Представление информации в памяти пк

Представление информации в памяти пк

 

Методические указания

для выполнения лабораторных работ

по курсу «Информатика»

для студентов

по направлениям 190000, 200000, 260000, 280000

специальностей 140211, 150202, 151001, 150002

192001, 190601, 190603, 190702, 200503, 260601, 280101

 

 

Курган 2008

 

Кафедра: «Информатика»

 

Дисциплина: «Информатика»

(по направлениям 190000, 200000, 260000, 280000

специальностей 140211, 150202, 151001, 150002

192001, 190601, 190603, 190702, 200503, 260601, 280101)

 

Составили:

 

Старший преподаватель                    Сысолятина Лидия Геннадьевна

 

Старший преподаватель                           Бекишева Марина Борисовна

 

Утверждены на заседании кафедры    «31» января 2008 г.

 

Рекомендованы методическим советом университета

«19» марта 2008 г.

Представление информации

Информация и языки

и нформация – сведения, знания, содержащиеся в сообщении.

информация хранится, передается, обрабатывается в символьной (знаковой) форме. Одна и та же информация может быть представлена в разной форме, с помощью различных знаковых систем.

Кодирование информации

Кодирование информации – процесс формирования определенного представления информации. В более узком смысле под термином «кодирование» часто понимают переход от одной формы представления информации к другой, более удобной для хранения, передачи или обработки. Обратное преобразование называется декодированием.

Измерение информации

Содержательный подход. Количество информации, заключенное в сообщении, определяется объемом знаний, который несет это сообщение получающему его человеку. Сообщение содержит информацию для человека, если заключенные в нем сведения являются для этого человека новыми и понятными и, следовательно, пополняют его знания.

При содержательном подходе возможна качественная оценка информации: полезная, безразличная, важная, вредная … одну и ту же информацию разные люди могут оценить по-разному.

 Единица измерения количества информации называется бит. Сообщение, уменьшающее неопределенность знаний человека в два раза, несет для него 1 бит информации.

 Пусть в некотором сообщении содержатся сведения о том, что произошло одно из N равновероятных событий (равновероятность обозначает, что ни одно событие не имеет преимуществ перед другими). Тогда количество информации, заключенное в этом сообщении, - x бит и число N связаны формулой:

2^x = N.

данная формула является показательным уравнением относительно неизвестной x. Из математики известно, что решение такого уравнения имеет вид:

x = log₂N

- логарифм от N по основанию 2. если N равно целой степени двойки (2, 4, 8, 16 и т. д.), то такое уравнение можно решить «в уме». В противном случае количество информации становится нецелой величиной, и для решения задачи придется воспользоваться таблицей логарифмов.

Пример 1. при бросании монеты сообщение о результате жребия (например, выпал орел) несет 1 бит информации, поскольку количество возможных вариантов результата равно 2 (орел или решка). Оба эти варианта равновероятны.

Ответ может быть получен из решения уравнения: 2^x = 2, откуда, очевидно, следует: x = 1 бит.

  Вывод: в любом случае сообщение об одном событии из двух равновероятных несет 1 бит информации.

Пример 2. в барабане для розыгрыша лотереи находится 32 шара. Сколько информации содержит сообщение о первом выпавшем номере (например, выпал номер 15)?

Поскольку вытаскивание любого из 32 шаров равновероятно, то количество информации об одном выпавшем номере находится из уравнения:

2^x = 32.

но 32 = 2⁵. следовательно, x = 5 бит. Очевидно, ответ не зависит от того, какой именно выпал номер.

Пример 3. при игре в кости используется кубик с шестью гранями. Сколько бит информации получает игрок при каждом бросании кубика?

 Выпадение каждой грани кубика равновероятно. Поэтому количество информации от данного результата бросания находится из уравнения:

2^x = 6.

решение этого уравнения: x = log₂ 6» 2,585 бит.

