Иллюстрация 6-35. Гистограмма Распределения Содержания Асфальта

Пример 6-4: В испытании на плотность партии материала на месте проведения работ, были проведены десять вычислений. Измеряемая плотность выражается как процент от максимальной теоретической плотности. Определите предполагаемую изменчивость(s2), стандартное отклонение (σ), и коэффициент вариации (КВ) для совокупности, из которой были взяты образцы.

Тест

Номер Плотность Xi=X (x.- x) 1 93.0 0.0 0.00 2 92.1 -0.9 0.81 3 94.2 1.2 1.44 4 93.3 0.3 0.09 5 91.5 -1.5 2.25 6 95.0 2.0 4.00 7 93.5 0.5 0.25 8 92.2 -0.8 0.64 9 91.6 -1.4 1.96 10 93.2 0.2 0.04   x = 93.0   У = 11.48

Многие калькуляторы автоматически выполняют необходимые статистические вычисления, таким образом остается только необходимость свести данные в таблицу как показано выше. Однако вычисления показаны здесь, чтобы проиллюстрировать необходимые шаги в определении статистических параметров.

Предполагаемое стандартное отклонение

и ожидаемый коэффициент изменчивости

Теперь, что если спецификация требует, чтобы все результаты теста плотности превышали 91 процент ТМП? Используя предполагаемую среднюю плотность партии материала как 93.0 и предполагаемое стандартное отклонение как 1.13, какова вероятность, что результат испытания случайного образца будет за пределами требований спецификации?

Чтобы проанализировать проблему, данные уменьшаются до стандартного нормального отклонения, чтобы использовать стандартные таблицы распределения вероятности для нормального распределения:

K_a = (y- x) /

где,

K_a = стандарт нормального отклонения;

y = случайная переменная;

x = приблизительное значение среднего по ансамблю;

 = приблизительное значение стандартного отклонения среднего по ансамблю.

Так, для оценки проблемы, x = 93.0 и у = 1.13. Для этой проблемы низкий предел спецификации 91 это случайная переменная y. Тогда заменяя x и у в уравнение для K_a,

Получаем

K_a и x определены для стандартного распределения, показанного на рисунке 6-36.

Иллюстрация 6-36. Функция Распределения Вероятности для Плотности

 

Из статистической Таблицы 6-5 можно увидеть, что для K_а = 1.77 функция нормального распределения имеет.9616 (96.2 процентов) области ниже x + 1.77 и 3.8 процентов области выше x + 1.77, так как вся область при функции нормального распределения = 1.00. Из-за симметрии тогда x-1.77 имеет 3.8 процента данных ниже того пункта. Учитывая предполагаемое среднее и стандартное отклонение для среднего по ансамблю, ожидается что приблизительно 4 процента индивидуальных результатов тестов упадут ниже 91 процента или вне низкого спецификационного предела.

Таблица 6-5. Функция распределения вероятности для нормального распределения

Теперь, если для определения плотности данное количество значений индивидуальных образцов усреднено, изменчивость уменьшается, общее среднее число остается тем же самым, и процент результатов ниже 91 процента уменьшается. Стандартная ошибка среднего определена как:

где

= стандартная ошибка среднего;

= стандартного отклонения среднего по ансамблю;

n = число индивидуальных образцов, которые включены в каждое среднее.

Предположим, например, что четыре испытательных результата усреднены, чтобы получить средний результат испытаний. Тогда

и нормальный стандарт отклонения Ka, тогда становится

Из статистической таблицы может увидеть, что для Ka = 3.52 область кривой ниже x + Ka - 0.9998, это означает, что 99.98 % данных падает ниже x + 3.52 и только 0.02 % - выше x + 3.52 или ниже x - 3.52. Усредняя 4 образца для каждого пункта данных ожидается, что процент материала будет ниже требований спецификации и уменьшится приблизительно от 3.8 процентов до приблизительно 0.02 процентов.

Прошлый опыт часто обеспечивает хорошее указание на ожидаемое значения для различных свойств смеси типичного проекта. Однако, σ уникален для каждого проекта и не может быть точно предположен ни для одного из них. После того, как для проекта получены достаточные данные, и можно вычислить σ, может быть определена изменчивость результатов испытаний и может быть сформировано мнение относительно того, проводится ли хороший контроль (σ низкое), или проводится плохой контроль (σ высоко).

