Навигация:

Главная Случайная страница Обратная связь ТОП Интересно знать Избранные Новые материалы

Топ:

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...

Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...

Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...

Интересное:

Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...

Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...

Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...

Дисциплины:

Автоматизация Антропология Археология Архитектура Аудит Биология Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Журналистика Зоология Иностранные языки Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыкология Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Теология Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Энергетика Юриспруденция

Сравнительный анализ аксиоматик школьных учебников по геометрии под редакцией Погорелова А.В. и Колмогорова А.Н.ф

2019-08-26

706

0.00 из 5.00 0 оценок

Заказать работу

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

	Структура аксиоматики Погорелова А.В.	Структура аксиоматики Колмогорова А.Н.
Структура	S={M₁, M₂, М₃, М₄ Δ₁‚ Δ₂‚ Δ₃‚ Δ₄, }	S'={M'₁, M'₂, М'₃, Δ'₁‚ Δ'₂ }
Неопреде-ляемые понятия	Точка, прямая, плоскость	Точка, прямая, некоторые неотрицательные числа
Отношения	отношение принадлежности, отношение «лежать между», отношение расстояния, отношение существования.	Отношение принадлежности, тернарное отношение
Список аксиом	I группа – аксиомы принадлежности точек и прямых на плоскости. Аксиома. I Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащей ей. II группа – аксиомы расположения точек на прямой. Аксиома. II.1 Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими Аксиома. II.2 Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. ΑB⋔а, СD⋂а, АВ∊α, С∊α, D∊β Аксиома. II.3 Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данный полупрямой. III группа – аксиомы измерения отрезков и углов. Аксиома III.1 Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. Аксиома. III. 2 каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусов. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящем между его сторонами. IV группа – аксиомы откладывания отрезков и углов. Аксиома. IV.1 На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длинны и только один. Аксиома. IV.2 От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180 градусов, и только один. V – аксиома параллельных прямых. Аксиома.V Через точку, не лежащей на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.	I группа – аксиомы принадлежности точек и прямых на плоскости. Аксиома. I.1 Каждая прямая есть множество точек. Аксиома. I.2 Для любых двух точек существует одна и только одна содержащая их прямая. Аксиома. I.3 существует хотя бы одна прямая; каждой прямой принадлежит хотя бы одна точка. II группа – аксиомы расстояния. Аксиома. II.1 любым точкам А и В поставлено в соответствии неотрицательное действительное число \|АВ\|, называемое расстоянием от точки А до точки В. Расстояние \|АВ\| равно нулю тогда и только тогда, когда точки А и В совпадают. Аксиома. II.2 Расстояние от точки А до точки В равно расстоянию от точки В до точки А. \|АВ\| =\|ВА\|. Расстояние не меняется от порядка название точек. Аксиома. II.3 Для любых точек А,В и С расстояние от А до С не больше суммы расстояний от А до В и от В до С. III группа – аксиомы порядка Аксиома. III.1. Три точки принадлежат одной прямой тогда и только тогда, когда одна из них лежит между двумя другими. Аксиома. III.2. Любая точка прямой разбивает множество отличных от нуля точек прямой на два множества непустых подмножества так, что точка лежит между любыми двумя другими точками, принадлежащим разным подмножествам. Аксиома III.3. Для любого неотрицательного действительного числа х на заданном луче существует одна и только одна точка, расстояние от которой до начала луча равно х. Аксиома III.4. любая прямая разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на две непустые выпуклые области. I V группа – аксиомы подвижности Аксиома I V.1. Для любой пары лучей и прилежащих к ней полуплоскостей существует единственное перемещение, отображающее один луч на другой, а полуплоскость на другую полуплоскость. V группа – аксиомы параллельных Аксиома V. Через данную точку плоскости проходит не более одной прямой, параллельной данной прямой.
Список теорем	Теорема. I '.1 Каждая прямая есть множество точек. Теорема. I '.2 Для любых двух точек существует одна и только одна содержащая их прямая. Теорема I '.3 существует хотя бы одна прямая; каждой прямой принадлежит хотя бы одна точка. Теорема. II '.1 любым точкам А и В поставлено в соответствии неотрицательное действительное число \|АВ\|, называемое расстоянием от точки А до точки В. Расстояние \|АВ\| равно нулю тогда и только тогда, когда точки А и В совпадают. Теорема II '.2 Расстояние от точки А до точки В равно расстоянию от точки В до точки А. \|АВ\| =\|ВА\|. Расстояние не меняется от порядка название точек. Теорема. II '.3 Для любых точек А,В и С расстояние от А до С не больше суммы расстояний от А до В и от В до С. Теорема III '.1. Три точки принадлежат одной прямой тогда и только тогда, когда одна из них лежит между двумя другими. Теорема III'.2. Любая точка прямой разбивает множество отличных от нуля точек прямой на два множества непустых подмножества так, что точка лежит между любыми двумя другими точками, принадлежащим разным подмножествам. Теорема III '.3. Для любого неотрицательного действительного числа х на заданном луче существует одна и только одна точка, расстояние от которой до начала луча равно х. Теорема III'.4. любая прямая разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на две непустые выпуклые области. Теорема I V '. Для любой пары лучей и прилежащих к ней полуплоскостей существует единственное перемещение, отображающее один луч на другой, а полуплоскость на другую полуплоскость. Теорема V '. Через данную точку плоскости проходит не более одной прямой, параллельной данной прямой.	Теорема I Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащей ей.. Теорема.II.1 Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими Теорема. II.2 Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. ΑB⋔а, СD⋂а, АВ∊α, С∊α, D∊β Теорема. II.3 Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данный полупрямой. Теорема III.1 Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. Теорема. III. 2 каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусов. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящем между его сторонами. Теорема. IV.1 На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длинны и только один. Теоерма. IV.2 От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180 градусов, и только один. Теорема.V Через точку, не лежащей на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Сравнивая данные аксиоматики школьных учебников, мы делаем вывод, что они имеют различии в одном понятии: в одной аксиоматики – это множество плоскостей, а в другой – множество некоторых неотрицательных чисел. Отличаются также и отношения: в одной аксиоматики их четыре, а в другой две. Сходство лишь находим в одном отношении – отношение принадлежности. В аксиоматики Колмогорова не указаны отношения расстояния, хотя само расстояние дано как неопределяемое понятие. Переходя к списку аксиом, можно сказать о число групп данных учебников совпадает и их пять. Формулировки в первых группах аксиом немного отличаются, но несут один и тот же смысл. Вторую группу аксиом у Погорелова можно сопоставить с третьей группой у Колмогорова. Пятая группа является общей, так как присутствует в каждой аксиоматики. Далее я проведу доказательство выполнимости аксиом в структурах школьных учебников.

⇐ Предыдущая 1 23

Поделиться с друзьями:

Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...

Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...

Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...