 

Варианты

1. «Вы выходите на следующей остановке?» - спросили человека в автобусе. «Нет», - ответил он. Сколько информации содержит ответ?

2. какой объем информации содержит сообщение, уменьшающее неопределенность знаний в 4 раза?

3. Вы подошли к светофору, когда горел желтый свет. После этого загорелся зеленый. Какое количество информации вы при этом получили?

4. Вы подошли к светофору, когда горел красный свет. После этого загорелся желтый свет. Сколько информации вы при этом получили?

5. группа школьников пришла в бассейн, в котором 4 дорожки для плавания. Тренер сообщил, что группа будет плавать на дорожке номер 3. сколько информации получили школьники из этого сообщения?

6. в корзине лежат 8 шаров. Все шары разного цвета. Сколько информации несет сообщение о том, что из корзины достали красный шар?

7. была получена телеграмма: «Встречайте, вагон 7» известно, что в составе поезда 16 вагонов. Какое количество информации было получено?

8. при угадывании целого числа в некотором диапазоне было получено 6 бит информации. Сколько чисел содержит этот диапазон?

9. В коробке лежат 7 разноцветных карандашей. Какое количество информации содержит сообщение, что из коробки достали красный карандаш?

10. Какое количество информации несет сообщение: «Встреча назначена на сентябрь».

 

Алфавитный подход к измерению информации позволяет определить количество информации, заключенной в тексте. Алфавитный подход является объективным, т. е. он не зависит от субъекта (человека), воспринимающего текст.

Множество символов, используемых при записи текста, называется алфавитом. Полное количество символов в алфавите называется мощностью (размером) алфавита. Если допустить, что все символы алфавита встречаются в тексте с одинаковой частотой (равновероятно), то количество информации, которое несет каждый символ, вычисляется по формуле:

i = log₂N, (т. к.  N = 2ⁱ),

где N – мощность алфавита. Следовательно, в 2-символьном алфавите каждый символ «весит» 1 бит (log₂2 = 1); в 4-символьном алфавите каждый символ несет 2 бита информации (log₂4 = 2); в 8-символьном – 3 бита (log₂8 = 3) и т. д.

один символ из алфавита мощностью 256 (2⁸) несет в тексте 8 бит информации. Такое количество информации называется байт. Алфавит из 256 символов используется для представления текстов в компьютере.

1 байт = 8 бит.

 Если весь текст состоит из К символов, то при алфавитном подходе размер содержащейся в нем информации равен:

V = K x i,

где i – информационный вес одного символа в используемом алфавите.

Для измерения информации используются и более крупные единицы:

1 Кбайт (килобайт) = 2¹⁰ байт = 1024 байта

1 Мбайт (мегабайт) = 2²⁰ байт = 1024 Кбайта

1 Гбайт (гигабайт) = 2³⁰ байт = 1024 Мбайта

1 Тбайт (терабайт) = 2⁴⁰ байт = 1024 Гбайта

 

 

пример 4. книга, набранная с помощью компьютера, содержит 150 страниц; на каждой странице – 40 строк, в каждой строке – 60 символов. Каков объем информации в книге?

Решение. Мощность компьютерного алфавита равна 256. один символ несет 1 байт информации. Значит, страница содержит 40 х 60 = 2400 байт информации. Объем информации в книге (в разных единицах):

2400 х 150 = 3600 байт.

360000/1024 = 351,5625 Кбайт.

351,5625/1024 = 0,34332275 Мбайт.

 

Варианты

1. Алфавит одного племени состоит из 8 букв. Какое количество информации несет одна буква этого алфавита?

2.  Сообщение, записанное буквами из 64-символьного алфавита, содержит 20 символов. Какой объем информации оно несет?

3. Племя А имеет 32-символьный алфавит. Племя Б использует 64-символьный алфавит. Вожди племен обменялись письмами. Письмо племени А содержало 80 символов, а письмо Б – 70 символов. Сравните объемы информации, содержащейся в письмах.

