H 1), либо нестандартная (гипотеза H 2). Вероятность того, что из второй коробки извлечена стандартная лампа, P(H 1) = 9/10=0,9.
Вероятность того, что из второй коробки извлечена нестандартная лампа, P(H 2) = 1/10=0,1.
Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена стандартная лампа, равна P(A | H 1) = 19/21.
Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена нестандартная лампа, равна P(A | H 2) = 18/21.
Искомая вероятность того, что из первой коробки будет извлечена стандартная лампа, по формуле полной вероятности равна
.
Аналогично решаются задачи 4.5 – 4.10.
4.3. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовленных отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно и 1 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, посредственно – на 10, плохо – на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.
Решение. Гипотезы:
Н 1 – студент подготовлен отлично;
Н 2 – студент подготовлен хорошо;
Н 3 – студент подготовлен посредственно;
Н 4 – студент подготовлен плохо.
До опыта (априори):
P(H 1) = 0,3; P(H 2) = 0,4; P(H 3) = 0,2; P(H 4) = 0,1;
P(A | H 1) = 1; P(A | H 2) = (16/20)∙(15/19)∙(14/18) ≈ 0,491;
P(A | H 3) = (10/20)∙(9/19)∙(8/18) ≈ 0,105;
P(A | H 4) = (5/20)∙(4/19)∙(3/18) ≈ 0,009.
Вычислим знаменатель в формуле Бейеса (формула полной вероятности)
P(A)=0,3∙1+0,4∙0,491+0,2∙0,105+0,1∙0,009 = 0,518.
После опыта (апостериори):
а) ; б) .
4.4. Детали, изготовленные цехом завода, попадают для проверки к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым – 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.
Решение. Обозначим через A событие, состоящее в том, что годная деталь признана стандартной. Можно сделать два предположения:
1) деталь проверил первый контролер (гипотеза H 1);
2) деталь проверил второй контролер (гипотеза H 2).
Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контроллер, найдем по формуле Бейеса:
.
По условию задачи имеем:
(вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру);
вероятность того, что деталь попадет ко второму контролеру);
(вероятность того, что годная деталь будет признана первым контролером стандартной);
(вероятность того, что годная деталь будет признана вторым контролером стандартной).
Искомая вероятность
.
Как видно, до испытания вероятность гипотезы H 1 (априорная) равнялась 0,6, а после того, как стал известен результат испытания, вероятность этой гипотезы (апостериорная) изменилась и стала равна 0,59. Таким образом, использование формулы Бейеса позволило переоценить вероятность рассматриваемой гипотезы.
Аналогично решаются задачи 4.11 – 4.13.
4.5. У сборщика имеется 16 деталей, изготовленных заводом № 1, и 4 детали завода № 2. Наудачу взяты 2 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окажется изготовленной заводом № 1.
Ответ: 92/95.
4.6. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0,9, для велосипедиста – 0,8 и для бегуна – 0,76. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.
Ответ: 0,86.
4.7. Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных заводом № 1, и 2 коробки деталей, изготовленных заводом № 2. Вероятность того, что деталь завода № 1 стандартна, равна 0,8, а завода № 2 – 0,9. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.
Ответ: 0,84.
4.8. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором – 30 деталей, из них 24 стандартных; в третьем – 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика — стандартная.
Ответ: 43/60.
4.9. В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы.
Ответ: 0,875.
4.10. В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 12 ламп, из них 1 нестандартная; во втором 10 ламп, из них 1 нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.
Ответ: 13/132.
4.11. При отклонении от нормального режима работы автомата срабатывает сигнализатор С-I с вероятностью 0,8, а сигнализатор С-II срабатывает с вероятностью 1. Вероятности того, что автомат снабжен сигнализатором С-I или С-II, соответственно равны 0,6 и 0,4. Получен сигнал о разделке автомата. Что вероятнее: автомат снабжен сигнализатором С-I или С-II?
Ответ: Вероятность того, что автомат снабжен сигнализатором С-I, равна 6/11, а С-II – 5/11.
