Достаточные признаки сходимости положительных рядов

Свойства сходящихся рядов.

· Если сходится ряд: , то сходится и ряд: , и обратно. Другими словами на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.

Сходящиеся ряды можно умножать на число, почленно складывать и вычитать так же, как и конечные суммы:

· Если сходится ряд: и его сумма равна S, то и ряд где С = const, сходится и его сумма равна СS.

· Если сходятся ряды: и и их суммы равны S_а и S_b, то и ряд , сходится и его сумма равна S_а ± S_b.

Необходимое условие сходимости ряда:

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть . Данное условие не является достаточным.

Рассмотрим гармонический ряд: и он расходится.

Задание 2. Написать первые пять членов ряда и исследовать ряд на сходимость:

Необходимое условие сходимости ряда выполняется: . Данный ряд является геометрической прогрессией, в которой Так как , то ряд сходится.	Необходимое условие сходимости ряда   _________________: Данный ряд является геометрической прогрессией, в которой   Так как , то ряд ________________.
Необходимое условие сходимости ряда выполняется: . Данный ряд является геометрической прогрессией, в которой Так как , то ряд сходится.	Необходимое условие сходимости ряда   _________________: Данный ряд является геометрической прогрессией, в которой Так как , то ряд _______________.

Знакопеременный ряд. Признак Лейбница

Ряд называется знакопеременным, если его члены поочерёдно положительны и отрицательны: , где а_n>0.

Признак Лейбница: Знакопеременный ряд сходится, если его члены стремятся к нулю всё время убывая по абсолютному значению. Итак, должны выполняться два условия:

1) ;

2) .

Замечание: остаток такого ряда имеет тот же знак, что и первый отбрасываемый член, и меньше его по абсолютному значению.

 

Задание 6. Исследовать ряд на сходимость по признаку Лейбница:

Применим признак Лейбница для знакопеременного ряда.   Так как члены ряда стремятся к нулю всё время убывая по абсолютному значению, следовательно, ряд сходится: Ответ: ряд сходится.	Ответ: ряд _________________.

 

Степенной ряд.

Сте­пенным рядом называется ряд вида (1): а_о+а₁х+а₂х²+...+а_пх^п+...,

а также ряд более общего вида (2): а_о+а₁ (х-х₀) +а₂х² (х-х₀) ²+...+а_пх^п (х-х₀) ⁿ+...,

говорят, что он расположен соответственно по степеням х, о или по степеням х - х₀.

 

Постоянные а₀, a₁,..., а_п,... называются коэффи­циентами степенного ряда.

Если обозначить х-х₀ через z, то ряд (2) окажется расположенным по степеням z, т. е. примет вид (1). Поэтому в дальнейшем, если особо не оговорено, сте­пенным рядом именуется ряд вида (1). Степенной ряд всегда сходится при х =0.

 

Относительно сходимости его в других точках могут представиться три случая

1) степенной ряд может расхо­дится во всех точках, кроме х =0, например,

1¹х¹+2²х²+3³х³+…+ п^пх^п+...,

2) степенной ряд может сходиться во всех точках, например,

3) степенной ряд может сходиться в од­них точках и расходится в других.

 

Ответ: (-3; -1).

Тест 5. Ряды.

 

Вопрос 1Укажите гармонический ряд
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 2Укажите ряд, относящийся к обобщённому гармоническому ряду
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 3Укажите ряд, относящийся к геометрической прогрессии
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 4Выберите сходящиеся ряды
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 5Выберите сходящиеся ряды
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 6Выберите расходящиеся ряды
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 7Выберите расходящиеся ряды
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 8Найдите радиус сходимости степенного ряда
а.)	б.) 7	в.)	г.)
Вопрос 9Найдите радиус сходимости степенного ряда
а.)	б.) 6	в.)	г.)
Вопрос 10Найдите интервал сходимости степенного ряда
а.) (0; 3)	б.) (-3; 3)	в.)	г.)
Вопрос 11Найдите интервал сходимости степенного ряда
а.) (-5; 5)	б.) (-3; 7)	в.) (-7; 3)	г.)
Вопрос 12Найдите интервал сходимости степенного ряда
а.) (-1; 7)	б.) (-4; 4)	в.) (-7; 1)	г.)
Вопрос 13Укажите знакопеременный ряд
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 14Укажите положительный ряд
а.)	б.)	в.)	г.)

 

Свойства сходящихся рядов.

· Если сходится ряд: , то сходится и ряд: , и обратно. Другими словами на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.

Сходящиеся ряды можно умножать на число, почленно складывать и вычитать так же, как и конечные суммы:

· Если сходится ряд: и его сумма равна S, то и ряд где С = const, сходится и его сумма равна СS.

· Если сходятся ряды: и и их суммы равны S_а и S_b, то и ряд , сходится и его сумма равна S_а ± S_b.

Необходимое условие сходимости ряда:

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть . Данное условие не является достаточным.

Рассмотрим гармонический ряд: и он расходится.

Задание 2. Написать первые пять членов ряда и исследовать ряд на сходимость:

Необходимое условие сходимости ряда выполняется: . Данный ряд является геометрической прогрессией, в которой Так как , то ряд сходится.	Необходимое условие сходимости ряда   _________________: Данный ряд является геометрической прогрессией, в которой   Так как , то ряд ________________.
Необходимое условие сходимости ряда выполняется: . Данный ряд является геометрической прогрессией, в которой Так как , то ряд сходится.	Необходимое условие сходимости ряда   _________________: Данный ряд является геометрической прогрессией, в которой Так как , то ряд _______________.

Достаточные признаки сходимости положительных рядов

Необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда: Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.

Признаки сравнения:

· (сходимости) - Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех n выполняется неравенство . Тогда если ряд сходится, то ряд тоже сходится;

· (расходимости) - Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех n выполняется неравенство . Тогда если ряд расходится, то ряд тоже расходится.

Признак Даламбера: Пусть дан ряд с положительными членами и существует .

· если q<1 – ряд сходится;

· если q>1 – ряд расходится;

· если q=1 – ряд может и сходиться и расходиться, то есть данный признак неприменим.

Признак Коши: Пусть дан ряд с положительными членами и существует .

· если q<1 – ряд сходится;

· если q>1 – ряд расходится;

· если q=1 – ряд может и сходиться и расходиться, то есть данный признак неприменим.

Интегральный признак: Пусть дан ряд с положительными членами, являющимися значениями некоторой функции f (x), непрерывной и убывающей на полуинтервале [1; +¥). Тогда ряд будет сходиться в том случае, если сходится несобственный интеграл: и расходиться в случае его расходимости.

Обобщённый гармонический ряд: :

· сходится при a>1;

· расходится при 0<a£1.

 

Ряд	Геометрическая прогрессия	Обобщённый гармонический ряд
Сходится	|q|<1	a>1
Расходится	|q|³1	0<a£1

 

Задание 3. Исследовать ряд на сходимость, используя признаки сравнения:

 

Задание 4. Исследовать ряд на сходимость по признаку Даламбера:

Применим признак Даламбера для данного положительного ряда: Имеем: Итак, ряд _____________________________.	Итак, ряд _____________________________.

Задание 5. Исследовать ряд на сходимость по признаку Коши:

Применим признак Коши: Итак, ряд______________________________.	Применим признак Коши:   Итак, ряд____________________________.