4. информационное сообщение объемом 1,5 Кбайта содержит 3072 символа. Сколько символов содержит алфавит, при помощи которого было записано это сообщение?

5. сколько килобайтов составляет сообщение, содержащее 12288 битов?

6. Объем сообщения, содержащего 2048 символов, составил 1/512 часть Мбайта. Каков размер алфавита, с помощью которого записано сообщение?

7. Сколько символов содержит сообщение, записанное с помощью 16-символьного алфавита, если объем его составил 1/16 часть Мбайта?

8. Сколько килобайтов составит сообщение из 384 символов 16-символьного алфавита?

9. Для записи текста использовался 256-символьный алфавит. Каждая страница содержит 30 строк по 70 символов в строке. Какой объем информации содержат 5 страниц текста?

10. Сообщение занимает 3 страницы по 25 строк. В каждой строке записано по 60 символов. Сколько символов в использованном алфавите, если все сообщение содержит 1125 байтов?

Системы счисления

«Все есть число», - говорили пифагорийцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности.

Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита.

Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.

  В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает.

Примером непозиционной системы счисления является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:

I   V  X  L  C  D  M

1  5  10 50 100 500 1000

п ример 1. число CCXXXII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум.

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа – большая, то их значения вычитаются.

П ример 2

VI = 5 + 1 = 6, а IV = 5 – 1 = 4,

П ример 3

MCMXCVIII = 1000 + (-100+ 1000) + (-10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998

 

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.

 Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:

     0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиционный характер этой системы легко понять на примере любого многозначного числа. Например, в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая – три десятка, третья – три единицы.

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n < 10 используют n первых арабских цифр, а при n ≥ 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем.

Основание	Название	Алфавит
n = 2	двоичная	0 1
n = 3	троичная	0 1 2
n = 8	восьмеричная	0 1 2 3 4 5 6 7
n = 16	шестнадцатеричная	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу. Например:

101101₂, 3672₈, 3 B 8 F ₁₆.

В системе счисления с основанием q (q-ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q; q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи числа в q-ичной системе счисления требуется q различных знаков (цифр), изображающих числа 0, 1, …, q-1. запись числа q в q-ичной системе счисления имеет вид 10. (Например, число 8 в восьмеричной системе (q=8) запишется как 10; 16 в шестнадцатеричной системе (q=16) тоже запишется как 10).

Развернутой формой записи числа называется запись в виде

,

здесь A_q – само число, q – основание системы счисления, a_i – цифры данной системы счисления, n – число разрядов целой части числа, m – число разрядов дробной части числа.

Пример 4. получить развернутую форму десятичных чисел 32478; 26,387.

32478₁₀ = 3 х10000 + 2 х 1000 + 4 х 100 + 7 х 10 + 8 =

    = 3 х 10⁴ + 2 х 10³ + 4 х 10² + 7 х 10¹ + 8 х 10⁰.

26,387₁₀ = 2 х 10¹ + 6 х 10⁰ + 3 х 10^-1 + 8 х 10^-2 + 7 х 10^-3.

если все слагаемые в развернутой форме недесятичного числа представить в десятичной системе и вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики, то получится число в десятичной системе, равное данному. По этому принципу производится перевод из недесятичной системы в десятичную.

  Пример 5. перевести в десятичную систему числа.

112₃ = 1 х 3² + 1 х 3¹ + 2 х 3⁰ = 9 + 3 + 2 = 14₁₀

 

101101₂ = 1 х 2⁵ + 0 х 2⁴ + 1 х 2³ + 1 х 2² + 0 х 2¹ +1 х 2⁰ =

              = 32+ 8 + 4 + 1 = 45₁₀.

 

15FC₁₆ = 1 х 16³ + 5 х 16² + 15 х 16¹+ 12 =

              = 4096 + 1280 + 240 + 12 = 5628₁₀.