4.12. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй – 6, из третьей группы – 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент?
Ответ: Вероятности того, что выбран студент первой, второй, третьей групп, соответственно равны: 18/59, 21/59, 20/59.
4.13. Вероятность для изделий некоторого производства удовлетворять стандарту равна 0,96. Предлагается упрощенная система проверки на стандартность, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту, – с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что изделие, признанное при проверке стандартным, действительно удовлетворяет стандарту.
Ответ: 0,998.
5. Схема испытаний Бернулли. Биномиальное распределение.
Формулы Муавра – Лапласа
Пусть проводится эксперимент, состоящий из n независимых опытов, в каждом из которых некоторое событие А либо наступает, либо не наступает. Вероятность наступления события А в каждом опыте постоянна и равна р. Такой эксперимент называется схемой испытаний Бернулли.
Вероятность того, что событие А наступит ровно m раз в схеме испытаний Бернулли
.
Величина Р п (т),рассматриваемая как функция от m (m = 0, 1,..., n), называется биномиальным распределением вероятно стей, отметим, что . Максимальное значение Р п (т)достигается при ,где [ ] – целая часть числа, m 0 называется наивероятнейшим значением. Если –целое число, то наивероятнейшим значением является также и m 0 – 1. Обозначим q = 1 – р.
В случае, когда р и q не малы, а п велико (обычно npq > 8), применяют приближенные формулы Муавра – Лапласа
,
где , а ;
,
где – функция Лапласа.
Задачи
5.1. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит нормы, равна p = 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.
Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна p = 0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна
q = 1 – p = 1 – 0,75 = 0,25.
Искомая вероятность по формуле Бернулли равна
.
5.2. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен): а) три партии из четырех или пять из восьми; б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми?
Решение. Так как противники равносильные, то вероятности выигрыша и проигрыша каждой партии одинаковы и равны p = q = 1/2.
а) Вероятность выиграть три партии из четырех
.
Вероятность выиграть пять партий из восьми
.
Так как 1/4 > 7/32, то вероятнее выиграть три партии из четырех.
б) Вероятность выиграть не менее трех партий из четырех
,
а вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми
.
Так как 93/256 > 5/18 = 80/256, то вероятнее выиграть не менее пяти партий из восьми.
Аналогично решаются задачи 5.5 – 5.10.
5.3. Найти вероятность того, что событие A наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.
Решение. По условию, n = 400; m = 80; p = 0,2; q = 0,8.
Воспользуемся асимптотической формулой Лапласа:
.
Вычислим определяемое данными задачи значение x:
.
По таблице 1 находим φ(0) = 0,3989.
Искомая вероятность
.
Замечание. Для отрицательных значений аргумента x функции φ(x) пользуются той же таблицей, так как функция φ(x) четная, т.е. φ(– x) = φ(x).
Аналогично решаются задачи 5.11 – 5.12.
5.4. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна p = 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.
Решение. По условию, p = 0,2; q = 0,8; n = 400; m 1 = 70; m 2 = 100. воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
.
Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:
;
.
Таким образом, имеем
.
По таблице 2 находим: Φ(2,5) = 0,4938; Φ(1,25) = 0,3944.
Искомая вероятность
.
Замечание. В таблице 2 даны значения функции Φ(x) для положительных значений x и для x = 0; для x < 0 пользуются той же таблицей, так как функция Φ(x) нечетная, т.е. Φ(– x) = – Φ(x). В таблице приведены значения интеграла лишь до x = 5, так как для x > 5 можно принять Φ(x) = 0,5.
Аналогично решаются задачи 5.13 – 5.14.
5.5. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено 4 мотора; б) включены все моторы; в) выключены все моторы.
Ответ: а) Р6 (4) = 0,246; б) Р6(6) = 0,26; в) Р6 (0) = 0,000064.
5.6. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,3.
Ответ: Р = 1 – [Р5(0) + Р5(1)] = 0,472.
