Библиотека конечных элементов

В каждой программе, реализующей конечно-элементный анализ, описывается совокупность используемых элементов. Чем шире набор и функциональные свойства элементов, тем большими возможностями обладает тот или иной программный комплекс. Примеры некоторых конечных элементов, их графическое представление и краткое описание приведены в таблице 1. При этом не ставилась задача сравнить возможности библиотек тех или иных пакетов, равно как и не преследовалась цель описать все особенности, которыми отличаются элементы этих библиотек. Эти и многие другие сведения могут быть найдены в специальной литературе.

Конечные элементы обычно группируются по их назначению, например, 

· элементы стационарного и нестационарного теплообмена; 

· элементы для моделирования вязкоупругих и вязкопластичных материалов; 

· элементы сплошной среды для анализа движения потоков жидкости и газа, решения задач гидроаэромеханики, акустики и течения сред в каналах; 

· элементы для расчета статических и динамических напряжений; 

· элементы для анализов, включающих как тепловые, так и электрические эффекты; 

· элементы для анализа произвольно меняющихся во времени магнитных полей; 

· элементы связанной задачи для расчетов, в которых учитывается взаимовлияние результатов двух или более видов анализа (прочностного, теплового, магнитного, сплошной среды, электрического);

·   элементы для моделирования нелинейного контакта; 

· элементы комбинированные, матричные, поверхностные и др.

 

Таблица 1- Примеры конечных элементов

 

 

 

Конечные элементы предназначены для формализации задач в двумерной (2D) или трехмерной (3D) постановке. Графическими примитивами элементов являются «узел», «связь», «грань».

Элементы могут быть линейными или нелинейными (с промежуточными узлами в середине связи). Нелинейные элементы позволяют получать более достоверные результаты.

 

1.4 Препроцессорная подготовка анализа

Конечно-элементный анализ состоит из трех основных этапов: начальной подготовки (препроцессорной подготовки), получения решений и обработки результатов моделирования (постпроцессорной обработки).

Среди задач, которые инженер решает на первом этапе, можно выделить создание модели изделия, создание сеточной модели, контроль качества сеточной модели и ее модификацию, определение данных и ограничений и др.

Типы моделей. В инженерном анализе различают три типа моделей: геометрическую, расчетную и сеточную. Геометрическая модель обычно представляет собой модель машиностроительного изделия в целом или его детали. Расчетная модель - это упрощенная геометрическая модель, которая используется для анализа. Нередко эта модель является составной частью самого анализа. Упрощение или идеализация геометрической модели достигается путем удаления тех ее элементов, которые несущественно влияют на результаты анализа. Сеточная модель представляет собой совокупность узлов и элементов, которая натягивается на расчетную модель. Как уже отмечалось, геометрическая и расчетная модели обычно создаются на этапе конструирования средствами твердотельного и поверхностного моделирования.

Построение сеточной модели. В универсальных программах существуют несколько способов генерации сетки. Например, в программе ANSYS используются методы экструзии, создания упорядоченной сетки, создания произвольной сетки и адаптивного построения. В программе SAMSEF кроме перечисленных методов применяются методы балок, Delaunay-Voronoi, Pavior и др.

Экструзия (выдавливание) - способ построения трехмерной модели сетки путем перемещения и сдвига основания в определенном направлении или путем вращения поперечного сечения вокруг заданной оси. Этот способ позволяет создать сеточную модель, не используя ассоциированную расчетную модель изделия.

 

Рисунок 2 - Переход от геометрической модели к сеточным моделям

Рисунок 3 - Генерация элементов сетки методом экструзии:

 

а, б - перемещением основания вдоль заданного направления;

 в - перемещением со сдвигом основания;

 г - полный поворот сечения на 360°вокруг заданной оси;

д - неполный поворот вокруг заданной оси;

е - неполный поворот со сдвигом

Методом экструзии можно генерировать одномерные элементы, двумерные элементы (обычно четырехугольники) и трехмерные элементы (пяти- и шестигранники). Так, треугольник генерирует пятигранник, а четырехугольник - шестигранник.

 

 

Рисунок 4 - Результаты построения сетки различными методами

 

Основание, на котором строится экструзия, может быть скомпоновано из узлов или одно- и двумерных элементов. В качестве основания также может использоваться ранее созданная вся сеточная модель. Можно использовать результат экструзии в качестве основания следующей экструзии. Например, при помощи экструзии одномерного элемента будет получен двумерный элемент, который может быть использован как основание для экструзии трехмерного элемента.

