Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2019-08-04 | 98 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов
Исполнитель:
Студентка группы М-42
Ларченко А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
Зверева Т.Е.
Гомель 2006
Содержание
Введение
Перечень условных обозначений
1. Общие определения и обозначения
2. Используемые результаты
3. Определения и основные примеры подгрупповых функторов
4. Решетки подгрупповых функторов
5. Классы групп с заданными решетками подгрупповых функторов
Заключение
Список использованных источников
Введение
Согласно теореме о соответствии между подгруппами основной группы, содержащие нормальную подгруппу и подгруппами из факторуппы существует взаимнооднозначное соответствие, при котором нормальным подгруппам соответствуют нормальные подгруппы, субнормальным подгруппам соответствуют субнормальные и т.д.
Этот факт лежит в основе следующего определения, введеного в монографии А.Н. Скибы "Алгебра формаций." (Мн.: Беларуская навука, 1997).
Пусть некоторый класс групп. Составим с каждой группой некоторую систему ее подгрупп . Будем говорить, что - подгрупповой -функтор или подгрупповой функтор на , если выполняются следующие условия:
1) для всех ;
2) для любого эпиморфизма , где А, и для любых групп и имеет место и
Значение этого понятия связано прежде всего с тем, что подгрупповой функтор выделяет в группе те системы подгрупп, которые инвариантны относительно гомоморфизма и поэтому удобны при проведении индуктивных рассуждений.
Целью данной дипломной работы является элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функтороф, доступное для понимания в рамках специальных курсов математических факультетов.
|
Дипломная работа состоит из введения, общей части, включающей 5 параграфов, заключения и списка используемой литературы.
В первом параграфе приводятся общие определения и обозначения.
Во втором параграфе даются те известные результаты теории групп, которые используются в основном тексте дипломной работы.
Третий параграф посвящен изучению основных понятий подгрупповых функторов и рассмотрению примеров. Здесь из различных источников собраны и систематизированы основные определения и примеры подгрупповых функторов.
В параграфе четыре систематизирован теоретический материал по теме "Решетки подгрупповых функторов".
Параграф пять изучает свойства конечных групп в зависимости от свойств соответствующих решеток подгрупповых функторов.
Используемые результаты
Теорема 1.1 (Теорема о соответствии) Пусть - нормальная подгруппа группы . Тогда:
( 1) если - подгруппа группы и , то - подгруппа факторгруппы ;
(2) каждая подгруппа факторгруппы имеет вид , где - подгруппа группы и ;
(3) отображение является биекцией множества S на множество S ;
(4) если S , то - нормальная подгруппа группы тогда и только тогда, когда - нормальная подгруппа факторгруппы .
Лемма 1.2 Пусть - гомоморфизм группы в группу . Тогда:
( 1) единичный элемент группы переходит в единичный элемент группы , т.е. ;
(2) обратный элемент переходит в обратный, т.е. для всех ;
(3) образ гомоморфизма является подгруппой группы , т.е. ;
(4) ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой группы , т.е. ;
(5) тогда и только тогда где когда .
Лемма 1.3 Пусть - гомоморфизм группы в группу . Тогда:
( 1) если , то ;
(2) если , то ;
(3) если подмножества и сопряжены в , то и сопряжены в .
Теорема 1.4 (Основная теорема о гомоморфизме) При гомоморфизме групп факторгруппа по ядру изоморфна образу, т.е. если - гомоморфизм, то .
|
Теорема 1.5 (первая о изоморфизме) Пусть - нормальная подгруппа группы . Тогда для любой подгруппы пересечение является нормальной подгруппой в подгруппе , а отображение
является изоморфизмом групп и .
Теорема 1.6 (вторая о изоморфизме) Если и - нормальные подгруппы группы , причем , то изоморфна .
Лемма 3.1 Пусть - формация, . Тогда
Лемма 20.6. Пусть - подгрупповой функтор и - группа. Если и , тогда .
Лемма 20.7. Пусть , - элементарно абелевы -группы с . Тогда имеет подгруппу такую, что .
Теорема. Пусть - такой набор конгруэнций -алгебры A, что . Пусть прямое произведение факторалгебр и
Тогда - мономорфизм алгебры в алгебру и входит подпрямо в .
Теорема 20.8. Пусть - конечное многообразие локально конечных групп, причем каждая группа из либо счетна, либо конечна. Тогда в том и только в том случае решетка является цепью, когда существует такое простое число , что каждая группа в является элементарно абелевой -группой.