5.7. Событие В появится в случае, если событие А появится не менее двух раз. Найти вероятность того, что наступит событие В, если будет произведено 6 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,4.
Ответ: Р = 1 – [Р6(0) + Р6(1)] = 0,767.
5.8. Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,1. Найти вероятность того, что событие А появится хотя бы 2 раза.
Ответ: Р = 1 – [Р8(0) + Р8(1)] = 0,19.
5.9. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.
Ответ: Р = Р6(0) + Р6(1) = 7/64; Q = 1 – [Р6(0) + Р6(1)] = 57/64.
5.10. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия р = 0,9. Вероятность поражения цели при k попаданиях равна . Найти вероятность того, что цель будет поражена, если сделано два выстрела.
Указание. Воспользоваться формулами Бернулли и полной вероятности.
Ответ: 0,9639.
5.11. Найти приближенно вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.
Ответ: Р400(104) = 0,0006.
5.12. Вероятность появления успеха в каждом испытании равна 0,25. Какова вероятность, что при 300 испытаниях успех наступит: а) ровно 75 раз; б) ровно 85 раз.
Ответ: а) ; б) .
5.13. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) не менее 70 и не более 80 раз; б) не более 70 раз.
Ответ: а) Р100(70, 80) = 2Ф(1,16) =0,7498;
б) Р100(0; 70)= – Ф(1,15) + 0,5 = 0,1251.
5.14. Какова вероятность того, что из 100 наугад отобранных монет число монет, расположенных «гербом» вверх, будет от 45 до 55.
Ответ: .
Таблица значений функции
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 | 0,3989 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661 | 3989 3965 3902 3802 3668 3503 3312 3101 2874 2637 | 3989 3961 3894 3790 3653 3485 3292 3079 2850 2613 | 3988 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589 | 3986 3951 3876 3765 3621 3448 3251 3034 2803 2565 | 3984 3945 3867 3752 3605 3429 3230 3011 2780 2541 | 3982 3939 3857 3739 3589 3410 3209 2989 2756 2516 | 3980 3932 3847 3726 3572 3391 3187 2966 2732 2492 | 3977 3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468 | 3973 3918 3825 3697 3538 3352 3144 2920 2685 2444 |
1,0 1,1 1.2 1,3 1,4 1.5 1,6 1,7 1,8 1,9 | 0,2420 2179 1942 1714 1497 1295 1109 0940 0790 0656 | 2396 2155 1919 1691 1476 1276 1092 0925 0775 0644 | 2371 2131 1895 1669 1456 1257 1074 0909 0761 0632 | 2347 2107 1872 1647 1435 1238 1057 0893 0748 0620 | 2323 2083 1849 1626 1415 1219 1040 0878 0734 0608 | 2299 2059 1826 1604 1394 1200 1023 0863 0721 0596 | 2275 2036 1804 1582 1374 1182 1006 0848 0707 0584 | 2251 2012 1781 1561 1354 1163 0989 0833 0694 0573 | 2227 1989 1758 1539 1334 1145 0973 0818 0681 0562 | 2203 1965 1736 1518 1315 1127 0957 0804 0669 0551 |
2,0 2,1 2,2 2,3 2.4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 | 0,0540 0440 0355 0283 0224 0175 0136 0104 0079 0060 | 0529 0431 0347 0277 0219 0171 0132 0101 0077 0058 | 0519 0422 0339, 0270 0213 0167 0129 0099 0075 0056 | 0508 0413 0332 0264 0208 0163 0126 0096 0073 0055 | 0498 0404 0325 0258 0203 0158 0122 0093 0071 0053 | 0488 0396 0317 0252 0198 0154 0119 0091 0069 0051 | 0478 0387 0310 0246 0194 0151 0116 0088 0067 0050 | 0468 0379 0303 0241 0189 0147 0113 0086 0065 0048 | 0459 0371 0297 0235 0184 0143 0110 0084 0063 0047 | 0449 0363 0290 0229 0180 0139 0107 0081 0061 0046 |
