Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-05-16 | 240 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим произвольный знакопеременный ряд
U1 + U2 +... + Un +..., (8.1)
т. е. ряд с членами произвольных знаков. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (8.1):
|U1| + |U2| +... + |Un| +..., (8.2)
Теорема.
Если сходится ряд (8.2), то сходится и ряд (8.1).
Доказательство сразу получается из принципа сходимости: неравенство
|Un+1 + Un+2 +... + Un+m| £ |Un+1| + |Un+2| +... + |Un+m|
показывает, что если условие сходимости выполняется для ряда (8.2), то оно тем более выполняется для ряда (8.1).
Можно рассуждать иначе. Из положительных членов ряда (8.1), перенумеровав их по порядку, составим ряд
(P),
так же поступим с отрицательными членами и составим ряд из их абсолютных величин
(Q)
Сколько бы членов того или другого ряда ни взять, все они содержатся среди членов сходящегося ряда (8.2), и для всех частичных сумм Рк и Qm выполняется неравенства
Рк £ S*; Qm £ S*,
так что оба ряда (Р) и (Q) сходятся; обозначим их суммы соответсвенно, через Р и Q.
Если взять n членов ряда (А), то в их составе окажется k положительных и m отрицательных, так что
Sn = Pk - Qm. (8.3)
Здесь номера k и m зависят от n. Если в ряде (8.1) как положительных, так и отрицательных членов бесчисленное множество, то при n®¥ одновременно k®¥ и m®¥.
Переходя в равенстве (8.3) к пределу, приходим снова к заключению о сходимости ряда (8.1), причем его сумма оказывается равной
S = P - Q.
Можно сказать, что при сделанных предположениях сумма данного ряда равна разности между суммой ряда, составленного из одних положительных его членов, и суммой ряда, составленного из абсолютных величин отрицательных членов.
Если ряд (8.1) сходится вместе с рядом (8.2), составленным из абсолютных величин его членов, то про ряд (8.1) говорят, что он абсолютно сходится.
|
Если ряд (8.1) сходится и ряд (8.2) расходится. Тогда ряд (8.1) называют условно сходящимся.
Между свойствами абсолютно и условно сходящихся рядов имеется глубокое различие.
Теорема.
Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов, причем сумма ряда не зависит от порядка его членов.
Если ряд сходится условно, то какое бы мы ни задали число А, или символ + ¥ или - ¥, можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма оказалась в точности равной А (или + ¥ или - ¥). Более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что ряд, полученный после перестановки членов, окажется расходящимся.
На доказательство этой теоремы мы не будем останавливаться.
Приведем пример, показывающий, что сумма условно сходящегося ряда меняется при перестановке его членов.
Рассмотрим условно сходящийся ряд
(8.3)
Переставим его члены так, чтобы после одного положительного члена шло два отрицательных. Получим ряд
(8.4)
Обозначим через S сумму данного ряда, покажем, что сумма полученного ряда равна . Обозначим через Sn и sn частичные суммы рядов (8.3) и (8.4) и рассмотрим частичную сумму sn при n = 3k.
Следовательно, .
Далее замечаем, что
Таким образом, .
Итак, доказано, что в результате перестановки членов ряда его сумма изменилась (она вдвое уменьшилась).
Этот вывод, который на первый взгляд кажется парадоксальным, говорит о том, что бесконечные ряды отличаются по своим свойствам от сумм конечного числа слагаемых.
|
|
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!