 

101,11₂ = 1 х 2² + 0 х 2¹ +1 х 2⁰ + 1 х 2^-1 +12 х 2^-2=

              =4 + 1 + 1/2 + 1/4 = 5 + 0,5 + 0,25 = 5,75₁₀.

Варианты

Перевести числа в десятичную систему счисления.

Вариант 1

а) 110,01₂       б) 10,17₈         в) 2А3₁₆

Вариант 2

а) 101,11₂       б) 266₈            в) 15FC₁₆

Вариант 3

а) 111,011₂     б) 52,07₈      в) 10,8₁₆

Вариант 4

а) 101,01₂       б) 151,7₈         в) 3FF,4₁₆

Вариант 5

а) 101,101₂     б) 740,3₈         в) FF,2₁₆

Вариант 6

а) 1101,011₂   б) 374,6₈         в) 80,4₁₆

Вариант 7

а) 1110,01₂     б) 452,2₈      в) 3A1,4₁₆

Вариант 8

а) 1010,011₂   б) 634,3₈         в) 2B,1₁₆

Вариант 9

а) 1011,1₂       б) 143,5₈      в) 1D,3₁₆

Вариант 10

а) 1001,101₂   б) 247,6₈         в) 2C,2q1₁₆

 

Перевод целых чисел

1. основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления.

2. последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основании новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя (т.е. основания новой системы счисления).

3. полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного до первого остатка включительно.

Пример 1. перевести число 37₁₀ в двоичную систему, т.е. 37₁₀ ® А₂.

Для обозначения цифр в записи числа используем символику: a₅a₄a₃a₂a₁a₀

_ 37 ½ 2  

36 _18 ½ 2                                     Отсюда: 37₁₀ = 100101₂

    a₀ = 1    18   _9 ½ 2

               a₁ = 0 8 _4 ½ 2

                 a₂ = 1   4 _2 ½ 2

                         a₃ = 0 2 1 = a₅

                                 a₄ = 0           

п ример 2. перевести десятичное число 315 в восьмеричную и в шестнадцатеричную системы; т.е. 315₁₀ ® А₈, 315₁₀ ® А₁₆:

_315 ½ 8                              _315 ½ 16

312 _39 ½ 8                     304 _19 ½ 16

3 32 4                   11 16 1

          7                                   3

 

 

отсюда следует: 315₁₀ = 473₈ = 13B₁₆.

Напомним, что 11₁₀ = B₁₆.

 

Перевод дробных чисел

1. Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе и все последующие действия производить в десятичной системе счисления.

2. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления.

3. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения до последнего включительно.

 

Пример 3. перевести десятичную дробь 0,1875 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы; т.е. 0,1875₁₀ ® А₂ ® А₈ ® А₁₆.

0½1875           0½1875           0½1875

½ х 2            ½ х 8            ½ х 16

0 ½3750           1 ½5000           1½1250

½ х 2            ½ х 8     + 1 ½ 875

0 ½7500           4 ½0000           3 ½0000

½ х 2

1 ½0000

 

здесь вертикальная черта отделяет целые части чисел от дробных частей, целые части выделены жирным шрифтом.

Отсюда: 0,1875₁₀ = 0,0011₂ = 0,14₈ = 0,3₁₆.

 

Перевод смешанных чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Целая и дробная части исходного числа переводятся отдельно по соответствующим алгоритмам. В итоговой записи числа в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).

 

Пример 4. перевести десятичное число 315,1875 в восьмеричную и в шестнадцатеричную системы счисления, т.е. 315,1875₁₀ ® А₈ ® А₁₆..

Из рассмотренных выше примеров следует:

315,1875₁₀ = 473,14₈ =13В,3₁₆.

 

Варианты

Перевести числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, оставив 5 знаков в дробной части.