3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 | 0,0044 0033 0024 0017 0012 0009 0006 0004 0003 0002 | 0043 0032 0023 0017 0012 0008 0006 0004 0003 0002 | 0042 0031 0022 0016 0012 0008 0006 0004 0003 0002 | 0040 0030 0022 0016 0011 0008 0005 0004 0003 0002 | 0039 0029 0021 0015 0011 0008 0005 0004 0003 0002 | 0038 0028 0020 0015 0010 0007 0005 0004 0002 0002 | 0037 0027 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 | 0036 0026 0019 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 | 0035 0025 0018 9013 0009 0007 0005 0003 0002 0001 | 0034 0025 0018 0013 0009 0006 0004 0003 0002 0001 |
Таблица значений функции
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 | 0,00000 03983 07926 11791 15542 19146 22575 25804 28814 31594 | 00399 04380 08317 12172 15910 19497 22907 26115 29103 31859 | 00798 04776 08706 12552 16276 19847 23237 26424 29389 32121 | 01197 05172 09095 12930 16640 20194 23565 26730 29673 32381 | 01595 05567 09483 13307 17003 20540 23891 27035 29955 32639 | 01994 05962 09871 13683 17364 20884 24215 27337 30234 32894 | 02392 06356 10257 14058 17724 21226 24537 27637 30511 33147 | 02790 06749 10642 14431 18082 21566 24857 27935 30785 33398 | 03188 07142 11026 14803 18439 21904 25175 28230 31057 33646 | 03586 07535 11409 15173 18793 22240 25490 28524 31327 33891 | |
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 | 34134 36433 38493 40320 41924 43319 44520 45543 46407 47128 | 34375 36650 38686 40490 42073 43448 44630 45637 46485 47193 | 34614 36864 38877 40658 42220 43574 44738 45728 46562 47257 | 34850 37076 39065 40824 42364 43699 44845 46818 46638 47320 | 35083 37286 39251 40988 42507 43822 44950 45907 46712 47381 | 35314 37493 39435 41149 42647 43943 45053 45994 46784 47441 | 35543 37698 39617 41309 42786 44062 45154 46080 46856 47500 | 35769 37900 39796 41466 42922 44179 45254 46164 46926 47558 | 35993 38100 39973 41621 43056 44295 45352 46246 46995 47615 | 36214 38298 40147 41774 43189 44408 45449 46327 47062 47670 | |
2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 | 47725 48214 48610 48928 49180 49379 49534 49653 49744 49813 | 47778 48257 48645 48956 49202 49396 49547 49664 49752 49819 | 47831 48300 48679 48983 49224 49413 49560 49674 49760 49825 | 47882 48341 48713 49010 49245 49430 49573 49683 49767 49831 | 47932 48382 48745 49036 49266 49446 49585 49693 49774 49836 | 47982 48422 48778 49061 49286 49461 49598 49702 49781 49841 | 48030 48461 48809 49086 49305 49477 49609 49711 49788 49846 | 48077 48500 48840 49111 49324 49492 49621 49720 49795 49851 | 48124 48537 48870 49134 49343 49506 49632 49728 49801 49856 | 48169 48574 48899 49158 49361 49520 49643 49736 49807 49861 | |
3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 | 0,49835 49977 499968 499997 49999997 | 3,1 3,6 | 49903 49984 | 3,2 3,7 | 49931 49989 | 3,3 3,8 | 49952 49993 | 3,4 3,9 | 49966 49995 | ||
Литература
1. Вентцель Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей: учеб. пособие для втузов / Е.С. Вентцель, Л.А. Овгоров. – 3-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2000. – 366 с.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для втузов / В.Е. Гмурман. – 10-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2004. – 479 с.
3. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций / под ред. А.А. Свешникова. – М.: Наука, 1965. – 632 с.
[*] Данная задача, как и ряд других в главе 3, может быть решена и с помощью непосредственного подсчета числа случаев; здесь требуется решить их с помощью теорем сложения или умножения.
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!