Кинематическое исследование механизмов

ПОСТРОЕНИЕ ПЛАНА МЕХАНИЗМА.

 

Компрессоры подвижного состава железных дорог Российской Федерации одноцилиндровые и многоцилиндровые состоят из кривошипа (коленчатого вала) и присоединенных к нему структурных групп (группы Ассура). Например, V - образный компрессор (рис.1), независимо от угла между осями цилиндров α состоит из кривошипа 1,шатунов 2 и 4, ползунов (поршней) 3 и 5. С точки зрения структуры этого механизма он состоит из механизма 1го класса 1го порядка (звено 1) двух структурных групп 1го класса 2го порядка 2 модификации (рис.2).

Присоединением к кривошипу еще одной структурной группы можно получить 3-х цилиндровый механизм (звенья 6 и 7 на рис.1).

Кинематический расчет механизма компрессора сводится к расчету параметров движения звеньев, входящих в состав указанных групп. При этом алгоритм определения этих параметров будет одним и тем же для каждой группы независимо от положения звеньев в механизме.

Для кинематического расчета механизма задается его кинематическая схема с указанием размеров звеньев, положение кривошипа в рассматриваемый момент времени и скорость его вращения.

План механизма (кинематическая схема) для выполнения расчетов графоаналитическим методом строится с использованием масштаба.

При расчете механизмов часто применяют так называемый масштабный коэффициент К_ℓ, равный отношению действительных размеров звеньев к их размерам на чертеже, т.е.

 

 

 

Например, действительная длина кривошипа ℓ_OA= 0.05м, отрезок ОА, изображающей его на чертеже, примем ОА=25мм.

Масштабный коэффициент К_ℓ при этом будет равен:

 

 

т.е. в 1мм чертежа содержится 2мм действительного размера. Фактически это масштаб уменьшения 1:2.

Иногда при построении кинематической схемы механизма необходимо определить недостающие размеры звеньев. Пусть,например, задано λ=ℓ_OA/ℓ_AB (параметр механизма), тогда длина ℓ_AB при заданном ℓ_OA и λ определится из соотношения ℓ_AB =ℓ_OA/ λ.

Разделив размеры всех звеньев на принятый масштабный коэффициент, найдем отрезки, изображающие их на чертеже.

 

Для выбора заданного положения кривошипа траектория точки А (окружность)разбивается на 12 равных частей от начала отсчета, в качестве которого чаще всего принимается положение точки А на линии ОВ. Отсчет положений точки А (по часовой или против часовой стрелки) производится в зависимости от заданного направления вращения кривошипа.

Положение точек В и С на линии ОВ и ОС находим методом «засечек» циркулем, установленным в точку А и содержащим размер звеньев АВ и АС, в принятом масштабе. На звеньях АВ и ВС необходимо указать положение их центров масс (в соответствии с заданием).

Размеры прямоугольников, изображающих поршни компрессора 3 и 5 не должны соответствовать их действительным размерам и выбираются произвольно как условное изображение поступательно движущихся звеньев.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ЗВЕНЬЕВ МЕХАНИЗМА С ПОМОЩЬЮ ПЛАНА СКОРОСТЕЙ.

Обычно принимается что кривошип вращается с постоянной угловой скоростью. Линейная скорость точки А кривошипа, как известно, определяется по формуле:

 

где ω₁ -угловая скорость вращения кривошипа, которую определим по формуле

class=WordSection2>

Здесь n₁ -число оборотов кривошипа в мин.

Вектор скорости точки, движущейся по какой-либо траектории всегда направлен по касательной к траектории в этой точке. В нашем случае вектор скорости в точке А направлен по касательной к окружности в точке А, т.е. перпендикулярен к радиусу ОА. Из произвольной точки P_V на плоскости проводим отрезок произвольной длины, который будет в масштабе (масштабный коэффициент скорости) изображать скорость точки. Величина будет равна:

class=WordSection3>

 

т.е. масштабный коэффициент показывает сколько единиц скорости содержится в одном миллиметре отрезка .

