Глава 3.Практическая часть( Моделирование экономической динамики в форме задачи оптимального управления)

3 .1. Примеры задач оптимального управления экономическими системами

Пример 1. Однопродуктовая модель оптимального развития экономики. Обозначим через X количество валового объема продукции, производимого в единицу времени (интенсивность выпуска валовой продукции), через C – интенсивность потребления. Однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель Леонтьева представляет собой балансовое соотношение

                          X=aX+b +C.                                                    (3.1)

Соотношение (3.1) показывает, как валовая продукция X распадается на три составляющие. Первая составляющая, aX – это производственные затраты, которые пропорциональны выпуску продукции X (a – коэффициент производственных материальных затрат). Вторая составляющая, – прирост основных производственных фондов. В этой модели предполагается, что амортизационные отчисления отсутствуют, и все валовые капитальные вложения идут на ввод в действие новых основных производственных фондов. При этом считается, что капиталовложения пропорциональны приросту выпуска продукции в данном году (b – коэффициент приростной фондоемкости). Третья составляющая, C, – это непроизводственное потребление.                                                                                                                                                                                                                                         Предположим, что рассматривается развитие экономики на отрезке времени от  (например, лет). Согласно. (3.1), при каждом значении t экономический процесс на макроуровне может быть описан уравнением

                                  C(t)                         (3.2)

Это обыкновенное дифференциальное уравнение относительно X(t). Так как количество производимой продукции определяется потреблением, то непроизводственное потребление можно считать движущей силой экономического процесса. Перенося это на язык математики, можно сказать, что в уравнении (3.2) C(t) – это управление, a X(t) -состояние экономической системы. Естественно предположить, что известно начальное состояние системы, то есть интенсивность валового выпуска в начальный момент времени. Переменные состояния X(t) в этой системе конечно же, неотрицательны, а величина потребления C(t) может изменяться только в каких-то определенных границах. Таким образом, имеем следующие ограничения для управляемого процесса (3.1.2):

                               X() = .                                         (3.1.3)

                              X(t) ≥ 0, t [ ],                            (3.1.4)

                             , t [ ].               (3.1.5)  

Рассматриваемый процесс управления должен быть организован так, чтобы потребление было как можно больше, и в то же время в конечный момент времени должна быть высокой интенсивность выпуска продукции, что означает накопление производственного потенциала. Критерий качества процесса, предусматривающий эти требования, может быть выражен функционалом вида

         J(X(t),C(t))=a  C(t)dt+βX()                       (3.1.6)   

Здесь первое слагаемое – это суммарное взвешенное потребление на промежутке [ ]; второе слагаемое – интенсивность выпуска в конечный момент времени, α,β - весовые коэффициенты. Если предпочтение отдается потреблению,  то  α> β, а если предпочтение отдается накоплению производственного потенциала, то    α<β. Подынтегральное выражение  C(t) – дисконтированное потребление, – коэффициент дисконтирования. Таким образом, мы рассмотрели экономическую задачу управления процессом распределения валового продукта, моделью которой служит однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель Леонтьева. Если при этом ставится цель роста потребления и наращивания экономического потенциала, то эта задача становится задачей оптимального управления Полученная задача оптимального управления состоит в нахождении состояния X(t) и управления C(t), которые удовлетворяют уравнению (3.1.2), условиям (3.1.3) – (3.1.5) и доставляют максимум функционалу (3.1.6).                                                           

Пример 2. Оптимальное распределение капитальных вложений в отрасли. Обозначим через K(t) величину основных производственных фондов в году t. Если проследить их изменение за промежуток времени Δt, то величина ΔK прироста основных производственных фондов за этот промежуток будет равна

                                          ΔK=K(t+ Δt)- K(t).

Рост основных производственных фондов происходит за счет капитальных вложений. Однако за счет физического и морального износа количество их уменьшается с течением времени. Обозначим через V(t) интенсивность ввода основных производственных фондов, т. е. количество вводимых фондов за единицу времени, например за год. Будем считать, что величина выбытия фондов в году t пропорциональна K(t) и равна  K(t), то есть величина  K(t) – это интенсивность выбытия основных производственных фондов. Так как мы рассматриваем промежуток времени Δt, то за этот промежуток времени будет введено V(t)Δt единиц новых фондов, а количество выводимых из производства фондов составит  K(t)Δt единиц.                                                   

Таким образом, уравнение баланса основных производственных фондов будет иметь вид:

                        K(t+ Δt)- K(t)= V(t)Δt -  K(t)Δt.                                                  

Поделим обе части этого равенства на Δt и устремим Δt к 0. Получим:

                                     = -  K(t)+ V(t).                                    (3.1.7)

Обыкновенное дифференциальное уравнение (2.4.7) является моделью роста основных производственных фондов отрасли. Этот экономический процесс можно рассматривать как управляемый, если считать V (t) управлением, K (t) состоянием. На переменные состояния и управления следует наложить естественные ограничения:

                           K () = .                                                            (3.1.8)

