Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды

Функциональным рядом называется выражение

U₁(x) + U₂(x) + U₃(x) +... + U_n(x) +...,

члены которого U₁(x), U₂(x),..., U_n(x),... являются функциями от х.

Давая х числовое значение х₀, мы получаем числовой ряд

U₁(x₀) + U₂(x₀) + U₃(x₀) +... + U_n(x₀) +...,

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Множество тех значений х, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости. Ясно, что в области сходимости сумма функционального ряда является некоторой функцией от х. Обозначим ее через S(x).

Специальный класс функциональных рядов составляют так называемые степенные ряды вида

с₀ + с₁ х + с₂ х² + с₃ х³ +... + с_n xⁿ +..., (9.1)

где с₀, с₁, с₂,..., с_n,... - последовательность действительных чисел, коэффициенты ряда.

Выясним, какой вид имеет “область сходимости” степенного ряда,то есть множество {x} тех значений переменной, для которых ряд (9.1) сходится.

 

Теорема Абеля.

Если степенной ряд (9.1) сходится в точке х₀ ¹ 0, то он сходится и притом абсолютно в интервале (- |x₀|, |x₀|), то есть при всех значениях х, удовлетворяющих условию |x|<|x₀|.

 

Следствие.

Если степенной ряд расходится при некотором значении х = х₁, то он расходится и при всех значениях |x|>|x₁|.

Любой степенной ряд сходится при значении х=0. Есть степенные ряды, которые сходятся только при х=0 и расходятся при остальных значениях х. Этот случай может быть иллюстрирован рядом

1 + х + 2² х² +... + nⁿ xⁿ +...;

действительно, если х фиксировано и х ¹ 0, то начиная с достаточно большого n, будет |nx|>1, откуда вытекает неравенство |nⁿ xⁿ|>1, означающее, что общий член ряда не стремится к нулю.

Область сходимости может состоять из всех точек оси Ох, другими словами, ряд может сходится при всех х.

 

Пример.

Рассмотрим ряд .

Для любого х, начиная с достаточно большого n, будет . Так как и т. д., то, начиная с номера n, члены ряда по абсолютной величине будут меньше членов сходящейся геометрической прогрессии. Следовательно, при любом х ряд сходится.

Область сходимости ряда может состоять более чем из одной точки оси Ох, причем есть точки оси, не принадлежащие области сходимости.

Например, ряд 1 + х + х² +... + хⁿ +..., представляющий геометрическую прогрессию со знаменателем х, сходится при |x|<1 и расходится при |x|³1.

Из теоремы Абеля и ее следствия получаем, что все точки сходимости расположены от начала координат не дальше, чем любая из точек расходимости. Совершенно ясно, что точки сходимости будут целиком заполнять некоторый интервал с центром в начале координат.

Таким образом, можно сказать, что для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число R, что для всех х, по модулю меньших R (|x|<R), ряд абсолютно сходится, а для всех х, по модулю больших R (|x|>R), ряд расходится.

Что касается значений х = R и х = - R, то здесь могут быть различные возможности: ряд может сходится в обеих точках, или только в одной из них, или ни в одной. При этом ряд может сходиться как абсолютно, так и условно.

 

Определение.

Радиусом сходимости степенного ряда (9.1) называется такое число R, что для всех х, |x|<R, степенной ряд сходится, а для всех х,|x|>R, расходится. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости.

Условимся для рядов, расходящихся при всех х, кроме х=0, считать R=0, а для рядов, сходящихся при всех х, считать R=¥.

 

Теорема.

Если все коэффициенты степенного ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля, то его радиус сходимости равен пределу при n®¥ отношения абсолютных величин коэффициентов общего и следующего за ним членов ряда.

Доказательство.

Составим ряд из абсолютных величин членов ряда (9.1)

|c₀| + |c₁ x| + |c₂ x²| +... + |c_n xⁿ| +... (9.5)

Найдем отношение для этого ряда:

,

а затем предел его при n®¥:

.