Далее определяем скорость точки В, принадлежащей одновременно звеньям 2 и 3. Звено 2 совершает сложное плоскопараллельное движение. В сложном движении скорость точки В определим в соответствии с векторным уравнением:

 

(4)

 

где - вектор скорости точки В

- вектор скорости точки А

- вектор скорости точки В относительно А.

 

В векторном уравнении (4) скорость точки А известна по величине и по направлению, скорости V_B и V_A известны только по направлению. Скорость точки В направлена по линии ОВ (движение ползуна-поршня 3 по направляющим), вектор скорости точки В относительно точки А будет направлен перпендикулярно отрезку АВ как радиусу окружности, описываемой точкой В в ее относительном движении вокруг точки А. В соответствии с этим из точки P_V проводим луч параллельный линии ОВ, а из точки отрезка луч, перпендикулярный АВ. Пересечение этих лучей в точке определяет отрезок , который в принятом масштабе изображает скорость точки В, а отрезок изображает скорость точки В относительно точки А.

Направление векторов этих скоростей должно соответствовать уравнению (4), а их величина определяется из соотношений:

 

 

Аналогичным образом определяются скорость точки С и точки С относительно точки А. Положение точек S₂ и S₄ (центров масс), звеньев на плане скоростей определяется в соответствии с условием подобия: их расположение не плане скоростей подобно расположению на схеме механизма. Так, например, если точка S₂ находится на одной трети отрезка АВ, а точка S₂ на плане скоростей будет также находиться на одной трети отрезка . Соединив точки S₂ и S₄ с полюсом плана скоростей получим векторы скоростей этих точек, а величина скорости определится из

cоотношения:

, м/c

 

, м/c

 

Построенный план скоростей для механизма компрессора позволяет определить угловые скорости звеньев 2 и 4 в их вращательном движении.

Как уже говорилось, отрезок плана скоростей аb (вектор) обозначает скорость точки В относительно точки А. Разделив величину скорости на действительную длину звена АВ получим угловую скорость звена 2, т.е.

 

 

Для определения направления угловой скорости ω₂ необходимо вектор скорости приложить к точке В (см. рис 1.). Необходимо убедиться, что звено 2 при этом будет вращаться против часовой стрелки.

Угловую скорость звена 4 и ее направление определим аналогичным образом:

 

 

ПОСТРОЕНИЕ ПЛАНА УСКОРЕНИЙ.

 

Построение плана ускорений также начинаем со звена 1. В общем случае ускорение точки А, лежащей на кривошипе определится из векторного уравнения:

 

 

где - нормальное (центростремительное) ускорение точки А.

- тангенциальное ускорение точки А.

Так как кривошип вращается с постоянной угловой скоростью

 

class=WordSection4>

Центростремительное ускорение точки А определим по формуле:

 

 

 

Для построения плана ускорений из произвольной точки проводим луч произвольной длины(но не менее 100 мм) параллельно кривошипу. Зная величину ускорения длину отрезка (мм) определим масштабный коэффициент ускорений .

.

Ускорение точки В в сложном движении шатуна определим в соответствием с векторным уравнением:

 

 

В уравнении (5) имеется 3 неизвестных по величине параметра

при известном их направлении. Для графического решения уравнения (5) необходимо определить величину одного из неизвестных параметров, в частности величину нормального ускорения точки В относительно точки А:

 

Вектор ускорения направлен от точки В к точке А параллельно шатуну АВ. Величина отрезка, изображающего ускорение определим из

cоотношения:

Определив величину ускорения и отложив на чертеже отрезок аn' решаем уравнение (5) графически. Для этого из точки Ра ( полюса плана ускорений) проводим луч, параллельный линии ОВ, который соответствует направлению вектора ускорения точки В, до пересечения с направлением вектора тангенциального ускорения .