Теорема 20.9. Пусть - конечная группа и - конечное многообразие, порожденное . Тогда в том и только в том случае является элементарной абелевой -группой, когда решетка является цепью.
Лемма 24.9 Пусть - наследственный гомоморф конечных групп. Пусть - замкнутый подгрупповой функтор на Пусть - нильпотентная группа в и Предположим, что , где - простое число. Пусть - нильпотентная группа в такая, что и Тогда
Лемма 24.10 Пусть - наследственный гомоморф конечных нильпотентных групп и Пусть Если - идемпотент в , удовлетворяющий условию и , где тогда
Теорема 24.11 Пусть - конечное многообразие групп. И пусть каждая группа в конечная. Тогда ширина решетки всех идемпотентов в конечна и в том и только в том случае, когда состоит из нильпотентных групп и
3. Определения и основные примеры подгрупповых функторов
Пусть некоторый класс групп. Составим с каждой группой некоторую систему ее подгрупп . Будем говорить, что - подгрупповой -функтор или подгрупповой функтор на , если выполняются следующие условия: 1) для всех ;
2) для любого эпиморфизма , где А, и для любых групп и имеет место и
Подгрупповой -функтор называется:
1) замкнутым, если для любых двух групп и имеет место ;
2) тривиальным, если для любой группы имеет место
;
3) единичным, если для любой группы система состоит из всех подгрупп группы G.
|
Тривиальный подгрупповой -функтор обозначается символом , а единичный - символом .
Если и - подгрупповой -функтор, то - такой подгрупповой -функтор, что для всех . Такой функтор называется ограничением функтора на классе .
Рассмотрим несколько примеров подгрупповых функторов. В случае, когда - класс всех групп, подгрупповые -функторы мы будем называть просто подгрупповыми функторами.
Пример 1. Пусть для любой группы ,
Понятно, что - замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы применяем запись .
Пример 2. Пусть - совокупность всех нормальных подгрупп группы для каждой группы . Такой функтор в общем случае замкнутым не является.
Пример 3. Пусть - произвольное натуральное число. Для каждой группы через обозначим совокупность всех таких подгрупп , для которых . Понятно, что - подгрупповой -функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .
Пример 4. Пусть - произвольное кардинальное число. И пусть для любой группы .
Понятно, что такой подгрупповой функтор в общем случае не является замкнутым. Для обозначения такого функтора мы применяем запись .
Если - подгруппа группы , то символом обозначается мощность множества .
Пример 5. Пусть - простое число и пусть для любой группы система в нет такой подгруппы , что , - натуральное число, взаимнопростое с .
Покажем, что - подгрупповой функтор.
Действительно, пусть и . Предположим, что
где - натуральное число. Тогда - натуральное число и
Следовательно, , и поэтому . Это означает, что . Аналогично, мы видим, что если
то . Таким образом, - подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы используем запись . Заметим, что если - некоторый класс конечных групп и , то - замкнутый подгрупповой функтор.
Пример 6. Пусть . И пусть для каждой группы множество совпадает с совокупностью всех тех подгрупп из , индексы которых не делятся на числа из . Понятно, что - замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .
|
Напомним, что подгруппа группы называется абнормальной в , если всегда из следует, что .
Пример 7. Пусть для любой группы множество совпадает с совокупностью всех абнормальных подгрупп группы . Легко видеть, что - незамкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .
Пример 8. Пусть - произвольный класс групп. Подгруппа группы называется - абнормальной в , если выполняется одно из следующих двух условий:
1) ;
2) и для любых двух подгрупп и из , где и - максимальная подгруппа в имеет место .
Легко видеть, если группа разрешима, то ее подгруппа абнормальна в тогда и только тогда, когда она -абнормальна в .
Сопоставляя каждой группе множество всех ее -абнормальных подгрупп , получаем подгрупповой функтор, для которого мы будем применять запись .
Пример 9. Подгруппа группы называется -субнормальной в , если выполняется одно из следующих двух условий:
1) ;
2) и в имеется такая цепь подгрупп где - максимальная в подгруппа, содержащая , .
Пусть - некоторая непустая формация и для каждой группы система состоит из всех -субнормальных в подгрупп.
Покажем, что - подгрупповой функтор. Пусть -субнормальна в . И пусть и - такие члены цепи (1), что , где - нормальная в подгруппа.
Покажем, что - максимальная подгруппа в . Допустим, что для некоторой подгруппы . Тогда поскольку максимальна в , то либо , либо .
Пусть имеет место первое. Тогда поскольку , то . Противоречие. Значит, , т.е. . Поэтому . Противоречие. Итак, ряд таков, что в нём для любого имеет место одно из двух условий:
1) ;
2) - максимальная подгруппа в . He теряя общности, мы можем считать, что все члены ряда (2) различны. Заметим, что поскольку то
Итак, - -субнормальная подгруппа в . Понятно также, что если - -субнормальная подгруппа в , то - -субнормальная подгруппа в . Таким образом, - подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .
Класс групп называется гомоморфом, если он содержит все гомоморфные образы всех своих групп. Гомоморф конечных групп называется формацией, если каждая конечная группа обладает наименьшей по включению нормальной подгруппой (обозначаемой символом ) со свойством .
Лемма 3.1 Пусть - формация, . Тогда
Доказательство. Пусть . Тогда
Отсюда следует, что . С другой стороны, поскольку - гомоморф, то
Откуда получаем . Из и следует равенство .
Лемма доказана.
Пример 10. Пусть - некоторый класс конечных групп и - формация. Пусть для любой группы
Покажем, что - подгрупповой - функтор.
Действительно, пусть и . Тогда , и поэтому, согласно лемме 3.1, мы имеем
Следовательно, . Аналогично, если , то . Следовательно, - подгрупповой -функтор. Для обозначения такого функтора мы применяем запись .
|
Пример 11. Для каждой группы через обозначим совокупность всех абнормальных максимальных подгрупп из . Понятно, что - подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .
Заключение
Отметим, что теория подгрупповых функторов уже нашла много примениний при иследовании внутреннего строения конечных групп [1, 2, 3, 4]. Но еще один аспект применения подгупповых функторов состоит в сопоставлении группе некоторой решетки подгупповых функторов свойства которой тесно связаны со свойствами самой группы. Это позволяет использовать строение группы в зависимости от условий налогаемых на соответствующую решетку подгупповых функторов.
Следует отметить также, что используя понятие подгуппового функтора можно строить новые типы решеток, что указывает на полезность этого понятия и для теории решеток.
Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов
Исполнитель:
Студентка группы М-42
Ларченко А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
Зверева Т.Е.
Гомель 2006
Содержание
Введение
Перечень условных обозначений
1. Общие определения и обозначения
2. Используемые результаты
3. Определения и основные примеры подгрупповых функторов
4. Решетки подгрупповых функторов
5. Классы групп с заданными решетками подгрупповых функторов
Заключение
Список использованных источников
Введение
Согласно теореме о соответствии между подгруппами основной группы, содержащие нормальную подгруппу и подгруппами из факторуппы существует взаимнооднозначное соответствие, при котором нормальным подгруппам соответствуют нормальные подгруппы, субнормальным подгруппам соответствуют субнормальные и т.д.
Этот факт лежит в основе следующего определения, введеного в монографии А.Н. Скибы "Алгебра формаций." (Мн.: Беларуская навука, 1997).
Пусть некоторый класс групп. Составим с каждой группой некоторую систему ее подгрупп . Будем говорить, что - подгрупповой -функтор или подгрупповой функтор на , если выполняются следующие условия:
1) для всех ;
2) для любого эпиморфизма , где А, и для любых групп и имеет место и
Значение этого понятия связано прежде всего с тем, что подгрупповой функтор выделяет в группе те системы подгрупп, которые инвариантны относительно гомоморфизма и поэтому удобны при проведении индуктивных рассуждений.
Целью данной дипломной работы является элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функтороф, доступное для понимания в рамках специальных курсов математических факультетов.
Дипломная работа состоит из введения, общей части, включающей 5 параграфов, заключения и списка используемой литературы.
В первом параграфе приводятся общие определения и обозначения.
Во втором параграфе даются те известные результаты теории групп, которые используются в основном тексте дипломной работы.
Третий параграф посвящен изучению основных понятий подгрупповых функторов и рассмотрению примеров. Здесь из различных источников собраны и систематизированы основные определения и примеры подгрупповых функторов.
В параграфе четыре систематизирован теоретический материал по теме "Решетки подгрупповых функторов".
Параграф пять изучает свойства конечных групп в зависимости от свойств соответствующих решеток подгрупповых функторов.
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!