1. 349,24

2. 432,48

3. 549,23

4. 453,16

5. 635,32

6. 378,26

7. 349,17

8. 432,14

9. 549,24

10. 453,48

 

 

1.4.3. системы счисления, используемые в ЭВМ (с основанием 2 ⁿ) общие сведения

от того, какая система счисления будет использована в ЭВМ, зависят скорость вычислений, емкость памяти, сложность алгоритмов выполнения арифметических операций.

Десятичная система счисления, привычная для нас, не является наилучшей для использования в ЭВМ. Для изображения любого числа в десятичной системе счисления требуется десять различных символов. При реализации в ЭВМ этой системы счисления необходимы функциональные элементы, имеющие ровно десять устойчивых состояний, каждое из которых ставится в соответствие определенной цифре. Создание таких элементов затруднено. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются так называемые двухпозиционные элементы, способные находиться в одном из двух устойчивых состояний, например:

· электромагнитное реле замкнуто или разомкнуто;

· ферромагнитная поверхность намагничена или размагничена и т. д.

Одно из этих устойчивых состояний может представляться цифрой 0, другое – цифрой 1. В двоичной системе предельно просто выполняются арифметические действия и возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации.

Благодаря таким особенностям двоичная система стала стандартом при построении ЭВМ.

Широкое применение в ЭВМ нашли также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Обмен информацией между устройствами большинства ЭВМ осуществляется путем передачи двоичных слов. Пользоваться такими словами из-за их большой длины и зрительной однородности человеку неудобно. Поэтому специалисты (программисты, инженеры) как на этапах составления несложных программ для ЭВМ, их отладки, ручного ввода-вывода данных, так и на этапах разработки, создания, настройки вычислительных систем заменяют коды машинных команд, адреса и операнды на эквивалентные им величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системе счисления. В результате длина исходного слова сокращается в 3 или 4 раза соответственно. Это делает информацию более удобной для рассмотрения и анализа. Таким образом, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления выступают в качестве простейшего языка общения человека с ЭВМ, достаточно близкого как к привычной для человека десятичной системе счисления, так и к двоичному «языку» машины.

 

Перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, восьмеричную и обратно

 

для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2ⁿ (4, 8, 16 и т.д.), нужно:

1) данное двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой;

2) если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов;

3) рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2ⁿ.

Для того чтобы дробное двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2ⁿ, нужно:

1) данное двоичное число разбить слева направо на группы по n цифр в каждой;

2) если в последней правой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов;

3) рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления q = 2ⁿ.

Для того чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2ⁿ, нужно:

1) данное двоичное число разбить слева и справа (целую и дробную части) на группы по n цифр в каждой;

2) если в последних правой и левой группах окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить справа и слева нулями до нужного числа разрядов;

3) рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2ⁿ.

Для того чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q = 2 ⁿ, перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-разрядным эквивалентом в двоичной системе счисления.

Применительно к компьютерной информации часто используются системы с основанием 8 (восьмеричная) и 16 (шестнадцатеричная),

Пример 1

Перевести число 15FC₁₆ в двоичную систему.

Для решения задачи воспользуемся приведенной ниже двоично-шестнадцатеричной таблицей.

 

Двоично-шестнадцатеричная таблица

16	2	16	2
0	0000	8	1000
1	0001	9	1001
2	0010	A	1010
3	0011	B	1011
4	0100	C	1100
5	0101	D	1101
6	0110	E	1110
7	0111	F	1111

В одном столбце таблицы помещены шестнадцатеричные цифры, напротив, в соседнем столбце – равные им двоичные числа. Причем все двоичные числа записаны в четырехзначном виде - тетрадах (там, где знаков меньше четырех, слева добавлены нули).

А теперь проделаем следующее: каждую цифру в шестнадцатеричном числе 15FC заменим на соответствующую ей в таблице четверку двоичных знаков. Иначе говоря, перекодируем число 15FC по таблице в двоичную форму. Получается:

              0001 0101 1111 1100.