Полученная фигура является решением уравнения (5); направление векторов на этой фигуре (план ускорений) должны соответствовать уравнению (5).

Величину искомых уравнений определяем умножением соответствующих отрезков плана ускорений на масштабный коэффициент ускорений:

На плане ускорений, так же как на плане скоростей, определяем положение точек S ₂ и S₄ в соответствии с теоремой подобия, после чего находим величину ускорений центров масс шатунов 2 и 4.

Для звеньев 4 и 5 искомые ускорения определяем аналогичным образом в соответствии с уравнениями:

 

 

 

 

 

Величина и направление линейных ускорений характерных точек для звеньев 2 и 4 показана на рис. 4. План ускорений позволяет определить величину и направление угловых ускорений шатунов.

Угловое ускорение шатуна 2:

 

 

угловое ускорение шатуна 4:

 

Направление этих ускорений определяется по направлению тангенциальных ускорений, приложенных в соответствующих точках (см.рис.1 и рис.4).

Планы скоростей и ускорений позволяют определить характер движения звеньев механизма. При одинаковом направлении скорости и ускорения звенья движутся ускоренно, при разном направлении- замедленно.

В нашем случае: звено-1 движется равномерно (по условию), звено 2- ускоренно, звено 3- замедленно, звено 4- замедленно, звено 5-ускоренно.

Необходимо отметить, что кинематический анализ механизма необходимо осуществлять за цикл, который в данном механизме соответствует полному обороту кривошипа.

В предположении, что кинематические параметры механизма не изменяются скачкообразно, их определяют для восьми, двенадцати и более положений кривошипа в зависимости от условий поставленной задачи.

В этом случае план механизма, планы скоростей и ускорений строятся для каждого из этих положений.

 

АНАЛИТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ.

Кинематическое исследование механизмов методом построения планов скоростей и ускорений позволяет определить с достаточной точностью величину и характер изменения кинематических параметров механизма. Однако построение планов скоростей и ускорений для нескольких положений механизма за весь цикл значительно увеличивает объем проводимой работы, особенно для сложных механизмов. Кроме того, при этом методе значительно усложняется процесс оптимизации кинематических параметров. Из-за необходимости многократных построений планов скоростей и ускорений. При использовании вычислительной техники для кинематического исследование механизмов необходимо иметь аналитические зависимости искомых параметров, позволяющие определять их за весь цикл в соответствии с изменениям обобщенных координат.

Одним из методов аналитического исследования кинематики механизмов является метод замкнутых векторных контуров, предложенный В.А. Зиновьевым [ ].

 

 

(рис.12)

 

При кинематическом исследовании механизмов этим методом каждое звено механизма представляется в виде вектора определенного направления. Рассмотрим этот метод на примере кривошипно-ползунного механизма (рис.12), в котором кривошип ОА является вектором , а шатун АВ вектором . Положение точки B в системе координат xoy обозначено вектором Условие замкнутости векторов при принятом направлении векторов и :

(1)

 

Углы и соответственно определяют положение векторов и в выбранной системе координат. Спроектируем эти векторы на оси координат:

 

 

(2)

 

(3)

 

Одной из основных задач в данном случае является нахождение функции изменения кинематических параметров механизма при изменении обобщенной координаты .

Как следует из уравнения (3):

(4)

Обозначим - параметр механизма, который в кривошипно-ползунных механизмов транспортных машин изменяется в пределах

и определяет их габариты. С учетом формула (4) примет вид:

 

(5)

Продифференцируем уравнение (3) по времени при условии .

(6)

 

 

Из уравнения (6) определим угловую скорость шатуна:

(7)

 

Для определения углового ускорения шатуна продифференцируем уравнение (6):

 

0

 

Откуда следует

(8)

 

Направление угловых скоростей и ускорений определяется по соответствии их знака принятому положительному направлению отсчета углов и .