При построении упорядоченной сетки необходимо предварительно разбить расчетную модель на участки с простой геометрией, ввести ограничения и критерии качества сеточной модели, а затем запустить программу генерации сетки. Сетка может состоять из шести-, четырех- и треугольных элементов. Например, метод Pavior предназначен для генерации сетки преимущественно в виде четырехугольников. Им можно воспользоваться для предварительных расчетов, так как часто сетка получается невысокого качества. Чтобы получить треугольную сетку, программа выделяет области расчетной модели, предназначенные для нанесения упорядоченной сетки, используя ранее заданные ограничения и критерии качества сеточной модели. Затем полученная методом Pavior или любым другим методом четырехугольная сетка перестраивается в сетку из треугольных элементов. В этом случае для построения треугольной сетки высокого качества можно воспользоваться методом Delaunay-Voronoi. На завершающем этапе отдельные участки сетки собираются в единую сеточную модель. Метод построения упорядоченной сетки является одним из наиболее распространенных и базируется на использовании расчетной модели.

В различных программах анализа имеются специальные средства генерации произвольной сетки, с помощью которых она может наноситься непосредственно на модель достаточно сложной геометрии. Произвольную сетку можно строить из треугольных, четырехугольных и четырехгранных элементов. Генераторы произвольной сетки обладают широким набором функций управления качеством сетки. Например, в программе ANSYS реализован алгоритм выбора размеров конечного элемента, позволяющий строить сетку элементов с учетом кривизны поверхности модели и наилучшего отображения ее реальной геометрии.

Метод построения тетраэдной сетки полезен для создания трехмерных элементов, в основе которых лежат треугольники. Используемая базовая геометрия двумерной сетки не должна иметь свободных незамкнутых граней. На предварительном этапе проверяется качество сетки, а именно выявляются и предъявляются пользователю незамкнутые элементы и элементы с несогласованной ориентацией.

Адаптивное построение сетки состоит в том, что после создания расчетной модели и задания граничных условий генерируется конечноэлементная сетка, затем выполняется анализ, оценивается ошибка дискретизации сетки, после чего меняется размер сетки. Процесс протекает до тех пор, пока значение погрешности не станет меньше заданного, или число итераций не достигнет допустимого значения.

Универсальные программы анализа (ANSYS, SAMTECH и др.) располагают дополнительными возможностями формирования сеточных моделей, к которым относятся метод суперэлементов и метод подмоделей.

В методе суперэлементов некоторая часть смежных элементов сводится к одному эквивалентному элементу. Суперэлемент может формироваться из конечных элементов любого типа, однако нужно учитывать, что в этом случае поведение суперэлемента предполагается линейным даже в том случае, когда в его состав введен нелинейный элемент. Аналогичные упрощения можно выполнить и с расчетной моделью – простые участки расчетной модели изделия рассматриваются как домен, на котором создается один конечный суперэлемент. В основе такого подхода лежит матричное уплотнение, с помощью которого такие параметры, как жесткость (проводимость), масса (удельная теплоемкость) и сопротивление приводятся к системе ведущих степеней свободы. Метод супермоделей позволяет сократить время решения.

На подготовительном этапе важно так сформулировать задачу анализа, чтобы, с одной стороны, получить правильное решение, а с другой - не потерять много ресурсов и времени. Поэтому инженер может вначале попытаться создать крупную сетку, так как в этом случае преимущество заключается в том, что потребуется относительно меньше времени для решения задачи. Однако работа с крупной сеткой может привести к потере значимых физических явлений.

Для того чтобы повысить эффективность моделирования, можно воспользоваться методом подмоделей. Сущность этого метода сводится к следующему.

По опыту своей работы инженер знает, на каких участках геометрической модели могут возникнуть повышенные напряжения, изменения плотности потока, скачки температур и т.п. В сеточной модели можно выделить эти участки и для них построить сетку с параметрами, отличными от параметров сетки остальных участков. Теперь методом подмоделей можно провести анализ как для всей сетки, так и получить более подробный анализ только для выделенной области.

Важной особенностью этого метода является возможность задания граничных условий для подмодели на основе отклика начальной сеточной модели. В программе ANSYS, например, используя результаты решения для грубой модели, можно определить соответствующие ограничения степеней свободы на границах подмодели (перемещения, температуры, напряжения или потенциалы) и использовать их при проведении анализа подмодели. Повторять анализ всей модели нет необходимости.

Использование метода подмоделей дает следующие преимущества: 

· исключается необходимость осуществления трудновыполнимого перехода между областями модели с крупной и мелкой сеткой; 

· исследование влияния вносимых в проект локальных изменений геометрии проводится без повторного анализа целиком всей модели; 

· уточнение подробностей в зонах особого внимания (например, в областях высоких напряжений) можно выполнить, не располагая до начала анализа информацией о местоположении этих зон; 

· исключается необходимость описывать мелкие подробности геометрии (отверстия, галтели и др.), которые можно рассмотреть с помощью подмоделей; 

· пользователь может создавать твердотельные подмодели из оболочечных элементов грубой модели.