Большое количество данных было собрано, чтобы оценить типичную изменчивость свойств дорожного покрытия (26). Типичные значения для содержания асфальта и плотности показаны ниже:

Свойства	Стандартное отклонение
Содержание асфальта, процент по весу	0.20
Плотность асфальтовой смеси, процент лабораторной плотности	1.02

Другая работа показала, что стандартное отклонение для содержания битума может доходить до 0.30. Значения стандартных отклонений для гранулометрического состава заполнителя показали связь с процентом прохождения сита специфического размера. Типичные результаты показаны на Рис 6-37. Теперь рассмотрите практическую проблему, с которой сталкиваются на многих проектах укладки дорожного покрытия. Горяча асфальтобетонная смесь производится и проверяется как заказчиком так и подрядчиком. Содержание битума измеряется, используя тест экстракции растворителем. Из-за высокого поглощения заполнителем, часть битумного вяжущего застревает в порах заполнителя и не может быть растворена растворителем, поэтому кажется, что содержание битума низко. Тесты подрядчика показывают, что большее количество битумного вяжущего удаленно растворителем, чем по результатам тестов заказчика; следовательно, возникают два набора данных (иллюстрация 6-38). Ни данные владельца, ни данные подрядчика не представляют фактическое содержание асфальта, так как оба набора тестов оставляют некоторое количество битумного вяжущего в заполнителе. Погрешность в результатах испытаний определяется как различие между истинным значением и фактическим, наблюдаемым результатом испытания.

Иллюстрация 6-37. Значения типичного стандартного отклонения для гранулометрического состава заполнителя

 

Иллюстрация 6-37. Сравнение результатов тестов заказчика, подрядчика и истинное значение

Погрешность тестов заказчика отличается от погрешности тестов подрядчика. Главная цель испытаний состоит в том, чтобы измерить истинную ценность, уменьшив погрешность до приблизительно ноля и минимизировав изменчивость, связанную с процессом испытания. Если и заказчик, и подрядчик усредняют количество образцов для каждого пункта данных, изменчивость пунктов данных уменьшается; однако, это не влияет на погрешность. Погрешность может быть уменьшена только, удалив больше битумного вяжущего из заполнителя во время проведения теста извлечения.

Пример 6-5. Спецификации должны иметь реалистический допуск, как обсуждалось ранее. Предположим, что спецификация для асфальтобетонной смеси требует, чтобы плотность была между 93.0 и 96.0 процентов теоретической максимальной плотности. Если стандартное отклонение для процентной плотности - 1.0, это – реалистичный допуск? Если подрядчик строит дорожное покрытие со средней плотностью горячей асфальтобетонной смеси 94.5 процентов, какой объем данных испытаний можно ожидать, будет вне требований спецификации?

Так как K_a = (96.0 - 94.5)/1.0 = 1.5, можно увидеть из таблицы 6-5, что 93.3 процента данных находятся ниже 96.0 процентов ТМП и что 6.7 процентов данных находятся выше 96.0 процентов ТМП. Если подрядчик усредняет до 94.5 (средний уровень), тогда приблизительно 13.4 процентов тестов (6.7 процентов в каждом конце кривой) будут вне диапазона спецификации. Вероятно это не реалистичная спецификация, если для определения соответствия должны использоваться индивидуальные значения испытаний.

Что случается если каждый полученный результат усредняется для каждого набора из четырех тестов? Стандартная ошибка погрешности среднего результатов четырех испытаний вычисляется как показано ниже:

 

Теперь, если среднее = 94.5, K_a становится (96 - 94.5)/0.5 = 3.0. Используя Таблицу 6-5 для K_a 3.0 показывает, что 94.5+ K_a имел бы 99.87 процентов данных ниже этого значения, в то время как 94.5± K_a будут содержать 1.00-2 (.0013) = 99.74 процентов данных. Следовательно, можно ожидать, что только 2 теста из 1000 будет вне спецификаций, если среднее = 94.5, и стандартное отклонение = 1.0. Эта спецификация является намного более реалистической, с точки зрения быть выполнимой для подрядчика, когда используется стандартная погрешность среднего. Эта проблема показывает, что терпимость к данным параметрам смеси может быть уменьшена, когда используется стандартная ошибка среднего вместо стандартного отклонения.