В соответствии с (5) формулу (2) представим в виде:

 

 

Чтобы избавиться от радикала разложим его в бесконечный ряд Маклорена:

 

 

 

Этот ряд быстро сходится и для практических расчетов при достаточно использовать два первых члена. Величина третьего члена при и составляет или 0,05% от единицы.

 

Таким образом, положение точки B можно приближенно, но с достаточной степенью точности определить по формуле:

 

(9)

 

Продифференцировав дважды уравнение (9) получим также приближенные формулы для определения скорости точки B.

 

 

(10)

и соответственно ускорение:

 

(11)
Точное значения ускорения представляется в виде бесконечного тригонометрического ряда:

а

 

коэффициенты, которого определяются в зависимости от величины . В частности, при коэффициент ,254, т.е. незначительно отличается от . Для других значений параметра коэффициенты также незначительно отличаются от его величины, что потверждает возможность использования формул (10) и (11) при различных .

Определим экстремальные значения ускорения точки B. Для этого продифференцируем уравнение (11) по независимому переменному и приравняем его к нулю.

 

(12)

 

Уравнение (12) дает возможность определить угол , при котором имее

Учитывая, что не равно нулю, и заменив его значениями после преобразования получим:

 

 

откуда (13)

 

(14)

 

Из уравнения (13) получим значения угла и .

При этих значениях угла имеют место два вида уравнений, определяющих экстремальные значения ускорения :

 

при ;

 

Уравнение (14) добавляет еще два дополнительных экстремальных значения в соответствии с формулой:

Так как , то это уравнение справедливо, если . При этом значении получается два угла (во второй третьей четвертях), при которых ускорение имеет экстремальные значения.

Характер изменения ускорения в зависимости от угла для разных значений параметра показан на (рис.13).

При кинематическом исследовании сложного механизма (см.рис.1), состоящего в общем из двух кривошипно-ползунных механизмов с одним кривошипом, необходимо составить расчетную схему, которая будет зависеть от расположения выбранной системы координат.

 

 

ПОСТРОЕНИЕ ПЛАНА МЕХАНИЗМА.

 

Компрессоры подвижного состава железных дорог Российской Федерации одноцилиндровые и многоцилиндровые состоят из кривошипа (коленчатого вала) и присоединенных к нему структурных групп (группы Ассура). Например, V - образный компрессор (рис.1), независимо от угла между осями цилиндров α состоит из кривошипа 1,шатунов 2 и 4, ползунов (поршней) 3 и 5. С точки зрения структуры этого механизма он состоит из механизма 1го класса 1го порядка (звено 1) двух структурных групп 1го класса 2го порядка 2 модификации (рис.2).

Присоединением к кривошипу еще одной структурной группы можно получить 3-х цилиндровый механизм (звенья 6 и 7 на рис.1).

Кинематический расчет механизма компрессора сводится к расчету параметров движения звеньев, входящих в состав указанных групп. При этом алгоритм определения этих параметров будет одним и тем же для каждой группы независимо от положения звеньев в механизме.

Для кинематического расчета механизма задается его кинематическая схема с указанием размеров звеньев, положение кривошипа в рассматриваемый момент времени и скорость его вращения.

План механизма (кинематическая схема) для выполнения расчетов графоаналитическим методом строится с использованием масштаба.

При расчете механизмов часто применяют так называемый масштабный коэффициент К_ℓ, равный отношению действительных размеров звеньев к их размерам на чертеже, т.е.

 

 

 

Например, действительная длина кривошипа ℓ_OA= 0.05м, отрезок ОА, изображающей его на чертеже, примем ОА=25мм.

Масштабный коэффициент К_ℓ при этом будет равен:

 

 

т.е. в 1мм чертежа содержится 2мм действительного размера. Фактически это масштаб уменьшения 1:2.