Если отбросить нули слева (в любой системе счисления они не влияют на значение целого числа), то получим искомое двоичное число. Таким образом:

              15FC₁₆ =1010111111100₂.

 

В справедливости этого равенства можно убедиться, производя тот же перевод через десятичную систему.

Пример 2. Перевести двоичное число 1101111011101111₂ в шестнадцатеричную систему.

Решение

Разделим данное число на группы по четыре цифры, начиная справа. Если в крайней левой группе окажется меньше четырех цифр, то дополним ее нулями.

              0011 0111 1010 1110 1111.

А теперь, глядя на двоично-шестнадцатеричную таблицу, заменим каждую двоичную группу на соответствующую шестнадцатеричную цифру.

              3  7  A  E  F

следовательно:

    1101111011101111₂ = 37AEF₁₆.

Пример 3. Перевести смешанное число 1011101,10111₂ в шестнадцатеричную систему.

Решение

Перевод дробных чисел производится аналогично. Группы по четыре двоичных знака выделяются от запятой как влево, так и вправо.

 

Поэтому:

    1011101,10111₂ Þ 0101 1101, 1011 1000 Þ 5D,B8₁₆.

Связь между двоичной и восьмеричной системами устанавливается аналогично. В этом случае используется двоично-восьмеричная таблица, приведенная ниже. Каждой восьмеричной цифре соответствует тройка двоичных цифр (триада).

Двоично-восьмеричная таблица

8	2
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

Пример 4. перевести смешанное число 1011101,10111₂ в восьмеричную систему.

Решение

Группы по три двоичных знака выделяются от запятой как влево так и вправо. Затем производится перекодировка по таблице:

1011101,10111₂ Þ 001 011 101, 101 110 Þ 135,56₈.

 

Варианты.

Перевести числа из двоичной системы счисления сначала в восьмеричную, затем в десятичную систему счисления.

 

1. 11110,1110

2. 101111,10

3. 11110,001

4. 10110,0111

5. 111011,01

6. 1110,1011

7. 1101,1011

8. 1010,00100101

9. 1110,01010001

10. 1000,1111001

 

Деление

Деление в данных системах счисления, как и в любой другой позиционной системе счисления, производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе.

Например, разделим числа 3351₈: 163₈ и 16Е9₁₆: 73₁₆

_ 3351 | 163                      _ 16E9 | 73

1262 63                159 33

 _ 531                              _ 159

531                               159

0 0

 

Варианты

 

Выполнить действия в двоичной системе счисления.

 

1. а) 10010011₂ + 101101₂;            б) 100001000₂ – 10110011₂;
в) 100001₂ х 1111,11₂;     в) 111010001001₂: 111101₂;

 

2. а) 1011101₂ + 11101101₂; б) 110101110₂ – 10111111₂;
в) 100011₂ х 1111,01₂;     в) 11111100101₂: 101011₂;

 

3. а) 11101001₂ + 10011101₂; б) 11011011₂ – 110101110₂;
в) 100101₂ х 111011₂;      в) 100011011100₂: 110110₂;

 

4. а) 110010,11₂ + 110110,11₂; б) 11110011₂ – 10010111₂;
в) 100111₂ х 111001₂;      в) 111010001000₂: 111100₂;

 

5. а) 10110111₂ + 10011011₂; б) 11001100₂ – 101110110₂;
в) 111110₂ х 100010₂;      в) 101111001101₂: 110101₂;

 

6. а) 10010111₂ + 1011100₂; б) 11001011₂ – 110100110₂;
в) 111100₂ х 100100₂;      в) 100011111111₂: 101111₂;

 

7. а) 11010011₂ + 11011011₂; б) 110000110₂ – 10011101₂;
в) 111010₂ х 100110₂;      в) 100010000111₂: 111011₂;

 

8. а) 111011,11₂ + 101111,11₂; б) 1100101,101₂ – 10101,111₂;
в) 100111₂ х 111001₂;     в) 101011110101₂: 110111₂;

 

9. а) 10011 + 1101;     б) 111100₂ – 10111₂;
в) 101,1 х 10,11      в) 1111: 11

 

10.  а) 11011₂ х 11111₂; б) 100011₂ – 11001₂;
в) 1011₂ х 1001₂;     в) 110101110₂: 1010₂;

 

Варианты

1. Если досье на преступников занимают 45 мегабайт и каждое из них имеет объем 12 страниц (48 строк по 64 символа в каждой), то число досье равно…?

