Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-05-14 | 436 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Покажем, что если решением системы уравнений (26) являются непрерывно-дифференцируемые и ограниченные вместе со своими первыми производными функции и , то функции , будут решением задачи Коши (8), (2), (9) при где .
Продифференцируем (22) по :
Умножим второе равенство на :
Получившееся равенство сложим с первым:
Обозначим через , а через тогда последнее равенство перепишется в виде:
Аналогично продифференцируем (23) по :
Умножим второе равенство на :
Сложим получившееся равенство с первым:
Последнее равенство с учётом обозначений , перепишем в виде:
Итак, получили два уравнения от двух неизвестных функций и :
Обозначим через:
Тогда из (27) и (28):
Или:
Меняя порядок интегрирования, будем иметь:
Обозначим через , тогда для всех
Обозначим через , тогда:
Складывая, получаем:
Обозначим через . Очевидно, что для любого
Обозначим через значение t, при котором . Тогда для любых t из промежутка , то есть , следовательно, что для любого выполняются тождества:
Подставим функции :
С учётом равенств (29) и (24), получим тождество:
Аналогично для второго уравнения системы:
Учитывая (30) и (25), получим тождество:
Проверим, что функции удовлетворяют начальным условиям (2) и (9). Для этого подставим в (26) .
В результате приходим к равенствам:
которые подтверждают, что решение системы (26) удовлетворяет начальным условиям (2), (9).
Итак, мы доказали, что решение задачи (8), (2), (9) даёт решение системы (26), и наоборот, непрерывно дифференцируемое решение системы (26) при) будет решением задачи (8), (2), (9). То есть эквивалентность двух систем показана.
Доказательство существования решения задачи Коши
|
Осталось доказать существование ограниченного непрерывно дифференцируемого решения системы уравнений (26), тем самым будет доказано существование классического решения задачи Коши (1), (2).
Введём некоторые обозначения и определения.
Будем обозначать ) и – пространства функций определённых и непрерывных (соответственно со своими производными до порядка по му аргументу, ) на некотором подмножестве евклидова пространства, .
Введём следующие обозначения:
где – произвольно зафиксированное положительное число,
Также будем пользоваться ранее введённым обозначением:
Для произвольной функции и мы положим:
Лемма 1. Пусть , причем и подобраны таким образом, что выполняются неравенства
Пусть, далее – положительный корень уравнения
где - любое число из интервала (0, )
и для любого
где
Тогда при система уравнений (26) имеет единственное решение.
Доказательство.
Будем доказывать существование решения системы уравнений (26) методом последовательных приближений. Положим:
и будем строить последовательности функций
таким образом, что для всех
или
В силу (31), (32) из (34) и (33) все , будут ограничены:
Будем доказывать, что последовательные приближения сходятся. Найдём разность:
Заметим, что функция имеет ограниченные производные на , поскольку , а
следовательно, удовлетворяет условию Липшица с константой :
| |=|
где , а значит
|
Аналогично для функции , , :
.
Из этого равенства выводим, что
| |
| |
| |
Из двух последних слагаемых (36):
С учётом этих равенств получим из (36)
То есть:
Аналогично из (35):
Сложим последние равенства (37) и (38):
где
Рассмотрим вектор . Будем доказывать, что последовательные приближения сходятся по норме к вектору . За норму вектора положим сумму норм и :
Тогда с учётом введённых обозначений равенство (39) перепишется в виде:
Пусть - положительный корень уравнения . Тогда при любом ряд сходится к вектору . Именно, мы можем представить в виде суммы:
|
Ряд
мажорируется сходящимся (так как рядом
(здесь взято .
Это означает, что его частичная сумма сходится к вектору по норме.
А это и означает, что ряды и также сходятся соответственно к функциям и по норме. Перейдя к пределу в равенствах (33) и (34), получим, что функции и , будут удовлетворять системе (26).
Единственность следует из того факта, что для разности двух возможных решений системы (26) будет выполняться неравенство вида
где .
Лемма 2. При выполнении условий леммы 1 , .
Доказательство.