Иногда при построении кинематической схемы механизма необходимо определить недостающие размеры звеньев. Пусть,например, задано λ=ℓ_OA/ℓ_AB (параметр механизма), тогда длина ℓ_AB при заданном ℓ_OA и λ определится из соотношения ℓ_AB =ℓ_OA/ λ.

Разделив размеры всех звеньев на принятый масштабный коэффициент, найдем отрезки, изображающие их на чертеже.

 

Для выбора заданного положения кривошипа траектория точки А (окружность)разбивается на 12 равных частей от начала отсчета, в качестве которого чаще всего принимается положение точки А на линии ОВ. Отсчет положений точки А (по часовой или против часовой стрелки) производится в зависимости от заданного направления вращения кривошипа.

Положение точек В и С на линии ОВ и ОС находим методом «засечек» циркулем, установленным в точку А и содержащим размер звеньев АВ и АС, в принятом масштабе. На звеньях АВ и ВС необходимо указать положение их центров масс (в соответствии с заданием).

Размеры прямоугольников, изображающих поршни компрессора 3 и 5 не должны соответствовать их действительным размерам и выбираются произвольно как условное изображение поступательно движущихся звеньев.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ЗВЕНЬЕВ МЕХАНИЗМА С ПОМОЩЬЮ ПЛАНА СКОРОСТЕЙ.

Обычно принимается что кривошип вращается с постоянной угловой скоростью. Линейная скорость точки А кривошипа, как известно, определяется по формуле:

 

где ω₁ -угловая скорость вращения кривошипа, которую определим по формуле

class=WordSection2>

Здесь n₁ -число оборотов кривошипа в мин.

Вектор скорости точки, движущейся по какой-либо траектории всегда направлен по касательной к траектории в этой точке. В нашем случае вектор скорости в точке А направлен по касательной к окружности в точке А, т.е. перпендикулярен к радиусу ОА. Из произвольной точки P_V на плоскости проводим отрезок произвольной длины, который будет в масштабе (масштабный коэффициент скорости) изображать скорость точки. Величина будет равна:

class=WordSection3>

 

т.е. масштабный коэффициент показывает сколько единиц скорости содержится в одном миллиметре отрезка .

Далее определяем скорость точки В, принадлежащей одновременно звеньям 2 и 3. Звено 2 совершает сложное плоскопараллельное движение. В сложном движении скорость точки В определим в соответствии с векторным уравнением:

 

(4)

 

где - вектор скорости точки В

- вектор скорости точки А

- вектор скорости точки В относительно А.

 

В векторном уравнении (4) скорость точки А известна по величине и по направлению, скорости V_B и V_A известны только по направлению. Скорость точки В направлена по линии ОВ (движение ползуна-поршня 3 по направляющим), вектор скорости точки В относительно точки А будет направлен перпендикулярно отрезку АВ как радиусу окружности, описываемой точкой В в ее относительном движении вокруг точки А. В соответствии с этим из точки P_V проводим луч параллельный линии ОВ, а из точки отрезка луч, перпендикулярный АВ. Пересечение этих лучей в точке определяет отрезок , который в принятом масштабе изображает скорость точки В, а отрезок изображает скорость точки В относительно точки А.

Направление векторов этих скоростей должно соответствовать уравнению (4), а их величина определяется из соотношений:

 

 

Аналогичным образом определяются скорость точки С и точки С относительно точки А. Положение точек S₂ и S₄ (центров масс), звеньев на плане скоростей определяется в соответствии с условием подобия: их расположение не плане скоростей подобно расположению на схеме механизма. Так, например, если точка S₂ находится на одной трети отрезка АВ, а точка S₂ на плане скоростей будет также находиться на одной трети отрезка . Соединив точки S₂ и S₄ с полюсом плана скоростей получим векторы скоростей этих точек, а величина скорости определится из

cоотношения:

, м/c

 

, м/c

 

Построенный план скоростей для механизма компрессора позволяет определить угловые скорости звеньев 2 и 4 в их вращательном движении.