2. Если вариант текста в среднем имеет объем 20 килобайт (на каждой странице текста 40 строк по 64 символа в каждой), то количество страниц в тексте равно…?

3. Сведения о сотруднике хранятся в виде строки из 2048 символов. Сведения обо всех 8192 сотрудниках можно разместить на минимальном числе дискет емкостью 1.2М, равном…?

4. Максимальное количество страниц книги (32 строки по 64 символа), которое поместится в файле объемом 640 Кбайт, равно…?

5. Объем текстовой информации в сообщении на 40 страницах (на странице 40 строк и 80 символов в строке) равен…?

6. Максимальное количество книг (каждая объемом 200 страниц, на каждой странице 60 строк, 80 символов в строке), полностью размещенных на лазерном диске емкостью 600 Мбайт, равно…?

7. сколько килобайтов составит сообщение, содержащее 12288 битов?

8. Вычислите объем текстовой информации в мегабайтах «Современного словаря иностранных слов» из 740 страниц, если на одной странице размещается в среднем 60 строк по 80 символов.

9. В текстовом режиме экран разбивается на 25 страниц по 80 символов в строке. Определите объем текстовой информации, занимающий весь экран монитора.

10. Подсчитайте объем информации в романе А. Дюма «Три мушкетера» и определите, сколько близких по объему произведений можно разместить на одном лазерном диске емкостью 600 Мбайт. В романе 500 страниц, на каждой странице 48 строк, в каждой строке 53 символа.

Целые числа

множество целых чисел, представляемых в памяти ЭВМ, ограничено. Диапазон значений зависит от размера ячеек памяти, используемых для их хранения. в k -разрядной ячейке может храниться 2 ^k различных значений целых чисел.

Пример 1. Пусть для представления целых чисел в компьютере используется 16-разрядная ячейка (2 байта). Определить, каков диапазон хранимых чисел, если а) используются только положительные числа; б) используются как положительные так и отрицательные числа в равном количестве.

Решение. Всего в 16-разрядной ячейке может храниться 2¹⁶ = 65536 различных значений. Следовательно:

а) диапазон значений от 0 до 65535 (от 0 до 2^k-1);

б) диапазон значений от –32768 до 32767 (от -2^k-1 до 2^k-1-1).

 

Чтобы получить внутреннее представление целого положительного числа N, хранящегося в k-разрядном машинном слове, необходимо:

1) перевести число N в двоичную систему счисления;

2) полученный результат дополнить слева незначащими нулями до k разрядов.

 

Пример 2. получить внутреннее представление целого числа 1607 в 2-байтовой ячейке.

Решение. N = 1607₁₀ =11001000111₂. внутреннее представление этого числа в ячейке будет следующим: 0000 0110 0100 0111. шестнадцатеричная форма внутреннего представления числа получается заменой 4-х двоичных цифр одной шестнадцатеричной цифрой: 0647.

 

Для записи внутреннего представления целого отрицательного числа (-N) необходимо:

1) получить внутреннее представление положительного числа N;

2) получить обратный код этого числа заменой 0 на 1 и 1 на 0;

3) к полученному прибавить 1.

 

 

Данная форма представления целого отрицательного числа называется дополнительным кодом. Использование дополнительного кода позволяет заменить операцию вычитания на операцию сложения уменьшаемого числа с дополнительным кодом вычитаемого.