Согласно (25) функция
непрерывна и ограничена в (так как она получается из известных непрерывных и ограниченных функций с помощью конечного числа арифметических операций и композиций).
С учётом этого функция
также непрерывна и ограничена в .
Чтобы доказать существование, непрерывность и ограниченность частных производных функций и продифференцируем по соотношения, определяющие соответствующие последовательные приближения:
С учетом того, что
|
|
| |
| |
|
| |
|
| |
|
получаем:
Приводя подобные, получаем:
Аналогично для функции :
Складывая получившиеся равенства, получаем:
Вспоминая, что
а также, что
получаем:
Обозначая за
Снова введём в рассмотрение вектор . За его норму положим сумму норм и
Тогда получаем:
При имеем
Далее, так как , а , , то , поэтому
Пользуясь формулой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, будем иметь:
А это означает, что последовательность ограничена по норме. Следовательно, ограничены по норме и последовательности и .
Чтобы несколько облегчить доказательство её сходимости, рассмотрим вначале линейные интегральные уравнения относительно неизвестных функций и и рассмотрим вектор
где
где
С помощью метода последовательных приближений доказывается, что уравнения (39) и (40) имеют решения, принадлежащие пространству .
Из равенств (42) и (43):
где
Аналогично из равенств (41) и (44):
В силу сходимости и ограниченности и при всех для любого можно определить такой номер , что для всех будет:
Переходя к норме в неравенствах (45) и (46), получаем
Складывая получившиеся неравенства и вспоминая, что
|
получаем, что для всех будет выполняться неравенство:
При имеем , поэтому из предыдущего неравенства вытекает:
Таким образом, для любого будет выполняться неравенство:
В силу того, что для любого числа можно определить такой номер , что для всех будет
Этим самым мы доказали, что последовательность при , а значит и последовательности и сходятся соответственно к функциям и .
Точно также доказывается сходимость последовательностей и к некоторым функциям и :
Складывая получившиеся неравенства, получаем:
Обозначим
Тогда неравенство перепишется в виде:
То есть
При имеем
Далее, так как , а , , то , поэтому
Обозначим
Тогда неравенство перепишется в виде:
Увеличивая число , получаем:
Пользуясь формулой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, будем иметь:
А это означает, что последовательность ограничена по норме. Следовательно, ограничены по норме и последовательности и .
Чтобы несколько облегчить доказательство её сходимости, рассмотрим вначале линейное интегральное уравнение относительно неизвестных функций и и рассмотрим вектор
где
где
Аналогично для последовательности :
где
В силу сходимости и ограниченности и при всех для любого можно определить такой номер , что для всех будет:
Переходя к норме в неравенствах (45) и (46), получаем
Складывая получившиеся неравенства и вспоминая, что
получаем, что для всех будет выполняться неравенство:
При имеем , поэтому из предыдущего неравенства вытекает:
Таким образом, для любого будет выполняться неравенство:
В силу того, что для любого числа можно определить такой номер , что для всех будет
Этим самым мы доказали, что последовательность при , а значит и последовательности и сходятся соответственно к функциям и .
В результате для последовательностей { } и { } установлены следующие свойства:
Имеем: последовательность , при любом сходится по норме этого пространства. В силу полноты и замкнутости пространства имеем, что , а значит, обладает частными производными по , причём
|
Аналогично , а значит
Таким образом, лемма 2 доказана.
На основе этих двух лемм и всего вышеизложенного, можно сформулировать общую теорему:
Теорема 1. Пусть на области и задано нелинейное дифференциальное уравнение:
И пусть задано следующее начальное условие
Если:
1) Функция непрерывна, ограничена, дважды непрерывно дифференцируема по переменным и все вторые, а также смешанные производные удовлетворяют по этим переменным условию Липшица и ограничены при всех значениях аргументов.
2) Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на , а её вторая производная ограничена и удовлетворяет условию Липшица.
Тогда существует такая константа , что при задача (1) – (2) имеет единственное непрерывное и ограниченное вместе со своими первыми производными решение, которое совпадает при с функцией , определяемой из системы интегральных уравнений (26).
|
|
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!