Здесь множитель |x| вынесен за знак предела, как не зависящий от n, и введено обозначение

, (9.6)

если этот предел существует и не равен нулю. Согласно признаку Даламбера, ряд (9.5) сходится, если , откуда |x|<R. Отсюда следует, что ряд (9.1) сходится, и притом абсолютно, при значениях |x|<R. Согласно тому же признаку Даламбера, ряд (9.5) расходится, если , или |x|>R. Однако в этом случае из признака Даламбера следует, что члены ряда (9.5) не стремятся к нулю. Тогда при n®¥ не стремятся к нулю и члены ряда (9.1), а потому и он расходится при значениях |x|>R. Следовательно, согласно определению, число R - радиус сходимости степенного ряда (9.1). Из соотношения (9.6) получим

, т. е. . (9.7)

 

Приведем примеры:

1⁰ Найдем радиус сходимости ряда

.

 

2⁰ Найти область сходимости степенного ряда

Найдем отношение

.

, т. е. ряд сходится только при х=0 и расходится при остальных значениях х.

 

3⁰ Найти область сходимости степенного ряда:

Здесь , т. е.

.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При х=1 имеем ряд , он сходится по теореме Лейбница.

При х=-1 имеем ряд , который расходится как произведение расходящегося гармонического ряда на -1. Следовательно, областью сходимости служит полуинтервал (-1; 1].

 

4⁰ Найти область сходимости степенного ряда

,

Найдем радиус сходимости ряда

.

Исследуем сходимость ряда при значениях х= ±3. Подставив их в в данный ряд соответственно получим 1 + 1 + 1 +... + 1 + 1 +...;

1 - 1 + 1 -... + (-1)ⁿ +.... Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимое условие сходимости (их общие члены не стремятся к нулю при n®¥). На обоих концах интервала сходимости данный ряд расходится, а область его сходимости (-3; 3).

Формула радиуса сходимости степенного ряда получена в предположении, что все коэффиценты членов ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля. Применение формулы (9.7) допустимо только в этих случаях. Если это условие нарушается, то радиус сходимости степенного ряда следует искать или с помощью признаков Даламбера, Коши, или же сделав замену переменной, преобразованием ряда к виду, в котором указанное условие выполняется.

 

Свойства степенных рядов

Рассмотрим степенной ряд

с₀ + с₁ х + с₂ х² +... + с_{n xⁿ} +..., (10.1)

имеющий радиус сходимости R>0 (R может равняться ¥). Тогда каждому значению х из интервала сходимости соответствует некоторая сумма ряда. Следовательно, сумма степенного ряда есть функция от х на интервале сходимости. Обозначим ее через S(x). Тогда можно записать равенство

S(x) = c₀ + c₁ x + c₂ x² +... + c_n xⁿ +..., (10.2)

понимая его в том смысле, что сумма ряда в каждой точке х из интервала сходимости равна значению функции S(x) в этой точке. В этом же смысле будем говорить, что ряд (10.1) сходится к функции S(x) на интервале сходимости. Вне интервала сходимости равенство (10.2) не имеет смысла.

 

Пример.

Найти сумму степенного ряда

1 - х + х² -... + (-1)ⁿ xⁿ +....

Это ряд, составленный из членов геометрической прогрессии, у которой b₁=1, q= -x. Следовательно, его сумма есть функция . Ряд сходится, если |x|<1. Поэтому равенство

справедливо лишь для значений хÎ(-1; 1), хотя функция определена для всех значений х, кроме х= -1.

Можно доказать, что сумма степенного ряда S(x) непрерывна и дифференцируема на любом отрезке [a, b] внутри интервала сходимости.

Равенство (10.2), справедливое в интервале сходимости степенного ряда, называют разложением S(x) в степенной ряд.

Для степенных рядов справедливы следующие утверждения:

 

Теорема 1.

Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать неограниченное число раз, причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны S`(x), S``(x),..., S⁽ⁿ⁾(x).

 

Теорема 2.

Степенной ряд можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до х, если хÎ(-R; R), причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны .