Вопрос 45 Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний

Простейшее периодическое колебание, при котором смещение изменяется со временем по закону cos или sin называется гармоническим колебанием

Скорость

Ускорение

потенциальная энергия упруго деформированного тела равна , где k - коэффициент упругости, х - смещение; откуда для потенциальной энергии колебаний находим

.

Кинетическая энергия , что, согласно (2) и (5), в нашем случае будет

.

Анализ (7) и (8) показывает, что когда одна из энергий или увеличивается, то другая уменьшается. Полная же энергия

E=W_n+W_k=kA²/2

остается величиной постоянной и для пружинного маятника, (см. рис. 1), она определяется работой, совершенной внешней силой по сжатию или растяжению пружины

Вопрос 46 Сложение гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинаковой частоты, смещения которых и .

Используем векторную диаграмму, рис. 4; откуда следует, что где

Рис. 4

.

Пусть , тогда

, т.е. результирующее колебание не будет гармоническим. Если колебания мало отличаются по частоте, например, , , то результирующее колебание можно рассматривать как почти гармоническое колебание с частотой и медленно меняющейся амплитудой . Такие периодические изменения амплитуды называются биениями.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

6.1. Пусть и , тогда траекторией будет прямая линия, рис. 5: .

6.2. При и , траекторией будет эллипс, (рис. 6):

(x²/A²)+(y²/B²)=1.

При разных частотах складывающихся колебаний результирующие траектории будут иметь более сложный вид.

Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу.

Математический маятник

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся наневесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения^[1]. Период малых собственных колебанийматематического маятника длины L неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

и не зависит^[2] от амплитуды колебаний и массы маятника.

Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на растяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы.

Уравнение колебаний маятника

Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида

где ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция ― это угол отклонения маятника в момент от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; , где ― длина подвеса, ― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид:

.