                          K (t) ≥ 0, t [ ],                                               (3.1.9)

                          , t [ ].                                 (3.1.10)  

где – заданное начальное значение основных фондов,                                                 , – известные постоянные, или зависящие от времени функции. Для оценки протекающего процесса введем в рассмотрение критерий качества:                                                                                                             

                        F (K (t), V (t))= α (t) dt - βK                          (3.1.11) Теперь можно сформулировать задачу оптимального управления: требуется найти пару V(t),K(t), которая удовлетворяет уравнению (2.4.7), условиям (2.4.8) – (2.4.10) и доставляет минимум критерию качества (2.4.11). Так как функционал F состоит из двух слагаемых, то его минимизация означает, во-первых, экономию капиталовложений а во-вторых, максимизацию K(  основных фондов в конце рассматриваемого отрезка времени (так как второе слагаемое входит со знаком минус). Числа α,β – это весовые коэффициенты, α <0, β>0. Если β < |α|, то приоритет отдается первому требованию, если |α| < β – то второму.

Пример 3 [2]. Оптимальное распределение капитальных вложений между отраслями. Этот пример обобщает пример 2 на случай нескольких отраслей. Рассматривается процесс распределения основных производственных фондов между отраслями в течение некоторого промежутка времени. Пусть имеется n отраслей. Обозначим через  (t) величину основных фондов j -й отрасли в году t,  – коэффициент ежегодного выбытия фондов в j -й отрасли,  (t) – величину вводимых в действие в году t основных фондов в j -й отрасли. Аналогично предыдущему примеру можно вывести уравнение баланса основных фондов для каждой отрасли:

                       (t) = - (t)+  (t),  j=1,……,n, t [ ]. (3.1.12) В результате мы получим систему дифференциальных уравнений как модель изучаемого экономического процесса. В этой системе

V (t)=   – вектор управления, K (t)=  – вектор состояния.

Должны быть известны основные фонды отраслей в начале исследуемого промежутка времени:

                   , i =1,………., n.                                  (3.1.13) Переменные управления и переменные состояния должны быть неотрицательны:

                         i=1,……….,n, t [ ]. (3.1.14) Суммарная величина вводимых в действие основных фондов должна быть ограничена:

                                                               (3.1.15) Критерий качества в данном случае будет иметь вид:

         F(K(t),V(t))=  –    

Итак, задачу оптимального распределения капиталовложений между отраслями можно сформулировать как задачу оптимального управления для системы (2.4.12) при ограничениях (2.4.13) – (2.4.15) с критерием качества (2.4.16). 

                                                

 

                                           Заключение

Для изучения влияния управленческих решений на функционирование, сохранение и развитие производственных систем необходимо рассматривать систему как единое целое, характеризующееся входящими в нее элементами и их взаимосвязями, объединенное общностью целей и особым единством со средой. Подход к анализу производственных систем и влияния на них управленческих решений разрабатывается с единых методологических позиций при рассмотрении теории систем как совокупности различных моделей и способов их описания. С этой целью используются принципы системного подхода экономическая система как некоторые аспекты математического моделирования. При таком подходе проблема рассматривается в целом, и поведение объекта изучают, абстрагируясь от его внутреннего устройства. Рассматривается задача оптимального управления объектами, которые описываются моделирование экономической динамики в форме задачи оптимального управления. Формулируются и подробно обсуждаются известные конкретные методы с единых методологических позиций - достаточных условий оптимальности В.Ф.Кротова предназначенные для решения задач оптимального управления. На основе этих методов исследуется модель односекторной экономики, а также некоторые другие задачи экономического содержания. Курсовая работа предназначена студентам – экономистам и слушателям программ высшего профессионального обучения по управлению на предприятиях.

 

                          

 

                                                    Литература

1. Л. К. Суровцов. Многоотраслевая Модель экономической динамики с постоянными коэффициентами затрат, выпуска и распределения доходов.из-во / Вестник Санкт-Петербургского университета. Экономика-2011 г.

2. Р. Р. Дужински, Е. Л. Торопцевь, А. С. Мараховский/ Системные проблемы экономического роста в современной России.из-во/Северо-Кавказский федеральный университет, Ставрополь, Российская Федерация  -2017 г.

3. А. Н. Тырсин, Н. Л. Никулина, М. С. Печеркина, Оптимизационное моделирование как инструмент управления экономической безопасностью региона/из-во./Институт экономики УрО РАН, Уральский федеральный университет им. Б. Н. Ельцина Россия, 620016, г. Екатеринбург, ул. Московская, 29

4. Колмакова, А. И. Многометодная оптимизация управления в экономической модели выбора налоговой ставки для предприятий энергетической отрасли / А. И. Колмакова // Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика. – 2013. – №. – С.

5. Кислицын, Е. В. Аналитическое и имитационное моделирование экономических систем как средство формирования социально-ориентированной экономики в России / Е. В. Кислицын. – Екатерибург: изд-во Уральского государственного экономического университета, 2014.