Пример 3. Получить внутреннее представление целого отрицательного числа – 1607.

Решение. Внутреннее представление положительного числа:       

                                          0000 0110 0100 0111

обратный код:                 1111 1001 1011 1000

результат прибавления 1: 1111 1001 1011 1001 – это внутреннее двоичное представление числа –1607. шестнадцатеричная форма F9B9.

Двоичные разряды в ячейке памяти нумеруются от 0 до k справа налево. Старший, k-й разряд во внутреннем представлении любого положительного числа равен нулю, отрицательного числа – единице. Поэтому этот разряд называется знаковым разрядом.

 

Вещественные числа

ф ормат с плавающей точкой использует представление вещественного числа R в виде произведения мантиссы m на основание системы счисления n в некоторой целой степени p, которую называют порядком: R = m x n^p.

Представление числа в форме с плавающей точкой неоднозначно. Например, справедливы следующие равенства:

25.324 = 2.5324 х 10¹ = 0.0025324 х 10⁴ = 2532.4 х 10² и т. п.

в ЭВМ используют нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой. Мантисса в нормализованном представлении должна удовлетворять условию:  иначе говоря, мантисса меньше единицы и первая значащая цифра – не ноль.

 В памяти компьютера мантисса представляется как целое число, содержащее только значащие цифры (0 целых и запятая не хранятся). Следовательно, внутреннее представление вещественного числа сводится к представлению пары целых чисел: мантиссы и порядка.

В разных типах ЭВМ применяются различные варианты представления чисел в форме с плавающей точкой. Для примера рассмотрим внутреннее представление вещественного числа в 4-байтовой ячейке памяти.

 В ячейке должна содержаться следующая информация о числе: знак числа, порядок и значащие цифры мантиссы.

 

+ маш. порядок

М А

Н Т И С

С А

1-й байт              2-й байт          3-й байт          4-й байт

 

в старшем бите 1-го байта хранится знак числа; 0 обозначает плюс, 1 – минус. Оставшиеся 7 бит первого байта содержат машинный порядок. В следующих трех байтах хранятся значащие цифры мантиссы (24 разряда).

В семи двоичных разрядах помещаются двоичные числа в диапазоне от 0 до 127 (в десятичной системе счисления). Всего 128 значений. Порядок, очевидно, может быть как положительным, так и отрицательным. разумно эти 128 значений разделить поровну между положительными и отрицательными значениями порядка: от –64 до 63.

Машинный порядок смещен относительно математического и имеет только положительные значения. Смещение выбирается так, чтобы минимальному математическому значению порядка соответствовал нуль.

Связь между машинным порядком (Мр) и математическим (р) в рассматриваемом случае выражается формулой:

Мр = р + 64.

Полученная формула записана в десятичной системе. В двоичной системе формула имеет вид: Мр₂ = р₂ + 100 0000₂.

Для записи внутреннего представления вещественного числа необходимо:

1) перевести модуль данного числа в двоичную систему счисления с 24 значащими цифрами;

2) нормализовать двоичное число;

3) найти машинный порядок в двоичной системе счисления;

4) учитывая знак числа, выписать его представление в 4-байтовом машинном слове.

Пример 4. записать внутреннее представление числа 250,1875 в форме с плавающей точкой.

Решение

1. Переведем его в двоичную систему счисления с 24 значащими цифрами: 250,1875₁₀ = 11111010, 0011000000000000₂.

2. Запишем в форме нормализованного двоичного числа с плавающей точкой: 0,111110100011000000000000 х 10₂¹⁰⁰⁰. Здесь мантисса, основание системы счисления (2₁₀ = 10₂) и порядок (8₁₀ = 1000₂) записаны в двоичной системе.

3. Вычислим машинный порядок в двоичной системе счисления: Мр₂ = 1000 + 100 0000 = 100 1000.

4. Запишем представление числа в 4-байтовой яч