Как уже говорилось, отрезок плана скоростей аb (вектор) обозначает скорость точки В относительно точки А. Разделив величину скорости на действительную длину звена АВ получим угловую скорость звена 2, т.е.

 

 

Для определения направления угловой скорости ω₂ необходимо вектор скорости приложить к точке В (см. рис 1.). Необходимо убедиться, что звено 2 при этом будет вращаться против часовой стрелки.

Угловую скорость звена 4 и ее направление определим аналогичным образом:

 

 

ПОСТРОЕНИЕ ПЛАНА УСКОРЕНИЙ.

 

Построение плана ускорений также начинаем со звена 1. В общем случае ускорение точки А, лежащей на кривошипе определится из векторного уравнения:

 

 

где - нормальное (центростремительное) ускорение точки А.

- тангенциальное ускорение точки А.

Так как кривошип вращается с постоянной угловой скоростью

 

class=WordSection4>

Центростремительное ускорение точки А определим по формуле:

 

 

 

Для построения плана ускорений из произвольной точки проводим луч произвольной длины(но не менее 100 мм) параллельно кривошипу. Зная величину ускорения длину отрезка (мм) определим масштабный коэффициент ускорений .

.

Ускорение точки В в сложном движении шатуна определим в соответствием с векторным уравнением:

 

 

В уравнении (5) имеется 3 неизвестных по величине параметра

при известном их направлении. Для графического решения уравнения (5) необходимо определить величину одного из неизвестных параметров, в частности величину нормального ускорения точки В относительно точки А:

 

Вектор ускорения направлен от точки В к точке А параллельно шатуну АВ. Величина отрезка, изображающего ускорение определим из

cоотношения:

Определив величину ускорения и отложив на чертеже отрезок аn' решаем уравнение (5) графически. Для этого из точки Ра ( полюса плана ускорений) проводим луч, параллельный линии ОВ, который соответствует направлению вектора ускорения точки В, до пересечения с направлением вектора тангенциального ускорения .

Полученная фигура является решением уравнения (5); направление векторов на этой фигуре (план ускорений) должны соответствовать уравнению (5).

Величину искомых уравнений определяем умножением соответствующих отрезков плана ускорений на масштабный коэффициент ускорений:

На плане ускорений, так же как на плане скоростей, определяем положение точек S ₂ и S₄ в соответствии с теоремой подобия, после чего находим величину ускорений центров масс шатунов 2 и 4.

Для звеньев 4 и 5 искомые ускорения определяем аналогичным образом в соответствии с уравнениями:

 

 

 

 

 

Величина и направление линейных ускорений характерных точек для звеньев 2 и 4 показана на рис. 4. План ускорений позволяет определить величину и направление угловых ускорений шатунов.

Угловое ускорение шатуна 2:

 

 

угловое ускорение шатуна 4:

 

Направление этих ускорений определяется по направлению тангенциальных ускорений, приложенных в соответствующих точках (см.рис.1 и рис.4).

Планы скоростей и ускорений позволяют определить характер движения звеньев механизма. При одинаковом направлении скорости и ускорения звенья движутся ускоренно, при разном направлении- замедленно.

В нашем случае: звено-1 движется равномерно (по условию), звено 2- ускоренно, звено 3- замедленно, звено 4- замедленно, звено 5-ускоренно.

Необходимо отметить, что кинематический анализ механизма необходимо осуществлять за цикл, который в данном механизме соответствует полному обороту кривошипа.

В предположении, что кинематические параметры механизма не изменяются скачкообразно, их определяют для восьми, двенадцати и более положений кривошипа в зависимости от условий поставленной задачи.

В этом случае план механизма, планы скоростей и ускорений строятся для каждого из этих положений.

 

КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ

АНАЛИТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ.

Кинематическое исследование механизмов методом построения планов